17.6: Тринадцять питань

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78670

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ми бачили, що визначення магнітного моменту СІ однозначно визначається як максимальний крутний момент, що відчувається в одиниці зовнішнього поля. Проте деякі автори вважають за краще думати про магнітний момент як добуток екваторіального поля і куба відстані. Таким чином, існує два концептуально різних поняття магнітного моменту, і, коли до них додаються незначні деталі щодо того, чи є магнітне поле\(B\) чи\(H\), і чи повинна проникність включати фактор\(4 \pi\), шість можливих визначень магнітного моменту, описаних в Розділ 17.6, всі з яких можна знайти в сучасній літературі, виникають.

Однак незалежно від того, як вибрати для визначення магнітного моменту, будь то визначення СІ чи якесь інше нетрадиційне визначення, слід легко відповісти на обидва наступні питання:

А. враховуючи величину екваторіального поля на екваторі магніту, який максимальний крутний момент відчував би цей магніт, якби він був поміщений у зовнішнє поле?

Б. враховуючи максимальний крутний момент, який магніт відчуває при розміщенні у зовнішньому полі, яка величина екваторіального поля, виробленого магнітом?

Безумовно, слід визнати, що неможливість відповісти на такі основні питання вказує на нерозуміння того, що мається на увазі під магнітним моментом.

Тому зараз я задаю серію з тринадцяти питань. Перші шість - це питання типу А, в яких я використовую шість можливих визначень магнітного моменту. Наступні шість - подібні питання типу Б. І останнє - абсурдно просте питання, на яке повинен легко відповісти кожен, хто вважає, що розуміє значення магнітного моменту.

1. Величина поля в екваторіальній площині магніту на відстані 1 см дорівнює 1 Ое.

Який максимальний крутний момент буде відчувати цей магніт у зовнішньому магнітному полі 1 Ое, і який його магнітний момент?

Зверніть увагу, що в цьому питанні і наступних семи повинен бути унікальна відповідь на крутний момент. Однак відповідь, яку ви даєте на магнітний момент, буде залежати від того, як ви вирішите визначити магнітний момент, і від того, чи вирішите ви дати відповідь у одиницях СІ або CGS EMU.

2. Величина поля в екваторіальній площині магніту на відстані 1 см дорівнює 1\(\text{Oe}\).

Який максимальний крутний момент буде відчувати цей магніт у зовнішньому магнітному полі 1\(\text{G}\), і який його магнітний момент?

3. Величина поля в екваторіальній площині магніту на відстані 1 см дорівнює 1\(\text{G}\).

Який максимальний крутний момент буде відчувати цей магніт у зовнішньому магнітному полі 1\(\text{Oe}\), і який його магнітний момент?

4. Величина поля в екваторіальній площині магніту на відстані 1 см дорівнює 1\(\text{G}\).

5. Величина поля в екваторіальній площині магніту на відстані 1\(\text{m}\) дорівнює 1\(\text{A m}^{-1}\).

Який максимальний крутний момент буде відчувати цей магніт у зовнішньому магнітному полі 1\(\text{A m}^{-1}\), і який його магнітний момент?

6. Величина поля в екваторіальній площині магніту на відстані 1\(\text{m}\) дорівнює 1\(\text{A m}^{-1}\).

Який максимальний крутний момент буде відчувати цей магніт у зовнішньому магнітному полі 1\(\text{T}\), і який його магнітний момент?

7. Величина поля в екваторіальній площині магніту на відстані 1\(\text{m}\) дорівнює 1\(\text{T}\).

8. Величина поля в екваторіальній площині магніту на відстані 1\(\text{m}\) дорівнює 1\(\text{T}\).

9. Магніт відчуває максимальний крутний момент 1 дин см, якщо його розмістити в полі 1\(\text{Oe}\). Яка величина поля в екваторіальній площині на відстані 1 см, і що таке магнітний момент?

Зверніть увагу, що в цьому питанні і наступних трьох має бути унікальна відповідь для\(B\) і унікальна відповідь для\(H\), хоча кожен може бути виражений в SI або в CGS EMU, тоді як відповідь на магнітний момент залежить від того, яке визначення ви приймаєте.

10. Магніт відчуває максимальний крутний момент 1 дин см, якщо його розмістити в полі 1\(\text{G}\). Яка величина поля в екваторіальній площині на відстані 1 см, і що таке магнітний момент?

11. Магніт відчуває максимальний крутний момент 1\(\text{N}\) м при розміщенні в полі 1\(\text{A m}^{-1}\). Яка величина поля в екваторіальній площині на відстані 1\(\text{m}\), і що таке магнітний момент?

12. Магніт відчуває максимальний крутний момент 1,\(\text{N m}\) якщо він розміщений у полі 1\(\text{T}\). Яка величина поля в екваторіальній площині на відстані 1\(\text{m}\), і що таке магнітний момент?

Я поставлю питання № 13 трохи пізніше. Тим часом відповіді на перші чотири питання наведені в таблиці\(\text{XVII.2}\), а відповіді на питання 5 — 12 наведені в таблицях\(\text{XVII.3}\) і\(4\). Сама складність цих відповідей на абсурдно прості питання є наслідком різних застосувань різними авторами значення «магнітний момент» та відходу від стандартного використання СІ.

\(\text{TABLE XVII.2}\)
ВІДПОВІДІ НА ПИТАННЯ 1 — 4 В CGS EMU І SI ОДИНИЦЬ
Відповіді на перші чотири питання ідентичні

\(\text{TABLE XVII.3}\)
ВІДПОВІДІ НА ПИТАННЯ 5 — 8 В CGS EMU І SI ОДИНИЦЬ

\ begin {масив} {l l c\ quad c\ quad c\ quad c\ quad l}
& 5 & 6 & 7 &
\\ tau & = & (4\ pi) ^2 & 4\ pi\ раз 10^7 & 10^ 7 & 10^ {14} &\ текст {дин см}\\
& = & (4\ пі) ^2\ раз 10^ {-7} & 4\ пі & 4\ пі & 10 ^ 7 &\ текст {N м}\
&&&&&&\\
p_1 & = & 4\ пі\ раз 10 ^ 3 & 4\ пі\ раз 10^3 & 10^ {10} & 10^ {10} &\ текст {дин см Ое} ^ {-1}\\ & = & (4\ пі) ^2\ раз 10^ {-7}
& (4\ пі) ^2\ раз 10^ {-7} & (4\ пі) ^2\ раз 10^ {-7}\ pi) ^2\ раз 10^ {-7} & 4\ pi & підсилювач; 4\ пі &\ текст {N м (А/м)} ^ {-1}\
&&&&&&&\\
p_2 & = & 4\ пі\ раз 10^3 & 4\ пі\ раз 10^ 3 & 10^ {10} & 10^ {10} &\ текст {дин см G} ^ {-1}\\
& = & 4\ pi & 10 ^ 7 10^7 &\ текст {N м Т} ^ {-1}\\
&&&&&&\\
p_3 & = & 4\ пі\ раз 10 ^ 3 & 4\ пі\ раз 10 ^ 3 & 10^ {10} & 10^ {10} &\ текст {Г см} ^3\\\
& = & 4\ пі\ раз 10^ {-7} & 4\ пі\ раз 10^ {-7} & 1 & 1 &\ текст {Т м} ^3\
&& ; &&&&\\
p_4 & = & 4\ пі\ раз 10 ^ 3 & 4\ пі\ раз 10 ^ 3 & 10^ {10} & 10^ {10} &\ текст {Ое см} ^3\\
& = & 1 & 1 & 10 ^ 7/ (4\ пі) & 10 ^ 7/ (4\ пі) &\ текст {А м} ^2\\
&&&&&&&&&&\\
p_5 & = & (4\ pi) ^2\ раз 10 ^ 3 & (4\ пі) ^2\ рази 10 ^ 3 & 4\ пі\ раз 10^ {10} & 4\ пі\ раз 10^ {10} &\ текст {G см} ^3\\
& = & (4\ pi) ^2\ раз 10^ {-7} & (4\ пі) ^2\ раз {-7} & 4\ пі & 4\ пі &\ текст {Т м} ^3\
&&&&&&& підсилювач;\\
p_6 & = & (4\ pi) ^2\ раз 10 ^ 3 & (4\ пі) ^2\ рази 10 ^ 3 & 4\ пі\ раз 10^ {10} & 4\ пі\ раз 10^ {10} &\ текст {Ое см} ^3\\ & = & 4\ пі & 4\ пі & 10 ^ 7 & 10 ^ 7
& текст {А м} ^3\\ & = 4\ пі & 4\ пі & 10 ^ 7 & 10 ^ 7 & текст {А м} ^3\\ & 2\\
\ end {масив}

\(\text{TABLE XVII.4}\)
ВІДПОВІДІ НА ПИТАННЯ 9 — 12 В CGS EMU І SI ОДИНИЦЬ

\ begin {масив} {л л c c c л}
& 9 & 10 & 11 &\\
B & = & 1 & 1 & 10 ^ 4/ (4\ пі) & 10^ {-3} & G\\ & =
& 10^ {-4} & 10^ {-4} & 1/ (4\ пі) & 10^ {-7} & T\
&&&&&&&& \\
H & = & 1 & 10 ^ 4/ (4\ пі) & 10^ {-3} &\ текст {Ое}\\ & =
& 10 ^ 3/ (4\ пі) & 10 ^ 3/ (4\ пі) & 10\ pi) & 10 ^ 7/ (4\ пі) ^2 & 1/ (4\ пі) &\ текст {А м} ^ {-1}\
&&&&&&&&&&&\\\
p_1 & = & 1 & 1 & 10 ^ {10}/(4\ пі) & 10 ^ 3 &\ текст {дин см Ое} ^ {-1}\\
& = & 4\ пі\ раз 10^ {-10} & 4\ пі\ раз 10^ {-10} & 1 & 4\ пі\ раз 10^ {-7} &\ текст {N м (А/м)}} ^ {-1}\
&&&&\\
_2 & = & 1 & 1 & 10^ {10}/(4\ пі) & підсилювач; 10 ^ 3 &\ текст {дин см G} ^ {-1}\\
& = & 10^ {-3} & 10^ {-3} & 10 ^ 7/ (4\ пі) & 1 &\ текст {N м T} ^ {-1}\
&&&&&&\\
p_3 & = & 1 & 10^4/ (4\ pi) & 10^ {-3} & текст {G см} ^3\\
& підсилювач; = & 10^ {-10} & 10^ {-10} & 10^ {-6}/(4\ пі) & 10^ {-13} &\ текст {Т м} ^3\
&&&&&&\\
p_4 & = & 1 & 1 & 10^4/ (4\ пі) & 10^ {-3} &\ текст {Ое см} ^3\\
& 10^ {-3}/(4\ пі) & 10^ {-3}/(4\ пі) & підсилювач; 10/ (4\ пі) ^2 & 10^ {-6}/(4\ пі) &\ текст {А м} ^2\
&&&&&\
p_5 & = & 4\ пі & 4\ пі & 10^4 & 4\ пі\ раз 10^ {-3} &\ текст {Г см} ^3\\ & = & 4\ пі\ раз 10^ {-3} &\ текст {Г см} ^3\\ & = & 4\ пі\
раз 10^ {-3} &\ текст {Г см} ^3\\ & = & 4\ пі\ раз 10^ {-3}} & 4\ пі\ раз 10^ {-10} & 10^ {-6} & підсилювач; 4\ пі\ раз 10^ {-13} &\ текст {Т м} ^3\
&&&&&&\\
p_6 & = & 4\ пі & 4\ пі & 10^4 & 4\ пі\ раз 10^ {-3} &\ текст {Ое см} ^3\\
& = & 10^ {-3} & 10^ {-3} & 10/ (4\ пі) & ^ {-6} &\ текст {А м} ^2\\
\ end {масив}

Тринадцятий і останній з цих питань полягає в наступному: Припустимо, що Земля - це радіусна сфера\(6.4 \times 10^6 \text{m} = 6.4 \times 10^8 \text{cm}\), і що поверхневе поле на магнітному екваторі є\(B = 3\times 10^{-5} ,\ \text{T}=0.3 \ \text{G}, \text{or} \ H = 75/\pi \ \text{A m}^{-1} = 0.3 \ \text{Oe}\), що таке магнітний момент Землі? Важко уявити собі більш просте питання, але важко було б знайти двох людей, які б дали однакову відповідь.

Відповідь SI (який, на мене, є єдиною відповіддю)

\[B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{p}{r^3}, \ \therefore \ p=\frac{4\pi r^3 B}{\mu_0}=\frac{4\pi \times (6.4 \times 10^6)^3 \times 3 \times 10^{-5}}{4\pi \times 10^{-7}}=7.86 \times 10^{22} \ \text{N m T}^{-1}.\]

Цей результат правильно прогнозує, що, якби Земля була розміщена у зовнішньому полі\(1 \ \text{T}\), вона відчувала б максимальний крутний момент\(7.86 \times 10^{22} \ \text{N m}\), і це нормальне значення того, що мається на увазі під магнітним моментом.

Розрахунок у GCS може відбуватися таким чином:

\[B = \frac{p}{r^3}, \ \therefore \ p = r^3 B = (6.4 \times 10^8)^3 \times 0.3 = 7.86 \times 10^{25} \ \text{G cm}^3.\]

Це той самий результат, який був отриманий при розрахунку СІ? Ми можемо використовувати конверсії\(1 \ \text{G} = 10^{-4} \text{T}\) і\(1 \ \text{cm}^3 = 10^{-6} \text{m}^3\), і ми отримуємо

\[p = 7.86 \times 10^{15} \text{T m}^3.\]

Ми приходимо до числа, яке не тільки відрізняється від обчислення СІ\(10^7\), але виражається в зовсім інших, розмірно несхожих, одиницях.

Можливо, розрахунок СГС повинен бути

\[H = \frac{p}{r^3}, \ \therefore \ p = r^3H = (6.4 \times 10^8)^3 \times 0.3 = 7.86 \times 10^{25} \ \text{Oe cm}^3.\]

Тепер\(1 \ \text{Oe} = 1000/(4\pi) \ \text{A m}^{-1}\) і\(1 \ \text{cm}^3 = 10^{-6} \text{m}^3\), і отримуємо

\[p=6.26 \times 10^{21} \text{A m}^2\]

Цього разу ми приходимо до одиниць СІ, розмірно схожих на\(\text{N m T}^{-1}\), і які є абсолютно правильними одиницями СІ, але магнітний момент менший, ніж правильно передбачений розрахунком СІ з коефіцієнтом 12,6.

Знову ж таки, ми можемо зробити те, що часто роблять планетарні вчені, і ми можемо помножити\(\text{T}\) поверхневе поле на куб радіуса,\(\text{m}\) щоб отримати

\[p=7.86 \times 10^{15} \ \text{T m}^3.\]

Це приходить до того ж результату, що і один з розрахунків CGS, але, як би це не було, це не магнітний момент у сенсі найбільшого крутного моменту в одиничному полі. Отримана таким чином величина, здається, не більше, ніж добуток поверхневого екваторіального поля і куба радіуса, і як така здавалося б безцілеспрямованим і безглуздим розрахунком.

Було б набагато більш значущим просто помножити значення поверхні\(H\) на 3. Це фактично дало б (правильно) дипольний момент, розділений на об'єм Землі, і, отже, це була б середня намагніченість Землі - дуже значуща величина, яка була б корисною для порівняння магнітних властивостей Землі з властивостями інших планет.