6.11: Зазалежні від часу сили

Last updated
Save as PDF

Page ID: 75995

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Усі приклади, розглянуті в цьому розділі, припускають, що Лагранги, які є незалежними від часу. Математичні системи, де звичайні диференціальні рівняння не залежать явно від незалежної змінної, яка в даному випадку є часом\(t\), називаються автономними системами. Системи, що мають диференціальні рівняння, що регулюють динамічну поведінку, які мають залежні від часу коефіцієнти, називаються неавтономними

В принципі, тривіально включити залежну від часу поведінку в рівняння руху, вводячи або залежну від часу узагальнену силу\(Q(r,t)\), або дозволяючи Лагранжу бути залежним від часу. Наприклад, в ракетній задачі маса залежить від часу. У деяких випадках залежні від часу сили можуть бути представлені залежною від часу потенційною енергією, а не використанням узагальненої сили. Рішення для неавтономних систем може бути значно складніше отримати, і вони можуть включати області, де рух стабільний, та інші області, де рух нестабільний або хаотичний, подібний до поведінки, розглянутої в розділі\(4\). Наступний випадок простого маятника, опора якого зазнає вертикальний коливальний рух, ілюструє складності, які можуть виникнути для систем, що включають сили, що залежать від часу.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Plane pendulum hanging from a vertically-oscillating support

Розглянемо плоский маятник, що має масу,\(M\) закріплену на безмасовому жорсткому стрижні довжини\(L\), який знаходиться під кутом\(\theta (t)\) до вертикального гравітаційного поля\(g\). Маятник кріпиться до опори, яка піддається вертикальній коливальній силі\(F\) таким чином, щоб вертикальне положення\(y\) опори було

\[\begin{aligned} \ddot{\theta}+\left( \frac{g}{L}+\frac{\ddot{y}}{L}\right) \theta &=&0 \\ \ddot{y}+g &=&\frac{F}{M}\end{aligned}\]

Заміна\(\ddot{y}=-A\omega ^{2}\cos \omega t\) в ці рівняння дає\[\begin{aligned} \ddot{\theta}+\left( \frac{g}{L}-\frac{A\omega ^{2}}{L}\cos \omega t\right) \theta &=&0 \\ M\left( g-A\omega ^{2}\cos \omega t\right) &=&F\end{aligned}\]

Вони відповідають стабільним гармонічним коливанням про те,\(\theta \approx 0\) чи є термін дужки позитивним, і нестабільним рухом, якщо дужка негативна. Таким чином, при малій амплітуді коливання про\(\theta \approx 0\) рух системи можуть бути нестабільними всякий раз, коли кронштейн негативний, тобто при прискоренні\(A\omega ^{2}\cos \omega t>g\) і резонансному поведінці може відбуватися зв'язок маятникового періоду і частоти форсування\(\omega\).

\[\begin{aligned} \ddot{\theta}-\left( \frac{g}{L}-\frac{A\omega ^{2}}{L}\cos \omega t\right) \theta &=&0 \\ m\left( g-A\omega ^{2}\cos \omega t\right) &=&F\end{aligned}\]

Перевернутий маятник має стабільні коливання про те,\(\theta \approx \pi\) якщо кронштейн негативний, тобто якщо\(A\omega ^{2}\cos \omega t>g.\) Це ілюструє, що неавтономні динамічні системи можуть включати як стабільний, так і нестабільний рух.