6.2: Ньютонівський аргумент правдоподібності для механіки Лагранжа

Розуміння фізики, що лежить в основі механіки Лагранжа, дається, показуючи прямий зв'язок між ньютонівською та лагранжевою механікою. Варіаційні підходи до класичної механіки використовують просторовий інтеграл сили першого порядку рівняння (\(2.4.8\)), який дорівнює роботі, виконаній між початковою та кінцевою умовами. Виконана робота являє собою просту скалярну величину, яка залежить від початкового і кінцевого розташування для консервативних сил. Рівняння руху Ньютона

\[\label{6.5} \mathbf{F}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}\]

Кінетична енергія задається

\[\label{6.6} T=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{\mathbf{p}\cdot \mathbf{p}}{2m}=\frac{p_{x}^{2}}{2m }+\frac{p_{y}^{2}}{2m}+\frac{p_{z}^{2}}{2m} \notag\]

Видно, що

\[\label{6.7} \frac{\partial T}{\partial \dot{x}}=p_{x}\]

і\[\label{6.8} \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}}=\frac{dp_{x}}{dt}=F_{x}\]

Вважайте, що сила, що діє на масу\(m,\), довільно розділена на дві складові, одну частину, яка консервативна, і, таким чином, може бути записана як градієнт скалярного потенціалу\(U\), плюс виключена частина сили,\(F^{EX}\). Виключена частина сили\(F^{EX}\) може включати неконсервативні сили тертя, а також сили обмеження, які можуть бути консервативними або неконсервативними. Це поділ дозволяє силі записати як

\[\label{6.9} \mathbf{F}=-\mathbf{\nabla }U+\mathbf{F}^{EX}\]

Уздовж кожної з\(x_{i}\) осей,

\[\label{6.10} \frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{i}}=-\frac{\partial U}{ \partial x_{i}}+F_{x_{i}}^{EX}\]

Рівняння\ ref {6.10} можна розширити шляхом перетворення декартової координати\(x_{i}\) в узагальнені координати\(q_{i}.\)

Визначте стандарт Лагранжа як різницю між кінетичною енергією і потенційною енергією, яку можна записати через узагальнені координати\(q_{i}\) як

\[\label{6.11} L(q_{i},\dot{q}_{i})\equiv T(\dot{q}_{i})-U(q_{i})\]

Припустимо, що потенціал є лише функцією узагальнених координат\(q_{i},\),\(\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_{i}}=0,\) тобто

\[\label{6.12} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q} _{i}}+\frac{\partial U}{\partial \dot{q}_{i}}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{i}}\]

Використання вищевказаних рівнянь дозволяє виражати рівняння руху Ньютона\ ref {6.10} як

\[\label{6.13} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{ \partial q_{i}}=F_{q_{i}}^{EX}\]

Виключена сила\(F_{q_{i}}^{EX}\) може бути розділена на голономічну силу обмеження\(F_{q_{i}}^{HC},\) плюс будь-які залишкові виключені сили\(F^{EXC},\), як зазначено

\[\label{6.14} F_{q_{i}}^{EX}=F_{q_{i}}^{HC}+F^{EXC}\]

Проведено порівняння рівнянь\ ref {6.13} і\((6.1.4)\) показує, що голономічні сили обмеження\(F_{q_{i}}^{HC},\), що містяться у виключеній силі,\(F^{EX},\) можна ідентифікувати за допомогою множника Лагранжа в рівнянні\((6.1.4)\).

\[ \label{6.15} F_{q_{i}}^{HC}\equiv \sum_{k}^{m}\lambda _{k}\left( t\right) \frac{\partial g_{k}}{\partial q_{i}}\]

Тобто терміни множника Лагранжа можуть бути використані для обліку голономічних сил обмеження\(F_{q_{i}}^{HC}\). Таким чином, рівняння\ ref {6.13} можна записати як

\[\label{6.16} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{ \partial q_{i}}=\sum_{k}^{m}\lambda _{k}\left( t\right) \frac{\partial g_{k} }{\partial q_{i}}+F_{q_{i}}^{EXC}\]

де термін множника Лагранжа припадає на голономічні сили обмеження, і\(F_{q_{i}}^{EXC}\) включає всі сили, що залишилися, які не враховуються скалярним потенціалом\(U\), або термінами множника Лагранжа\(F_{q_{i}}^{HC}\).

Для голономічних, консервативних сил можна поглинати всі сили в потенціал\(U\) плюс термін множника Лагранжа, тобто.\(F_{q_{i}}^{EXC}=0.\) Крім того, використання мінімального набору узагальнених координат дозволяє ігнорувати голономічні сили обмеження шляхом явного зменшення кількості координати від\(n\) залежних координат до\(s=n-m\) незалежних узагальнених координат. Тобто кореляції, обумовлені силами обмеження, вбудовуються в узагальнені координати. Потім Equation\ ref {6.17} зводиться до основних диференціальних рівнянь Ейлера. \[\label{6.17} \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{ \partial q_{i}}=0\]

Зауважте, що Equation\ ref {6.17} ідентичне рівнянню Ейлера (\(5.8.1\)), якщо незалежну змінну\(x\) замінено на час\(t\). Таким чином, рівняння руху Ньютона еквівалентно мінімізації інтеграла дії\(S= \int_{t_{1}}^{t_{2}}Ldt\), тобто

\[\label{6.18} \delta S=\delta \int_{t_{1}}^{t_{2}}L(q_{i},\dot{q}_{i};t)dt=0\]

який є принципом Гамільтона. Принцип Гамільтона лежить в основі багатьох аспектів фізики, як обговорюється в розділі\(9\), і використовується як відправна точка для розробки класичної механіки. Принцип Гамільтона був постульований через\(46\) роки після того, як Лагранж представив механіку Лагранжа.

Наведений вище аргумент правдоподібності, який базується на ньютонівській механіці, ілюструє тісний зв'язок між векторною ньютонівською механікою та підходами алгебраїчної механіки Лагранжа до класичної механіки.