14.1: Вступ до трансформацій Лапласа

Якщо\(y(x)\) є функцією\(x\), де\(x\) лежать s в діапазоні\(0\) to \(\infty\), то функція\(\bar{y}(p)\) defined by

\[\bar{y}(p) = \int_0^{\infty} e^{-px} y(x) \,dx \label{14.1.1}\]

називається перетворенням Лапласа\(y(x)\). Однак у цьому розділі, де ми будемо застосовувати перетворення Лапласа до електричних ланцюгів ts,\(y\) wi ll найчастіше бути напругою або струмом, який змінюється з часом, а не з "x». Таким чином, я все використовую\(t\) як нашу змінну\(x\), а не, і я буду використовувати,\(s\) а не\(p\) (здоровий кашель буде відзначено, що, поки що, я не надав особливого фізичного сенсу для ei ther\(p\) або to\(s\).) Використання I визначить перетворення Лапласа за допомогою позначення.

\[\bar{y}(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}y(t)dt,\]

розуміючи, що він лежить в асортименті\(0\) to \(\infty\).

Коротше кажучи, я міг би написати це як

\[\bar{y}(s)=\textbf{L}y(t).\]

Коли ми вперше вивчили диференціальне обчислення, ми незабаром дізналися, що існує лише кілька функцій, чиї похідні варто було вчиняти пам'яті. Таким чином ми дізналися похідні від\(x^n, \sin x, \ e^x\) and a very few more. We found that we could readily find the derivatives of more complicated functions by means of a few simple rules, such as how to differentiate a product of two functions, or a function of a function, and so on. Likewise, we have to know only a very few basic Laplace transforms; there are a few simple rules that will enable us to calculate more complicated ones.

Після того, як ми дізналися диференціальне числення, ми натрапили на інтегральне числення. Це був зворотний процес від диференціації. Ми повинні були запитати: Яку функцію нам довелося б диференціювати, щоб досягти цієї функції? Це було так, ніби нам дали відповідь на проблему, і нам довелося вивести, що це за питання. Аналогічна ситуація буде і з трансформаціями Лапласа. Нам часто буде дана функція\(\bar{y}(s)\) and we shall want to know: what fun дії\(y(t)\) полягає в цьому перетворення Лапласа з? Іншими словами, нам потрібно знати зворотне перетворення Лапласа:

\[ y(t)= \textbf{L}^{-1} \bar{y}(s) \label{14.1.4}\]

Виявимо, що можливість обчислення перетворень Лапласа та їх обертань призводить до дуже швидких способів розв'язання деяких типів диференціальних рівнянь, зокрема типів диференціальних рівнянь, що виникають в електричній теорії. Ми можемо використовувати перетворення Лапласа, щоб побачити співвідношення між змінним струмом та напругою в ланцюгах, що містять опір, ємність та індуктивність. Однак ці методи швидкі і зручні лише в тому випадку, якщо ми перебуваємо в постійній щоденній практиці в роботі з трансформаціями Лапласа з легким знайомством. Мало хто з нас, на жаль, має розкіш щодня обчислювати перетворення Лапласа та їх зворотні зміни, і вони втрачають багато своїх переваг, якщо нам доведеться оновлювати свої спогади та відновлювати свої навички кожного разу, коли ми можемо захотіти ними скористатися. Тому можна запитати: Оскільки ми вже прекрасно знаємо, як робити обчислення змінного струму за допомогою складних чисел, чи є сенс вивчати, що просто означає інший спосіб зробити те саме? На це є відповідь. Теорія ланцюгів змінного струму, яку ми розробили в главі 13, використовуючи комплексні числа для знаходження відносин між струмом і напругою, стосувалася перш за все умов сталого стану, в яких напруги і струм змінювалися синусоїдально. Він не мав справу з перехідними ефектами, які можуть статися в перші кілька моментів після того, як ми вмикаємо електричний ланцюг, або ситуацій, коли коливання часу не є синусоїдальними. Підхід до перетворення Лапласа буде однаково добре справлятися зі сталим станом, синусоїдальними, несинусоїдальними та перехідними ситуаціями.