6.12: Імпульсивні сили

Зіткнулися тіла часто включають великі імпульсивні сили, які діють протягом короткого часу. Як обговорюється в розділі\(2.12.8,\), обробка імпульсних сил або крутних моментів значно спрощується, якщо вони діють протягом досить короткого часу, щоб зміщення під час удару можна було ігнорувати, навіть незважаючи на те, що миттєва зміна швидкостей може бути великим. Простота досягається шляхом взяття тимчасового інтеграла рівнянь Ейлера-Лагранжа за тривалість\(\tau\) імпульсу і припущення\(\tau \rightarrow 0\).

Вплив імпульсу на систему можна обробляти двома способами. Перший підхід полягає у використанні рівняння Ейлера-Лагранжа під час імпульсу для визначення рівнянь руху

\[\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) -\frac{ \partial L}{\partial q_{j}}=Q_{j}^{EXC} \label{6.75}\]

де імпульсна сила вводиться за допомогою узагальненої сили\(Q_{j}^{EXC}\). Знаючи початкові умови часу\(t,\), умови часу\(t+\tau\) задаються інтеграцією рівняння\ ref {6.75} протягом тривалості\(\tau\) імпульсу, що дає

\[\int_{t}^{t+\tau }\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}} \right) d\tau -\int_{t}^{t+\tau }\frac{\partial L}{\partial q_{j}}d\tau =\int_{t}^{t+\tau }Q_{j}^{EXC}d\tau \label{6.76}\]

Ця інтеграція визначає умови в час\(t+\tau\), які потім використовуються як початкові умови руху, коли імпульсна сила\(Q_{j}^{EXC}\) дорівнює нулю.

Другий підхід полягає в тому, щоб усвідомити, що Equation\ ref {6.76} можна переписати у вигляді

\[\lim_{\tau \rightarrow 0}\int_{t}^{t+\tau }\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right) dt=\lim_{\tau \rightarrow 0}\left. \frac{ \partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\right\vert _{t}^{t+\tau }=\Delta p_{j}=\lim_{\tau \rightarrow 0}\int_{t}^{t+\tau }\left( \left( \frac{ \partial L}{\partial q_{j}}\right) +Q_{j}^{EXC}\right) d\tau \label{6.77}\]

Відзначимо, що в межі, що\(\tau \rightarrow 0\) потім інтеграл узагальненого імпульсу\(p_{j}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{j}}\) спрощує надання зміни узагальненого імпульсу\(\Delta p_{j}\). Крім того, якщо припустити, що\(\left( \frac{\partial L}{ \partial q_{j}}\right)\) неімпульсивні сили кінцеві і незалежні від миттєвої імпульсної сили протягом нескінченно малої тривалості\(\tau\), то внеском неімпульсних сил\(\int_{t}^{t+\tau }\left( \frac{ \partial L}{\partial q_{j}}\right) d\tau\) під час імпульсу можна знехтувати щодо великої імпульсивної сили термін;\(\lim_{\tau \rightarrow 0}\int_{t}^{t+\tau }Q_{j}^{EXC}d\tau\). Таким чином, можна припустити, що

\[\Delta p_{j}=\lim_{\tau \rightarrow 0}\int_{t}^{t+\tau }Q_{j}^{EXC}d\tau = \tilde{Q}_{j} \label{6.78}\]

де\(\tilde{Q}_{j}\) - узагальнений імпульс, пов'язаний з координатою\(j=1,2,3,....,n\). Цей узагальнений імпульс може бути отриманий з тимчасового інтеграла імпульсних сил,\(\mathbf{P}_{i}\) заданих рівнянням,\((2.12.49)\) використовуючи тимчасовий інтеграл Рівняння\ ref {6.77}, тобто\[\Delta p_{j}=\tilde{Q}_{j}=\lim_{\tau \rightarrow 0}\int_{t}^{t+\tau }Q_{j}^{EXC}d\tau \equiv \lim_{\tau \rightarrow 0}\int_{t}^{t+\tau }\sum_{i} \mathbf{P}_{i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{\partial q_{j}}d\tau =\sum_{i}\mathbf{\tilde{P}}_{i}\cdot \frac{\partial \mathbf{r}_{i}}{ \partial q_{j}} \label{6.79}\]

Відзначимо, що узагальнений імпульс\(\tilde{Q}_{j}\) може бути\(\mathbf{\tilde{P}}_{j}\) поступальним імпульсом з відповідною поступальної змінною\(q_{j},\) або кутовим імпульсним моментом\(\mathbf{\tilde{\tau}}_{j}\) з відповідною кутовою змінною\(\phi _{j}\).

Імпульсивні силові задачі зазвичай вирішуються в два етапи. Або рівняння\ ref {6.76} або\ ref {6.79} використовуються для визначення умов системи відразу після імпульсу. Якщо\(\tau \rightarrow 0\) тоді імпульс змінює узагальнені швидкості,\(\dot{q}_{j}\) а не узагальнені координати\(q_{j}\). Подальший рух потім визначається за допомогою рівнянь руху Лагранжа з імпульсною узагальненою силою, що дорівнює нулю, і припускаючи, що початкова умова відповідає результату імпульсного розрахунку.