9.S: Принцип дії Гамільтона (резюме)

Видання Гамільтона 1834 року, що представляє як принцип стаціонарної дії Гамільтона, так і гамільтонову механіку, ознаменувало вінцеві досягнення для розвитку варіаційних принципів в класичній механіці. Фундаментальною перевагою гамільтонової механіки є те, що вона використовує сполучені координати\(\mathbf{q}\)\(\mathbf{p}\), плюс час\(t\), що є значною перевагою в більшості галузей фізики та техніки. У порівнянні з механікою Лагранжа, Гамільтонова механіка має значно ширший арсенал потужних прийомів, які можуть бути використані для отримання аналітичного рішення інтегралів руху для складних систем, як описано в розділі\(15\). Крім того, гамільтонова динаміка забезпечує засіб визначення невідомих змінних, для яких рішення приймає розчинну форму, і ідеально підходить для вивчення фундаментальної базової фізики в додатках до таких галузей, як квантова або статистична фізика. Як наслідок, гамільтонова механіка стала видатним варіаційним підходом, що використовується в сучасній фізиці.

Цей розділ представив та обговорив принцип стаціонарної дії Гамільтона, який лежить в основі елегантних і надзвичайно потужних лагранжевих і гамільтонових уявлень алгебраїчної механіки. Основні поняття, що використовуються в алгебраїчній механіці, узагальнені нижче.

Принцип дії Гамільтона

Як обговорювалося в розділі\(9.2\), Гамільтонова механіка побудована на функціональних діях Гамільтона

\[S(\mathbf{q},\mathbf{p},t) = \int^{t_f}_{t_i} L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t)dt \label{9.1}\]

Принцип найменших дій Гамільтона стверджує, що

\[\delta S(\mathbf{q},\mathbf{p},t) = \delta \int^{t_f}_{t_i} L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t)dt = 0 \label{9.2}\]

Узагальнений імпульс\(p\)

У розділі\(7.2\) узагальнений (канонічний) імпульс був визначений з точки зору\(L\) Лагранжа бути

\[p_i \equiv \frac{\partial L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t)}{\partial \dot{q}_i} \label{7.3}\]

Глава\(9.2.2\) визначила узагальнений імпульс з точки зору дії\(S\) функціоналу

\[p_j \equiv \frac{\partial S(\mathbf{q}, \mathbf{p},t)}{\partial \dot{q}_j} \label{9.12}\]

Узагальнена енергія\(h (\mathbf{q},\dot{q},t)\)

Узагальнена енергія Якобі\(h (\mathbf{q},\dot{q},t)\) була визначена в рівнянні\ ref {7.37} як

\[h (\mathbf{q},\dot{q},t) \equiv \sum_j \left( \dot{q}_j \frac{\partial L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t)}{\partial \dot{q}_j} \right) - L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t) \label{7.37}\]

Гамільтонова функція\(H(\mathbf{q}, \mathbf{p},t)\)

Гамільтоніан\(H(\mathbf{q}, \mathbf{p},t)\) був визначений за термінами узагальненої енергії\(h (\mathbf{q},\dot{q},t)\) плюс узагальнений імпульс. Тобто

\[H(\mathbf{q}, \mathbf{p},t) \equiv h (\mathbf{q},\dot{q},t) = \sum_j p_j\dot{q}_j - L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t) = \mathbf{p} \cdot \mathbf{\dot{q}} - L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t) \label{10.S.1}\]

де\(\mathbf{p}\),\(\mathbf{q}\) відповідають\(n\) -мірним векторам, наприклад,\(\mathbf{q} \equiv (q_1, q_2, \dots , q_n)\) і скалярному добутку\(\mathbf{p} \cdot \mathbf{\dot{q}} = \sum_i p_i \dot{q}_i\). Глава\(8.2\) використовувала перетворення Лежандра, щоб вивести цей зв'язок між функціями Гамільтона та Лагранжа. Зверніть увагу, що в той час як Лагранж\(L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)\) виражається через координати\(\mathbf{q}\), плюс сполучених швидкостей\(\mathbf{\dot{q}}\), гамільтоніан\(H (\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)\) виражається через координати\(\mathbf{q}\) плюс їх сполучених моментів\(\mathbf{p}\). Для склерономічних систем, використовуючи стандарт Лагранжа, в рівняннях\((7.9.4)\) і\((7.6.14)\), показує, що гамільтоніан спрощує бути рівним загальній механічній енергії, тобто\(H = T + U\).

Узагальнена енергетична теорема

Рівняння руху призводять до узагальненої енергетичної теореми, яка стверджує, що часова залежність гамільтоніана пов'язана з часовою залежністю Лагранжа.

\[\frac{dH (\mathbf{q},\mathbf{p},t)}{dt} = \sum_j \dot{q}_j \left[ Q^{EXC}_j + \sum^{m}_{k=1} \lambda_k \frac{\partial g_k}{\partial q_j} (\mathbf{q},t) \right] - \frac{\partial L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)}{\partial t} \label{7.38}\]

Зауважимо, що якщо всі узагальнені непотенційні сили і множники Лагранжа дорівнюють нулю, а якщо Лагранж не є явною функцією часу, то гамільтоніан є константою руху.

Рівняння руху Лагранжа

Рівняння\ ref {6.60} дає, що рівняння руху\(N\) Лагранжа

\[\left\{ \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_j} \right\} = \sum^m_{k=1} \lambda_k \frac{\partial g_k}{\partial q_j} (\mathbf{q}, t) + Q^{EXC}_j \label{6.60}\]

де\(j = 1, 2, 3, ....N\).

Рівняння руху Гамільтона

Глава\(8.3\) показала, що перетворення Лежандра, плюс рівняння Лагранжа-Ейлера,\((8.3.11, 8.3.12, 8.3.13)\) призводять до рівнянь руху Гамільтона. Гамільтон вивів ці рівняння руху безпосередньо з функціоналу дії, як показано в розділі\(9.2\).

\[\dot{q}_j = \frac{\partial H (\mathbf{q},\mathbf{p},t)}{ \partial p_j} \label{8.25} \]

\[\begin{align} \dot{p}_j &=& −\frac{\partial H}{\partial q_j} (\mathbf{q},\mathbf{p},t) + \left[ \sum^m_{k=1} \lambda_k \frac{\partial g_k}{\partial q_j} (\mathbf{q}, t) + Q^{EXC}_j \right] \label{8.26}\end{align} \]

\[ \frac{\partial H (\mathbf{q},\mathbf{p},t)}{\partial t } = −\frac{\partial L(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)}{\partial t} \label{8.24} \]

Зверніть увагу на симетрію двох канонічних рівнянь Гамільтона. Канонічні\(p_k\) змінні\(q_k\) розглядаються як незалежні канонічні змінні. Лагранж першим вивів канонічні рівняння, але він не визнав їх як базовий набір рівнянь руху. Гамільтон вивів канонічні рівняння руху зі свого фундаментального варіаційного принципу і зробив їх основою для далекосяжної теорії динаміки. Рівняння Гамільтона дають диференціальні рівняння\(2s\) першого порядку\(q_k\) для кожного зі\(s\) ступенів свободи.\(p_k\) Рівняння Лагранжа дають диференціальні рівняння\(s\) другого порядку для змінних\(q_k\),\(\dot{q}_k\).

Рівняння Гамільтона-Якобі

Гамільтон використав принцип Гамільтона плюс рівняння\ ref {9.19} для отримання рівняння Гамільтона-Якобі.

\[\frac{\partial S}{\partial t} + H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)=0 \label{9.19}\]

Рішення рівнянь Гамільтона тривіальне, якщо гамільтоніан є константою руху, або коли можна визначити набір узагальнених координат, для яких всі координати\(q_i\) є постійними, або циклічними (також звані необізнаними координатами). Якобі розробив математичні рамки канонічного перетворення, необхідні для використання рівняння Гамільтона-Якобі.

Принцип Гамільтона застосовується з використанням початкових граничних умов

Визначення принципу Гамільтона передбачає інтеграцію між початковим\(t_i\) і кінцевим часом\(t_f\). Недавня розробка розширила застосування принципу Гамільтона для застосування до систем, які визначені лише з точки зору початкових граничних умов. Цей метод подвоює кількість ступенів свободи і використовує зв'язок Лагранжа\(K (\mathbf{q}_2, \mathbf{\dot{q}}_2, \mathbf{q}_1, \mathbf{\dot{q}}_1, t)\) між відповідною\(\mathbf{q}_1\) і\(\mathbf{q}_2\) подвоєною ступенями свободи.

\[\frac{d}{dt} \frac{ \partial L}{ \partial \dot{q}^I_-} − \frac{\partial L}{\partial q^{I}_-} = \left[ \frac{\partial K}{\partial q^I_-} − \frac{d}{dt} \frac{\partial K}{\partial \dot{q}^I_-} \right]_{PL} \equiv Q^I (\mathbf{q}_1, \mathbf{\dot{q}}_1, t) \label{9.50} \]

і де\(Q^I\) узагальнена неконсервативна сила, що походить від\(K\).

Стандартні лагранжі

Виведення механіки Лагранжа, використовуючи принцип віртуальної роботи д'Аламбера, припустимо, що Лагранжа визначається рівнянням\ ref {9.52}

\[L(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}},t) = T(\mathbf{\dot{q}},t) − U(\mathbf{q}, t) \label{9.52}\]

Це було використано у рівнянні\((9.2.1)\) для отримання дії в терміні фундаментального Лагранжа, визначеного рівнянням\ ref {9.52}. Припущення, що дія\(S\) є фундаментальною властивістю, інвертує цю процедуру і тепер рівняння\((9.2.1)\) використовується для виведення Лагранжа. Тобто припущення, що Принцип Гамільтона є основою алгебраїчної механіки, визначає Лагранжа з точки зору фундаментальної дії\(S\).

Нестандартні лагранжі

Гнучкість і потужність механіки Лагранжа можуть бути розширені на більш широкий спектр динамічних систем, використовуючи розширене визначення Лагранжа, що передбачає, що дія є фундаментальною властивістю, а потім Лагранж визначається з точки зору варіаційного принципу дії Гамільтона з використанням Рівняння\ ref {9.2}. Було проілюстровано, що зворотний формалізм варіаційного числення може бути використаний для ідентифікації нестандартних Лагранжа, які генерують необхідні рівняння руху. Ці нестандартні Лагранжи можуть сильно відрізнятися від стандартних Лагранжа і не розділятися на кінетичні і потенційні енергетичні складові. Ці альтернативні Лагранги можуть бути використані для обробки дисипативних систем, які виходять за рамки дії при використанні стандартних Лагрангів. Тобто було показано, що кілька дуже різних лагрангів і гамільтонів можуть бути еквівалентними для генерації корисних рівнянь руху системи. В даний час використання нестандартних Лагранж є вузьким, але активним, кордоном класичної механіки з важливими додатками до релятивістської механіки.

Калібр інваріантності стандартного Лагранжа

Показано, що існує континуум еквівалентних стандартних лагранжіанів, які призводять до однакового набору рівнянь руху для системи. Ця особливість пов'язана з інваріантністю калібру в механіці. Наступні перетворення змінюють стандартний Лагранжа, але залишають рівняння руху без змін.

1. Лагранж невизначений щодо додавання константи до скалярного потенціалу, який скасовується при застосуванні похідних у диференціальних рівняннях Ейлера-Лагранжа.
2. Точно так само Лагранж невизначений щодо додавання постійної кінетичної енергії.
3. Лагранж невизначений щодо додавання загальної похідної за часом форми\(L + \frac { d } { d t } \left[ \Lambda \left( q _ { i } , t \right) \right]\) для будь-якої диференційовної функції\(\Lambda \left( q _ { i } t \right)\) узагальнених координат плюс час, що має неперервні другі похідні.

Застосування принципу дії Гамільтона до механіки

Виведення рівнянь руху для будь-якої системи можна розділити на ієрархічну сукупність з трьох етапів як у витонченості, так і в розумінні. Варіаційні принципи використовуються на первинній стадії «дії» та вторинній стадії «Гамільтон/Лагранжа» для отримання необхідних рівнянь руху, які потім вирішуються на третьому етапі «рівнянь руху». Принцип дії Гамільтона - це скалярна функція, яка є основою для виведення функцій Лагранжа та Гамільтона. Первинний «етап дії» використовує функціонал дії Гамільтона,\(S = \int^{t_f}_{t_i} L (\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t) dt\) щоб вивести функціонал Лагранжа та Гамільтона, які базуються на функціоналі дії Гамільтона та забезпечують найбільш фундаментальний та витончений рівень розуміння. Другий «етап Гамільтонія/Лагранжа» передбачає використання функціоналів Лагранжа та Гамільтона для отримання рівнянь руху. Третій «етап рівнянь руху» використовує похідні рівняння руху для розв'язання для руху за умови заданої множини початкових граничних умов. Підхід ньютонівської механіки обходить первинну стадію «дії», а також вторинну стадію «Гамільтоніан/Лагранжа». Тобто, ньютонівська механіка починається на третьому етапі «рівнянь руху», що не дозволяє використовувати значні переваги, що надаються використанням дії, лагранжа та гамільтоніана. Ньютонівська механіка вимагає, щоб всі активні сили були включені при виведенні рівнянь руху, що передбачає справу з векторними величинами. Це на відміну від дії, Лагранжа та Гамільтоніана, які є скалярними функціоналами. І первинний етап «дії», і вторинний етап «Лагрангіанський/гамільтоніан» використовують потужний арсенал математичних прийомів, які були розроблені для використання варіаційних принципів.