6.E: Динаміка Лагранжа (вправи)

1. Диск маси\(M\) і радіусу\(R\) котиться без ковзання вниз площиною, нахиленою від горизонталі на кут\(\alpha\). Диск має коротку невагому вісь мізерно малого радіуса. Від цієї осі підвішується простий маятник довжини\(l<R\) і боб якого має масу\(m\). Припустимо, що рух маятника відбувається в площині диска.
   1. Які узагальнені координати були б доречні для цієї ситуації?
   2. Чи існують які-небудь рівняння обмежень? Якщо так, то які вони?
   3. Знайдіть рівняння Лагранжа для цієї системи.
2. Лагранжа для певної системи можна записати як

   \[L=\frac{m}{2}(a\dot{x}^{2}+2b\dot{x}\dot{y}+c\dot{y}^{2})-\frac{K}{2} (ax^{2}+2bxy+cy^{2})\nonumber\]

   де\(a,b,\) і\(c\) є довільними константами, але за умови, що\(b^{2}-4ac\neq 0\).

   1. Що таке рівняння руху?
   2. Вивчіть справу\(a=0=c\). Яку фізичну систему це представляє?
   3. Вивчіть випадок\(b=0\) і\(a=-c\). Яку фізичну систему це представляє?
   4. Виходячи з ваших відповідей на (b) і (c), визначте фізичну систему, представлену вище Лагранжа.
3. Розглянемо частинку маси, що\(m\) рухається в площині і піддається оберненому квадрату сила притягання.
   1. Отримати рівняння руху.
   2. Чи зберігається кутовий імпульс щодо походження?
   3. Отримати вирази для узагальнених сил. Нагадаємо, що узагальнені сили визначаються\[Q_{j}=\sum_{i}F_{i}\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{j}}.\nonumber\]
4. Розглянемо функцію Лагранжа форми\(L(q_{i},\dot{q_{i} },\ddot{q_{i}},t)\). Тут Лагранж містить часову похідну від узагальнених координат, яка вище першої. При роботі з такими Лагранж використовується термін «узагальнена механіка».
   1. Розглянемо систему з одним ступенем свободи. Застосовуючи методи обчислення варіацій, і припускаючи, що принцип Гамільтона дотримується щодо варіацій, які тримають обидва\(q\) і\(\dot{q}\) фіксуються в кінцевих точках, показують, що відповідне рівняння Лагранжа

      \[\frac{d^{2}}{dt^{2}}\left( \frac{\partial L}{\partial \ddot{q}}\right) - \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}\right) +\frac{ \partial L}{\partial q}=0.\nonumber\]

      Такі рівняння руху мають цікаві застосування в теорії хаосу.

   2. Застосовуйте цей результат до лагранжа

      \[L=-\frac{m}{2}q\ddot{q}-\frac{k}{2}q^{2}.\nonumber\]

      Ви розпізнаєте рівняння руху?

5. Намистина маси\(m\) ковзає під силою тяжіння по гладкому дроту, зігнутому у формі параболи\(x^{2}=az\) у вертикальній\((x,z)\) площині.
   1. На який вид (голономний, неголономний, склерономічний, реономічний) обмеження діє\(m\)?
   2. Налаштуйте рівняння руху Лагранжа для\(x\) із вбудованим обмеженням.
   3. Встановіть рівняння руху Лагранжа як для обох, так\(x\) і\(z\) з прилеглим обмеженням та\(\lambda\) введено множник Лагранжа.
   4. Показати, що однакове рівняння руху для\(x\) результатів з будь-якого з методів, що використовуються в частині (b) або частини (c).
   5. Експрес з\(\lambda\) точки зору\(x\) і\(\dot{x}\).
   6. Які\(x\) і\(z\) складові сили обмеження з точки зору\(x\) і\(\dot{x}\)?
6. Розглянемо двох лагрангів

   \[L(q,\dot{q};t) \quad \mathrm{and} \quad L^{\prime }(q,\dot{q};t)=L(q, \dot{q};t)+\frac{dF(q,t)}{dt}\nonumber\]

   де\(F(q,t)\) - довільна функція узагальнених координат\(q(t)\). Покажіть, що ці два Лагранжа дають однакові рівняння Ейлера-Лагранжа. Як наслідок, два Лагранжа, які відрізняються лише точною похідною від часу, вважаються еквівалентними.

7. Розглянемо подвійний маятник, що містить маси\(m_{1}\) і\(m_{2}\) з'єднаний нерозтяжними струнами, як показано на малюнку. Припустимо, що рух маятника відбувається у вертикальній площині.
   1. Чи існують які-небудь рівняння обмежень? Якщо так, то які вони?
   2. Знайдіть рівняння Лагранжа для цієї системи.

      

      Малюнок\(\PageIndex{1}\)

8. Розглянемо систему, показану на малюнку, яка складається з маси,\(m\) підвішеної через обмежену безмасову ланку довжини,\(L\) де на точку\(A\) впливає пружина постійної пружини\(k\). Пружина розтягується, коли безмасове ланка знаходиться горизонтально. Припустимо, що голономічні обмеження при\(A\) і\(B\) є тертям.
   1. Вивести рівняння руху для системи методом множників Лагранжа.

      

      Малюнок\(\PageIndex{2}\)

9. Розглянемо маятник, з масою\(m\), з'єднаний з (горизонтально) рухомою опорою маси\(M\).
   1. Визначте лагранжа системи.
   2. Визначте рівняння руху для\(\theta \ll 1\).
   3. Знайдіть рівняння руху в\(\theta\) поодинці. Яка частота коливань?
   4. Для чого потрібна частота коливань\(M\gg m\)? Чи має це сенс?
10. Сфера радіуса\(\rho\) обмежена котитися без ковзання по нижній половині внутрішньої поверхні порожнистого радіуса циліндра\(R.\) Визначити функцію Лагранжа, рівняння обмеження та рівняння руху Лагранжа. Знайти частоту малих коливань.
11. Частка рухається в площині під впливом сили,\(f = −Ar^{\alpha - 1}\) спрямованої на початок;\(A\) і\(\alpha (> 0)\) є константами. Виберіть узагальнені координати з нулем потенційної енергії на початку.
    1. Знайдіть рівняння руху Лагранжа.
    2. Чи зберігається кутовий імпульс щодо походження?
    3. Чи зберігається загальна енергія?
12. Два блоки, кожен з маси\(M\), з'єднані без розширення, рівномірної струною довжини\(l\). Один блок розміщений на нефрикційної горизонтальній поверхні, а інший блок нависає над бічною, струна проходить над нефрикційним шківом. Опишіть рух системи:
    1. коли маса струни мізерно мала
    2. коли струна має масу\(m\).
13. Дві маси\(m_{1}\) і\(m_{2}\) \((m_{1}\neq m_{2})\)з'єднані жорстким стрижнем довжини\(d\) і мізерно малої маси. До нерухомої точки\(m_{1}\) опори\(l_{1}\) кріпиться безвисувна струна довжини\(P\). Аналогічно рядок довжини\(l_{2}\) \((l_{1}\neq l_{2})\)з'єднує\(m_{2}\) і\(P\). Отримати рівняння руху, що описує рух в площині\(m_{1},m_{2},\) і\(P\), і знайти частоту малих коливань навколо положення рівноваги.
14. Тонкий рівномірний жорсткий стрижень довжини\(2L\) і маси\(M\) підвішений безмасової струною довжини\(l\). Спочатку система висить вертикально вниз в гравітаційному полі\(g\). Використовуйте в якості узагальнених координат кути, наведені на схемі.
    1. Виведіть Лагранжа для системи.
    2. Використовуйте Лагранжа, щоб вивести рівняння руху
    3. Горизонтальна імпульсна сила\(F_{x}\) в\(x\) напрямку вражає нижній кінець стрижня на нескінченно малий час\(\tau\). Вивести початкові умови для системи відразу після того, як стався імпульс.
    4. Намалюйте діаграму, що показує геометрію маятника незабаром після імпульсу, коли кути зміщення значні.

       

       Малюнок\(\PageIndex{3}\)