Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

14.4: Друга теорема про інтеграцію (ділення функції на t)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    78758

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ця теорема дуже схожа на першу теорему інтеграції, але «навпаки». Це

    \[\textbf{L} \left(\frac{y(t)}{t} \right) = \int_s^\infty \bar{y}(x)dx.\]

    Я залишу це читачеві, щоб вивести теорему. Тут я просто наведу приклад його використання. Якщо перша теорема інтеграції є найбільш корисною для пошуку обернених перетворень, друга теорема про інтеграцію є більш корисною для пошуку прямих перетворень.

    Приклад\(\PageIndex{1}\)

    Розрахувати

    \[\textbf{L}\left(\frac{\sin at}{t} \right).\]

    Рішення

    Це означає обчислити

    \[\int_0^\infty \frac{e^{-st}\sin at}{t}dt.\]

    Хоча цей інтеграл, без сумніву, може бути зроблено, ви можете знайти його трохи складним, і друга теорема інтеграції забезпечує альтернативний спосіб зробити це, в результаті чого легше інтеграл.

    Зверніть увагу, що права сторона рівняння 14.4.1 є функцією\(s\), not of \(x\), which is just a dummy variable. The function \(\bar{y}(x)\) is the Laplace transform, with \(x\) as argument, of \(y(t)\). In our particular case, \(y(t)\) is \(\sin at\), so that, from the table, \(\bar{y}(x)=\frac{a}{a^2+x^2}\). Друга теорема інтеграції говорить нам про це\(\textbf{L} \left( \frac{\sin at}{t}\right)=\int_s^\infty \frac{a}{a^2+x^2}dx\). Це набагато простіший інтеграл. Це є\(\left[\tan^{-1} \left(\frac{x}{a} \right) \right]_s^\infty = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} \left( \frac{s}{a} \right) = \tan^{-1} \left(\frac{a}{s}\right)\). Ви можете додати цей результат до таблиці інтегралів Лапласа. Дійсно, ви вже можете значно розширити таблицю, застосувавши обидві теореми інтеграції до декількох функцій.