10.5: Дисипативні лагранги

Last updated
Save as PDF

Page ID: 76208

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Попереднє обговорення неконсервативних систем згадувало наступні три способи включення дисипативних процесів у механіку Лагранжа або Гамільтонова.

Розширити кількість ступенів свободи, включивши всі активні дисипативні активні ступені свободи, а також консервативні.
Використовуйте узагальнені сили для включення дисипативних процесів.
Додайте дисипативні терміни до лагранжа або гамільтоніана, щоб імітувати розсіювання.

Наступне ілюструє використання дисипативних лагрангів.

Бейтман зазначив, що ізольована дисипативна система фізично неповна, тобто повна система повинна містити щонайменше дві зв'язані підсистеми, де енергія передається від розсіювальної підсистеми до поглинаючої підсистеми. Повна система повинна включати як розсіювальні, так і поглинаючі системи, щоб забезпечити збереження загальної системи Лагранжа і Гамільтоніана, як передбачається в звичайних лагранжевих і гамільтонівських механіках. І Бейтман, і Деккер проілюстрували, що рівняння руху для лінійно затухаючого, вільного, одновимірного гармонійного осцилятора виводяться за допомогою варіаційного принципу Гамільтона шляхом введення фіктивної комплементарної підсистеми, яка імітує дисипативні процеси. Наступний приклад ілюструє, що виведення рівнянь руху для лінійно-демпфірованого лінійного осцилятора може оброблятися трьома альтернативними еквівалентними нестандартними Лагранжанами, які припускають або: (1) багатовимірну систему, (2) явні залежні від часу Лагранги та гамільтоніани, або (3) складні не- стандартні лагранжі.

Приклад$\PageIndex{1}$: The linearly-damped, linear oscillator

Три іграшкові динамічні моделі були використані для опису лінійно-демпфірованого лінійного осцилятора, який використовує дуже різні нестандартні Лагранжі для генерації необхідних гамільтоніанців та отримання правильних рівнянь руху.

1: Двокомпонентний Лагранж:$L_{Dual}$

Бейтман запропонував подвійну систему, що містить масу, що$m$ підлягає двом зв'язаним одновимірним змінним,$(x,y)$ де$x$ спостерігається змінна і$y$ є дзеркальною змінною для підсистеми, яка поглинає енергію, розсіяну підсистемою$x$.

Припустимо нестандартний лагранж форми

\[L_{Dual}=\frac{m}{2}\left[ \dot{x}\dot{y}-\frac{\Gamma }{2}\left[ y\dot{x}-x \dot{y}\right] -\omega _{0}^{2}xy\right] \tag{$a$}\]

де$\Gamma =\frac{\lambda }{m}$ - коефіцієнт загасання. Мінімізація шляхом варіації допоміжної змінної$y$$\Lambda _{y}L=0$, тобто призводить до незв'язаного рівняння руху для$x$

\[\frac{m}{2}\left[ \ddot{x}+\Gamma \dot{x}+\omega _{0}^{2}x\right] =0 \tag{$b$}\label{b1}\]

Аналогічно мінімізація шляхом зміни первинної змінної$x,$, що$\Lambda _{x}L=0,$ призводить до незв'язаного рівняння руху для$y\qquad$

\[\frac{m}{2}\left[ \ddot{y}-\Gamma \dot{y}+\omega _{0}^{2}y\right] =0 \tag{$c$}\label{c1}\]

Зауважимо, що рівняння руху\ ref {b1}, отримане варіацією допоміжної змінної,$y,$ відповідає рівнянню руху звичайного, лінійно затухаючого, одновимірного гармонічного осцилятора для$x$ змінної, яка розсіює енергію, як йдеться в главі$3.5$. Рівняння руху\ ref {c1} отримано варіацією первинної змінної$x$ і відповідає вільному лінійному, одновимірному, осцилятору для$y$ змінної, яка поглинає енергію, розсіювану дисипаційною$x$ системою.

Узагальнені моменти,

\[p_{i}\equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\nonumber\]

може бути використаний для отримання відповідного гамільтоніана

\[\begin{align} H_{Dual}(x,p_{x},y,p_{y}) &=\left[ p_{x}\dot{x}+p_{y}\dot{y}-L\right] \nonumber\\[4pt] &=\frac{ p_{x}p_{y}}{2m}-\frac{\Gamma }{2}\left[ xp_{x}-yp_{y}\right] +\frac{m}{2} \left( \omega _{0}^{2}-\left( \frac{\Gamma }{2}\right) ^{2}\right) xy \tag{$d$} \end{align}\]

Зверніть увагу, що цей гамільтоніан є незалежним від часу, і, таким чином, зберігається для цієї повної подвійної змінної системи. Використання рівнянь руху Гамільтона дає ті ж два незв'язаних рівняння руху, отримані за допомогою Лагранжа, тобто\ ref {b1} і\ ref {c1}.

2: залежний від часу Лагранж:$L_{Damped}$

Додаткова підсистема вищевказаного двокомпонентного Лагранжа, яка додається до первинної дисипативної підсистеми, є суміжною з рівняннями для первинної підсистеми, що цікавить. У деяких випадках сукупність розв'язків комплементарних рівнянь може бути виражена через розв'язки первинної підсистеми, що дозволяють виражати рівняння руху виключно через змінні первинної підсистеми. Перевірка розв'язків затухаючого гармонічного осцилятора, представленого в розділі$3.5$, передбачає, що$x$ і$y$ повинні бути пов'язані функцією

\[y=xe^{\Gamma t} \tag{$e$}\]

Тому Бейтман запропонував залежну від часу, нестандартну форму$L_{Damped}$ Лагранжа.

\[L_{Damped}=\frac{m}{2}e^{\Gamma t}\left[ \dot{x}^{2}-\omega _{0}^{2}x^{2} \right] \tag{$f$}\]Цей Лагранж$L_{Dampes}$ відповідає гармонічному осцилятору, для$m=m_{0}e^{\Gamma t}\ $ якого маса з часом наростає експоненціально, щоб імітувати експоненціальну розсіювання енергії. Використання цього Лагранжа у рівняннях Ейлера-Лагранжа дає розв'язок

\[me^{\Gamma t}\left[ \ddot{x}+\Gamma \dot{x}+\omega _{0}^{2}x\right] =0 \tag{$g$}\]

Якщо коефіцієнт поза дужкою ненульовий, то рівняння в дужці має дорівнювати нулю. Вираз в дужці є необхідним рівнянням руху для лінійно-демпфірованого лінійного генератора. Цей Лагранж породжує узагальнений імпульс

\[p_{x}=me^{\Gamma t}\dot{x}\notag\]

а гамільтоніан - це

\[H_{Damped}=p_{x}\dot{x}-L_{2}=\frac{p_{x}^{2}}{2m}e^{-\Gamma t}+\frac{m}{2} \omega _{0}^{2}e^{\Gamma t}x^{2} \tag{$h$}\]

Гамільтоніан залежить від часу, як очікувалося. Це призводить до рівнянь руху Гамільтона

\[\begin{align} \dot{x} &=\frac{\partial H_{Damped}}{\partial p_{x}}=\frac{p_{x}}{m} e^{-\Gamma t} \tag{$i$} \\[4pt] -\dot{p}_{x} &= \frac{\partial H_{Damped}}{\partial x}=m\omega _{0}^{2}e^{\Gamma t}x \tag{$j$}\end{align}\]

Візьміть загальну часову похідну рівняння$h$ та використовуйте рівняння$i$ для заміни$\dot{p}_{x}$ даних

\[me^{\Gamma t}\left[ \ddot{x}+\Gamma \dot{x}+\omega _{0}^{2}x\right] =0 \tag{$k$}\]

Якщо термін$me^{\Gamma t}$ ненульовий, то термін в дужках дорівнює нулю. Термін в дужці є звичайним рівнянням руху для лінійно затухаючого гармонічного осцилятора.

3: Комплекс Лагранж:$L_{Complex}$

Деккер запропонував використовувати складні динамічні змінні для розв'язання лінійно-демпфірованого гармонічного осцилятора. Він експлуатує той факт, що, в принципі, кожне диференціальне рівняння другого порядку може бути виражено через множину диференціальних рівнянь першого порядку. Ця особливість є суттєвою відмінністю між механікою Лагранжа та Гамільтона. $q$Дозволяти бути комплексним і припустити, що він може бути виражений у вигляді реальної змінної$x$ як

\[q=\dot{x}-\left( i\omega +\frac{\Gamma }{2}\right) x \tag{$l$}\]

Підставляємо цю комплексну змінну в відношення

\[\dot{q}+\left[ i\omega +\frac{\Gamma }{2}\right] q=0 \tag{$m$}\label{m}\]

призводить до рівняння другого порядку для дійсної$x$ змінної

\[\ddot{x}+\Gamma \dot{x}+\omega _{0}^{2}=0 \tag{$n$}\label{n}\]

Це бажане рівняння руху для лінійно-демпфірованого гармонічного осцилятора. Цей результат також можна показати, взявши похідну від Equation\ ref {m} і взявши лише дійсну частину, тобто.

\[\ddot{q}+i\omega \dot{q}+\frac{\Gamma }{2}\dot{q}=\ddot{q}+\left( i\omega - \frac{\Gamma }{2}\right) \dot{q}+\Gamma \dot{q}=\ddot{q}+\Gamma \dot{q} +\omega _{0}^{2}x=0 \tag{$o$}\]

Ця функція експлуатується за допомогою наступного Лагранжа

\[L_{Complex}=\frac{i}{2}\left( q^{\ast }\dot{q}-q\dot{q}^{\ast }\right) - \left[ \omega -i\frac{\Gamma }{2}\right] q^{\ast }q \tag{$p$}\]

де$\omega ^{2}\equiv \omega _{0}^{2}-\left( \frac{\Gamma }{2} \right) ^{2}$. Лагранж$L_{Complex}$ реальний для консервативної системи і складний для дисипативної системи. Використання рівняння Лагранжа-Ейлера для варіації$q^{\ast }$, тобто$ \Lambda _{q^{\ast }}L_{Complex}=0$, дає Equation\ ref {m}, що призводить до необхідного рівняння руху\ ref {n}.

Канонічні сполучені моменти задаються

\[p=\frac{\partial L_{Complex}}{\partial \dot{q}} \tilde{p}= \frac{\partial L_{Complex}}{\partial \dot{q}^{\ast }} \tag{$q$}\]

Вищезгаданий Лагранж плюс канонічно сполучені моменти призводять до безкоштовних гамільтонців

\[\begin{align} H_{Complex}(p,q,\tilde{p},q^{\ast }) &=\left( i\omega +\frac{\Gamma }{2} \right) \left( \tilde{p}_{^{\ast }}q^{\ast }-pq\right) \tag{$s$} \\[4pt] \tilde{H}_{Complex}(p,q,\tilde{p},q^{\ast }) &=\left( i\omega -\frac{\Gamma }{2}\right) \left( \tilde{p}_{^{\ast }}q^{\ast }-pq\right) \tag{$r$}\end{align}\]

Ці гамільтоніанці дають рівняння руху Гамільтона, які призводять до правильних рівнянь руху для$q$ і$q^{\ast }$

Наведені вище приклади показали, що три дуже різні, нестандартні, Лагранжі, плюс їх відповідні гамільтоніани, все призводять до правильного рівняння руху для лінійно затухаючого гармонічного осцилятора. Це ілюструє силу використання нестандартних Лагранжа для опису дисипативного руху в класичній механіці. Однак постулювання нестандартних Лагранж для отримання необхідних рівнянь руху виявляється сумнівною корисністю. Фундаментальний підхід необхідний для побудови міцного фундаменту, на якому може базуватися нестандартна механіка Лагранжа. Нестандартна механіка Лагранжа залишається активним, хоча і вузьким, кордоном класичної механіки