16.6: Розміри

У книзі сказано\(W\), що еквівалентна ширина в одиницях довжини хвилі лінії спектра пов'язана з кількістю атомів на одиницю площі в прямому видимості\(N\), за

\[W= \frac{\pi e^2 N \lambda^2}{mc^2}.\]

Чи в цій формулі все в порядку в будь-якій системі одиниць? Чи можу я використовувати одиниці СІ з правого боку та отримати відповідь у метрах? Або я повинен використовувати певний набір одиниць, щоб отримати правильну відповідь? І якщо так, то які одиниці?

Книга говорить, що швидкість, з якою випромінюється енергія\(P\), від прискорювального заряду становить

\[P = \frac{2e^2\ddot x^2}{c^3}. \]

Чи правильно це? \(c\)Швидкість світла, або це просто коефіцієнт перетворення між різними одиницями? Або один з\(c\) s коефіцієнт перетворення, а два інших - швидкість світла?

Знайти відповідь на такі здивовані питання можна, якщо зробити трохи розмірного аналізу. Отже, перш ніж намагатися відповісти на ці конкретні питання (що я зроблю пізніше як приклади), я збираюся представити таблицю розмірів. Я вже дав таблицю розмірів електричних величин у главі 11, з точки зору\(\text{M, L, T}\) і\(\text{Q}\), але ця таблиця не буде особливо корисною в нинішньому контексті.

Я вказав у розділі 16.1 цієї глави, що закон Кулона часто пишеться у формі

\[F= \frac{Q_1Q_2}{r^2}.\]

Отже, розміри\(Q\) утримуються бути\([Q]= \text{M}^{1/2}\text{L}^{3/2}\text{T}^{-1}\). Але ми знаємо, що діелектрична проникність відсутня у знаменнику рівняння 16.6.3, оскільки письменник має намір обмежити свою формулу певним набором одиниць, таких як\(k\) або\(4 \pi \epsilon_0 = 1\). Для того, щоб виявити, чи була пропущена діелектрична проникність з рівняння, нам потрібна таблиця, в якій розміри електричних величин наведені не в терміні\(\text{M, L, T}\) і\(\text{Q}\) як у главі 11, а з точки зору\(\text{M, L, T}\) і\(\epsilon\), і це те, що я збираюся зробити. Однак часто саме проникність була опущена з рівняння, і, щоб виявити, чи так це, я також подаю таблицю, в якій розміри електричних величин наведені в перерахунку на\(\text{M, L, T}\) і\(\mu\).

Якщо з мірного аналізу ви виявите, що вираз розмірно неправильний за ступенем діелектричної проникності, вставте\(4\pi \epsilon_0\) у відповідну частину рівняння. Якщо ви виявите, що вираз розмірно неправильний за ступенем проникності, вставте\(\mu_0 / (4 \pi)\) у відповідну частину рівняння. Якщо ви виявите, що рівняння неправильне\(\text{LT}^{-1}\), вставте або видаліть\(c\) відповідно. Ваше рівняння буде збалансувати розмірно і буде готове до використання в будь-якій когерентній системі одиниць, включаючи СІ. Ця процедура, ймовірно, спрацює в більшості випадків, але я не можу гарантувати, що вона буде працювати у всіх випадках, тому що вона не може впоратися з тими (частими!) випадки, коли наведена формула просто неправильна, які б одиниці не використовувалися!

Тепер давайте розглянемо рівняння еквівалентної ширини лінії спектра:

\[\nonumber W= \frac{\pi e^2 N \lambda^2}{mc^2}. \tag{16.6.1}\]

Ось\([W] = \text{L}\) і\([N] = \text{L}^{-2}\). Використовуючи таблицю, ми виявляємо, що розміри правої сторони є\(\text{L} \epsilon\). Тому в знаменнику\(4 \pi \epsilon_0\) відсутній, і рівняння має бути

\[W = \frac{\pi e^2 N \lambda^2}{4 \pi \epsilon_0 m c^2}.\]

Як щодо швидкості, з якою енергія випромінюється від прискорювального заряду?

\[\nonumber P = \frac{2e^2\ddot x^2}{c^3}. \tag{16.6.2}\]

Потужність має розміри\(\text{ML}^2 \text{T}^{−3}\), тоді як розміри правої сторони є\(\text{ML}^2 \text{T}^{−3} \epsilon\), тому знову ж таки\(4 \pi \epsilon_0\) відсутній знаменник і формула повинна бути

\[P = \frac{2 e^2 \ddot x^2}{4 \pi \epsilon_0 c^3}.\]

Часто буває, що в знаменнику\(4 \pi \epsilon_0\) відсутні формули, які мають\(e^2\) нагорі.

«Електромагнітні» формули часто дають більше труднощів. Наприклад, одна книга говорить, що енергія на одиницю об'єму в магнітному полі у вакуумі є\(\frac{B^2}{8 \pi}\), в той час як інша говорить, що це так\(\frac{H^2}{8 \pi}\). Що це таке (якщо дійсно це або)? Енергія на одиницю об'єму має розміри\(\text{ML}^{−1} \text{T}^{−2}\). Розміри\(B^2\) є\(\text{ML}^{−1} \text{T}^{−2} \mu\). Отже, наведене рівняння є неправильним розмірно за проникністю, і рівняння слід розділити на,\(\mu_0 / (4 \pi)\) щоб дати\(B^2/(2\mu_0)\), що є правильним. З іншого боку, розміри\(H^2\) є, так що\(\text{ML}^{−1} \text{T}^{−2} \mu^{−1}\), можливо, нам варто помножити на\(\mu_0/(4 \pi)\)? Але це не дає правильної відповіді, і це є прикладом деяких численних труднощів, які викликані написанням формул, які не врівноважують розмірно і призначені для використання тільки з певним набором одиниць. Ситуація особливо складна щодо магнітного моменту, предмету якого я присвячую наступну главу.