10.4: Функція розсіювання Релея

Як уже згадувалося вище, неконсервативні системи, що включають в'язке або фрикційне розсіювання, зазвичай виникають внаслідок слабких теплових взаємодій з багатьма сусідніми атомами, що робить недоцільним включення повного набору активних ступенів свободи. Крім того, дисипативні системи зазвичай включають складні залежності від швидкості та властивостей поверхні, які найкраще обробляються шляхом включення дисипативної сили опору явно як узагальненої сили опору в рівняннях Ейлера-Лагранжа. Сила перетягування може мати будь-яку функціональну залежність від швидкості, положення або часу.

\[\mathbf{F}^{drag}=-f(\mathbf{\dot{q}},\mathbf{q},t)\mathbf{\hat{v}}\]

Зверніть увагу, що оскільки сила перетягування є дисипативною, домінуюча складова сили перетягування повинна вказувати у напрямку, протилежному вектору швидкості.

У\(1881\) лорді Релі показано, що якщо дисипативна сила\(\mathbf{F}\) залежить лінійно від швидкості, вона може бути виражена через скалярний потенційний функціонал узагальнених координат, званих функцією дисипації Релея\(\mathcal{R(}\mathbf{\dot{q})}\). Функція розсіювання Релея - це елегантний спосіб включити лінійні залежні від швидкості дисипативні сили в механіці Лагранжа та Гамільтонова, як показано нижче для механіки Лагранжа та Гамільтонова.

Узагальнені дисипативні сили для лінійної залежності швидкості

Розглянемо\(n\) рівняння руху для\(n\) ступенів свободи, і припустимо, що дисипація лінійно залежить від швидкості. Потім, допускаючи всі можливі перехресні зв'язки рівнянь руху для\(q_{j},\) рівнянь руху можна записати у вигляді

\[\sum_{i=1}^{n}\left[ m_{ij} \ddot{q}_{j}+b_{ij}\dot{q}_{j}+c_{ij}q_{j}-Q_{i}(t)\right] =0 \label{10.5}\]

Множення рівняння\ ref {10.5} на\(\dot{q}_{i}\), взяти інтеграл часу і підсумувати\(i,j\), дає наступне енергетичне рівняння\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\int_{0}^{t}m_{ij}\ddot{q}_{j}\dot{q} _{i}dt+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\int_{0}^{t}b_{ij}\dot{q}_{j}\dot{q} _{i}dt+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\int_{0}^{t}c_{ij}q_{j}\dot{q} _{i}dt=\sum_{i}^{n}\int_{0}^{t}Q_{i}(t)\dot{q}_{i}dt\]

Правий термін - це сумарна енергія, що подається в систему зовнішніми узагальненими силами\(Q_{i}(t)\) в той час\(t\). Перший часовий інтегральний термін на лівій стороні - це сумарна кінетична енергія, тоді як третій часовий інтегральний термін дорівнює потенційній енергії. Другий інтегральний член ліворуч визначено рівним,\(2\mathcal{R}(\mathbf{\dot{q}} )\) де функція дисипації Рея\(\mathcal{R}(\mathbf{\dot{q}})\) визначається як

\[\mathcal{R}(\mathbf{ \dot{q}})\mathcal{\equiv }\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}b_{ij}\dot{q }_{i}\dot{q}_{j}\]

і підсумовування є над усіма\(n\) частинками системи. Це визначення дозволяє створювати складні ефекти перехресного зв'язку між\(n\) частинками.

Ефектами зв'язку частинок і частинок зазвичай можна знехтувати, дозволяючи використовувати більш просте визначення, яке включає лише діагональні терміни. Тоді діагональна форма функції розсіювання Релея спрощує

\[\mathcal{R}(\mathbf{\dot{q}})\mathcal{\equiv }\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}b_{i} \dot{q}_{i}^{2}\]

Тому сила тертя в\(q_{i}\) напрямку лінійно залежить від швидкості\(\dot{q}_{i}\), тобто

\[F_{q_{i}}^{f}=-\frac{\partial \mathcal{R}(\mathbf{\dot{q}})}{\partial \dot{q} _{i}}=-b_{i}\dot{q}_{i}\]

Загалом, дисипативна сила - це градієнт швидкості функції розсіювання Релея,\[\mathbf{F}^{f}=-\nabla _{\mathbf{\dot{q}}}\mathcal{R}(\mathbf{\dot{q}})\]

Фізична значимість функції розсіювання Релея ілюструється розрахунком роботи, виконаної однією частинкою\(i\) проти тертя, що

\[dW_{i}^{f}=-\mathbf{F}_{i}^{f}\cdot d\mathbf{r=-F}_{i}^{f}\cdot \mathbf{\dot{ q}}_{i}dt=b_{i}\dot{q}_{i}^{2}dt\]Тому

\[2\mathcal{R}(\mathbf{\dot{q}})\mathcal{=}\frac{dW^{f}}{dt}\]

яка є швидкістю втрати енергії (потужності) внаслідок задіяних дисипативних сил. Таке ж співвідношення виходить після підсумовування по всіх задіяних частинок.

Перетворення сили тертя в узагальнені координати вимагає рівняння\((6.3.10)\)

\[\mathbf{\dot{r}}_{i}\mathbf{=}\sum_{k}\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{ \partial q_{k}}\dot{q}_{k}+\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial t}\]

Зверніть увагу, що похідна по відношенню до\(\dot{q}_{k}\) дорівнює

\[\frac{\partial \mathbf{\dot{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}=\frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q_{j}}\]

Використовуючи рівняння\((6.3.11)\) і\(7.3.12\),\(j\) складова узагальненої сили тертя\(Q_{j}^{f}\) задається\[Q_{j}^{f}=\sum_{i=1}^{n}\mathbf{F}_{i}^{f}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_{i} }{\partial q_{j}}=\sum_{i=1}^{n}\mathbf{F}_{i}^{f}\cdot \frac{\partial \mathbf{\dot{r}}_{i}}{\partial \dot{q}_{j}}=-\sum_{i=1}^{n}\nabla _{v_{i}} \mathcal{R}(\mathbf{\dot{q}})\cdot \frac{\partial \mathbf{\dot{r}}_{i}}{ \partial \dot{q}_{j}}=-\frac{\partial \mathcal{R}(\mathbf{\dot{q}})}{ \partial \dot{q}_{j}}\label{10.15}\]

Рівняння\ ref {10.15} надає елегантний вираз для узагальненої дисипативної сили\(Q_{j}^{f}\) через скалярний потенціал розсіювання Релея\(\mathcal{R}\).

Узагальнені дисипативні сили для нелінійної залежності швидкості

Вищезазначене обговорення функції розсіювання Релея було обмежено окремим випадком лінійного розсіювання, залежного від швидкості. Вірга [Vir15] запропонував розширити сферу застосування класичного формалізму Релія-Лагранжа, щоб включити нелінійну залежну від швидкості дисипацію, припускаючи, що неконсервативні дисипативні сили визначаються

\[\mathbf{F}_{i}^{f}=-\frac{\partial R(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}})}{\partial \mathbf{\dot{q}}}\]

де узагальнена функція дисипації Релея\(\mathcal{R(}\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}})\) задовольняє загальному співвідношенню механіки Лагранжа

\[\frac{\delta L}{\delta q}-\frac{\partial R}{\partial \dot{q}}=0\]

Ця узагальнена функція розсіювання Релея усуває попереднє обмеження до процесів лінійного розсіювання, що значно розширює діапазон валідності для використання функції дисипації Релея.

Рівняння руху Лагранжа

Лінійні дисипативні сили можуть бути безпосередньо та елегантно включеними в механіку Лагранжа, використовуючи функцію розсіювання Релея як узагальнену силу\(Q_{j}^{f}\). Вставка функції дисипації Релея\ ref {10.15} в узагальнені рівняння руху Лагранжа\((6.5.12)\) дає

\[\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} =\left[ \sum_{k=1}^{m}\lambda _{k} \frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)+Q_{j}^{EXC}\right] - \frac{\partial \mathcal{R(}\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}})}{\partial \dot{q}_{j} }\label{10.18}\]

де\(Q_{j}^{EXC}\) відповідає узагальненим силам, що залишилися після зняття узагальненої лінійної, швидкозалежної, сили тертя\( Q_{j}^{f}\).

Холономічні сили обмеження поглинаються в термін множника Лагранжа.

Гамільтонова механіка

Якщо неконсервативні сили залежать лінійно від швидкості і похідні від функції дисипації Релея за рівнянням\ ref {10.15}, то за допомогою визначення узагальненого імпульсу дає

\[\begin{align} \dot{p}_{i} &=&\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}=\frac{ \partial L}{\partial q_{i}}+\left[ \sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)+Q_{j}^{EXC}\right] -\frac{\partial \mathcal{R(}\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}})}{\partial \dot{q}_{j}} \\ \dot{p}_{i} &=&-\frac{\partial H(\mathbf{p,q},t\mathbf{)}}{\partial q_{i}}+ \left[ \sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}( \mathbf{q},t)+Q_{j}^{EXC}\right] -\frac{\partial \mathcal{R(}\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}})}{\partial \dot{q}_{j}}\end{align}\]

Таким чином рівняння Гамільтона стають

\[\begin{align} \dot{q}_{i} &=&\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \\ \dot{p}_{i} &=&-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}+\left[ \sum_{k=1}^{m} \lambda _{k}\frac{\partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)+Q_{j}^{EXC} \right] -\frac{\partial \mathcal{R(}\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}})}{\partial \dot{q}_{j}}\end{align}\]

Функція розсіювання Релея\(\mathcal{R(}\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}})\) забезпечує елегантний та зручний спосіб обліку дисипативних сил як у механіці Лагранжа, так і в гамільтонівській механіці.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Driven, Linearly-Damped, Coupled Linear Oscillators

Розглянемо два однакових, лінійно затухаючих, пов'язаних осциляторів (демпфуюча константа\(\beta\)), показані на малюнку.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Гармонічно керовані, лінійно демпфіровані, пов'язані лінійні осцилятори.

До лівій масі\( F=F_{0}\cos (\omega t)\) прикладається періодична сила\(m\). Кінетична енергія системи дорівнює

\[T=\frac{1}{2}m(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2})\nonumber\]Потенційна енергія

\[U=\frac{1}{2}\kappa x_{1}^{2}+\frac{1}{2}\kappa x_{2}^{2}+\frac{1}{2}\kappa ^{\prime }\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}=\frac{1}{2}\left( \kappa +\kappa ^{\prime }\right) x_{1}^{2}+\frac{1}{2}\left( \kappa +\kappa ^{\prime }\right) x_{2}^{2}-\kappa ^{\prime }x_{1}x_{2} \notag\]

Таким чином, Лагранж дорівнює\[L=\frac{1}{2}m(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_2^{2})-\left[ \frac{1}{2} ( \kappa +\kappa^{\prime } ) x_{1}^{2}+\frac{1}{2} ( \kappa +\kappa^{\prime } ) x_{2}^{2}-\kappa^{\prime }x_{1}x_{2}\right]\nonumber\]

Оскільки демпфування лінійне, можна використовувати функцію розсіювання Релея

\[\mathcal{R=}\frac{1}{2}\beta (\dot{x}_{1}^{2}+\dot{x}_{2}^{2})\nonumber\]

Прикладеними узагальненими силами є

\[Q_{1}^{\prime }=F_{o}\cos \left( \omega t\right) \hspace{1in}Q_{2}^{\prime }=0\nonumber\]

Використовуйте рівняння Ейлера-Лагранжа\ ref {10.18} для отримання рівнянь руху

\[\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_{j}}\right\} +\frac{\partial \mathcal{F}}{ \partial \dot{q}_{j}}=Q_{j}^{\prime }+\sum_{k=1}^{m}\lambda _{k}\frac{ \partial g_{k}}{\partial q_{j}}(\mathbf{q},t)\nonumber\]дає\[\begin{aligned} m\ddot{x}_{1}+\beta \dot{x}_{1}+(\kappa +\kappa ^{\prime })x_{1}-\kappa ^{\prime }x_{2} &=&F_{0}\cos \left( \omega t\right) \\ m\ddot{x}_{2}+\beta \dot{x}_{2}+(\kappa +\kappa ^{\prime })x_{2}-\kappa ^{\prime }x_{1} &=&0\end{aligned}\]

Ці два зв'язані рівняння можуть бути розділені і спрощені шляхом перетворення в нормальні координати,\(\eta _{1},\eta _{2}\) де

\[\eta _{1}=x_{1}-x_{2}\hspace{1in}\eta _{2}=x_{1}+x_{2}\nonumber\]

Таким чином\[x_{1}=\frac{1}{2}(\eta _{1}+\eta _{2})\hspace{1in}x_{2}=\frac{1}{2}(\eta _{2}-\eta _{1})\nonumber\]

Вставити їх у рівняння руху дає

\[\begin{aligned} m(\ddot{\eta}_{1}+\ddot{\eta}_{2})+\beta (\dot{\eta}_{1}+\dot{\eta} _{2})+(\kappa +\kappa ^{\prime })(\eta _{1}+\eta _{2})-\kappa ^{\prime }(\eta _{2}-\eta _{1}) &=&2F_{0}\cos \left( \omega t\right) \\ m(\eta _{2}-\eta _{1})+\beta (\eta _{2}-\eta _{1})+(\kappa +\kappa ^{\prime })(\eta _{2}-\eta _{1})-\kappa ^{\prime }(\eta _{1}+\eta _{2}) &=&0\end{aligned}\]

Додавання і віднімання цих двох рівнянь дає наступні два розв'язаних рівняння

\[\begin{aligned} \ddot{\eta}_{1}+\frac{\beta }{m}\dot{\eta}_{1}+\frac{\left( \kappa +2\kappa ^{\prime }\right) }{m}\eta _{1} &=&\frac{F_{0}}{m}\cos \left( \omega t\right) \\ \ddot{\eta}_{2}+\frac{\beta }{m}\dot{\eta}_{2}+\frac{\kappa }{m}\eta _{2} &=& \frac{F_{0}}{m}\cos \left( \omega t\right)\end{aligned}\]

Визначте\(\Gamma =\frac{\beta }{m},\omega _{1}=\sqrt{\frac{\left( \kappa +2\kappa ^{\prime }\right) }{m}},\omega _{2}=\sqrt{\frac{\kappa }{m}} ,A=\frac{F_{0}}{m}\). Тоді два незалежних рівняння руху стають

\[\ddot{\eta}_{1}+\Gamma \dot{\eta}_{1}+\omega _{1}^{2}\eta _{1}=A\cos \left( \omega t\right) \hspace{1in}\ddot{\eta}_{2}+\Gamma \dot{\eta}_{2}+\omega _{2}^{2}\eta _{2}=A\cos \left( \omega t\right)\nonumber\]

Це рішення являє собою суперпозицію двох незалежних, лінійно демпфірованих, керованих нормальних режимів\(\eta _{1}\) і\(\eta _{2}\) які мають різні власні\(\omega _{1}\) частоти і\(\omega _{2}\). Для слабкого демпфування ці два керовані нормальні режими кожен зазнає демпфірованого коливального руху з нормальним\(\eta _{1}\) і\( \eta _{2}\) нормальним режимами, що виявляють резонанси при\(\omega _{1}^{\prime }=\sqrt{\omega _{1}^{2}-2\left( \frac{\Gamma }{2}\right) ^{2}}\) і\(\omega _{2}^{\prime }=\sqrt{\omega _{2}^{2}-2\left( \frac{ \Gamma }{2}\right) ^{2}}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\): Kirchhoff’s Rules for Electrical Circuits

Математичні рівняння, що регулюють поведінку механічних систем і\(LRC\) електричних ланцюгів, мають тісну схожість. Таким чином, варіаційні методи можуть бути використані для отримання аналогічної поведінки для електричних ланцюгів. Наприклад, для системи\(n\) окремих ланцюгів магнітний потік\(\Phi _{ik \text{ }}\) через ланцюг за\(i,\) рахунок електричного струму,\( I_{k}=\dot{q}_{k}\) що протікає в ланцюзі\(k,\), задається

\[\Phi _{ik}=M_{ik}\dot{q}_{k}\nonumber\]

де\(M_{ik}\) - взаємна індуктивність. Діагональний термін\(M_{ii}=L_{i}\) відповідає самоіндуктивності ланцюга\(i\). Чистий магнітний потік\(\Phi _{i}\) через ланцюг,\(i,\) обумовлений усіма\(n\) ланцюгами, є сумою

\[\Phi _{i}=\sum_{k=1}^{n}M_{ik}\dot{q}_{k}\nonumber\]

Таким чином, загальна магнітна енергія\(W_{mag},\), яка є аналогом кінетичної енергії,\(T,\) задається шляхом підсумовування по всіх\(n\) контурах, щоб бути\[W_{mag}=T=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}M_{ik}\dot{q}_{i}\dot{q}_{k}\nonumber\]

Аналогічно електрична енергія, що\(W_{elect}\) зберігається у взаємній ємності\(C_{ik}\) між\(n\) ланцюгами, яка є аналогом потенційної енергії,\(U,\) задається

\[W_{elect}=U=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{q_{i}q_{k}}{C_{ik}}\nonumber\]

Таким чином, стандарт Лагранжа для цієї електричної системи дається

\[L=T-U=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\left[ M_{ik}\dot{q}_{i}\dot{q} _{k}-\frac{q_{i}q_{k}}{C_{ik}}\right] \tag{$\alpha $} \label{alpha}\]

Якщо припустити, що Закон Ома підкоряється, тобто сила розсіювання залежить лінійно від швидкості, то функцію розсіювання Релея можна записати у вигляді

\[\mathcal{R\equiv }\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}R_{ik}\dot{q}_{i} \dot{q}_{k} \tag{$\beta $} \label{beta}\]

де\(R_{ik}\) - матриця опору. Таким чином, сила розсіювання, виражена в вольтах, задається

\[F_{i}=-\frac{\partial \mathcal{R}}{\partial \dot{q}_{j}}=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}R_{ik}\dot{q}_{k} \label{gamma} \tag{$\gamma $}\]

Вставляючи рівняння\ ref {alpha},\ ref {beta} і\ ref {gamma} в Рівняння\ ref {10.18}, плюс припущення, що додаткова узагальнена електрична сила\(Q_{i}=\xi _{i}(t)\) вольт діє на ланцюг,\(i,\) тоді рівняння Ейлера-Лагранжа дають наступні рівняння руху.

\[\sum_{k=1}^{n}\left[ M_{ik}\ddot{q}_{k}+R_{ik}\dot{q}_{k}+\frac{q_{k}}{C_{ik} }\right] =\xi _{i}(t)\nonumber\]

Це узагальнена версія правила циклу Кірхгофа, яку можна побачити, розглядаючи випадок, коли\(i=k\) діагональний термін є єдиним ненульовим терміном. Тоді

\[\left[ M_{ii}\ddot{q}_{i}+R_{ii}\dot{q}_{i}+\frac{q_{i}}{C_{ii}}\right] =\xi _{i}(t)\nonumber\]

Ця сума напруг ідентична звичайному виразу для правила циклу Кірхгофа. Цей приклад ілюструє силу варіаційних методів при застосуванні до полів поза класичною механікою.