10.2: Витоки неконсервативного руху

Неконсервативні ступені свободи включають незворотні процеси, такі як дисипація, демпфування, а також можуть бути наслідком курсового навчання або ігнорування зв'язку з активними ступенями свободи. Неконсервативна роль ігноруваних активних ступенів свободи ілюструється слабко зв'язаною системою подвійних гармонічних осциляторів, розглянутою нижче. Нехай два гармонічні осцилятори мають маси\((m_{1},m_{2}),\) незв'язаних кутових\((\omega _{1},\omega _{2})\,\) частот і амплітуди коливань\((q_{1},q_{2})\). Припустимо, що потенційна енергія зв'язку є\(U=\lambda q_{1}q_{2}.\) Лагранж для цього слабо зв'язаного подвійного осцилятора

\[L(q_{1,}q_{2},\dot{q}_{1},\dot{q}_{2},t)=\frac{m_{1}}{2}\left( \dot{q} _{1}^{2}-\omega _{1}^{2}q_{1}^{2}\right) +\lambda q_{1}q_{2}+\frac{m_{2}}{2} \left( \dot{q}_{2}^{2}-\omega _{2}^{2}q_{2}^{2}\right)\]

Зверніть увагу, що загальний Лагранж консервативний, оскільки Лагранж явно незалежний від часу. Як показано в розділі\(14.2,\), розв'язки амплітуд коливань для зв'язаної системи наведено

\[\begin{aligned} q_{1}\left( t\right) &=&D\sin \left[ \left( \frac{\omega _{1}+\omega _{2}}{2} \right) t\right] \sin \left[ \left( \frac{\omega _{1}-\omega _{2}}{2}\right) t\right] \\ q_{2}\left( t\right) &=&D\cos \left[ \left( \frac{\omega _{1}+\omega _{2}}{2} \right) t\right] \cos \left[ \left( \frac{\omega _{1}-\omega _{2}}{2}\right) t\right]\end{aligned}\]

Система демонструє загальну поведінку «ударів», де зв'язані гармонічні осцилятори мають кутову частоту, яка є середньою частотою генератора,\(\omega _{average}=\left( \frac{\omega _{1}+\omega _{2}}{2}\right) ,\) а інтенсивності коливань модулюються на різницевій частоті,\(\omega _{difference}=\left( \frac{\omega _{1}-\omega _{2}}{2} \right) .\) хоча загальна енергія зберігається для цього консервативного система, ця спільна енергія тече вперед і назад між двома зв'язаними гармонічними осциляторами на різниці частоти. Якщо рівняння руху для осцилятора\(1\) ігнорують зв'язок з рухом осцилятора\(2\), тобто припустити, що\(q_{2}=\left\langle q_{2}\right\rangle\) використовується постійне середнє значення, то інтенсивність\(\left\vert q_{1}\right\vert ^{2}\) і енергія першого генератора все ще модулюються\(\left\vert \sin \left( \frac{ \omega _{1}-\omega _{2}}{2}\right) t\right\vert ^{2}\) терміном. Таким чином, загальна енергія для цієї усіченої системи сполучених генераторів більше не зберігається через нехтування енергією, що протікає в генератор і з нього\(1\) через його зв'язок з осцилятором\(2\). Тобто рішення для усіченої системи осцилятора не\(1\) є консервативним, оскільки він обмінюється енергією з зв'язаним, але ігнорованим другим осцилятором. Цей елементарний приклад ілюструє, що ігнорування активних ступенів свободи може перетворити консервативну систему в неконсервативну систему, для якої рівняння руху, отримані за допомогою усіченого Лагранжа, невірні.

Наведений вище приклад ілюструє важливість включення всіх активних ступенів свободи при виведенні рівнянь руху, щоб гарантувати, що загальна система є консервативною. На жаль, неконсервативні системи внаслідок в'язкого або фрикційного розсіювання зазвичай виникають внаслідок слабких теплових взаємодій з величезною кількістю сусідніх атомів, що робить включення всіх цих ступенів свободи непрактичним. Незважаючи на те, що детальна поведінка таких дисипативних ступенів свободи може не представляти прямого інтересу, всі активні ступені свободи повинні бути включені при застосуванні механіки Лагранжа або Гамільтонова.