10.7: Лінійні двигуни та генератори
- Page ID
- 78528
Більшість (але не всі!) справжні двигуни і генератори, звичайно ж, роторні. У цьому розділі я опишу високо ідеалізовані та уявні лінійні двигуни та генератори, лише тому, що геометрія простіша, ніж для роторних двигунів, і простіше пояснити певні принципи. Потім ми перейдемо на роторні двигуни.
На малюнку Х.7 порівнюю мотор і генератор. В обох випадках передбачається зовнішнє магнітне поле (від якогось зовнішнього магніту), спрямоване подалі від зчитувача. Металевий стрижень спирається на пару провідних рейок.
\(\text{FIGURE X.7}\)
У двигуні в ланцюг підключається акумулятор, в результаті чого струм протікає за годинниковою стрілкою навколо ланцюга. Взаємодія між струмом і зовнішнім магнітним полем виробляє силу на стрижень, переміщаючи його вправо.
У генераторі стрижень переміщується вправо деякою зовнішньо прикладеною силою, і проти годинникової стрілки наводиться струм. Якщо Б всередині кола являє собою лампочку, через лампочку буде протікати струм, і лампочка загориться.
Припустимо, що рейки гладкі і без тертя, і припустимо, що в двигуні стрижень не тягне будь-якої ваги. Тобто припустимо, що механічного навантаження на мотор немає. Як швидко буде рухатися вудилище? Оскільки є сила, що рухає стрижень вправо, чи буде він продовжувати розганятися на невизначений час вправо, без обмеження його можливої швидкості? Ні, це не те, що відбувається. При першому замиканні вимикача, а стрижень нерухомий, буде протікати струм\(E = IR\), заданий тим, де\(E\) знаходиться ЕРС батареї і\(R\) є сумарним опором ланцюга. Однак, коли стрижень досяг швидкості\(v\), площа ланцюга збільшується зі швидкістю\(av\), а зворотна ЕРС (яка протистоїть ЕРС батареї), величини\(avB\) індукується, тому чиста ЕРС в ланцюзі тепер\(E-avB\) і струм відповідно зменшується відповідно до
\[\label{10.7.6}E-avB=IR.\]
Врешті-решт стрижень досягає граничної швидкості\(E / (aB)\), в цей момент подальший струм не береться від акумулятора, і стрижень (ковзаючи, як він знаходиться на рейках без тертя без механічного навантаження) потім підпорядковується першому закону Ньютона руху - а саме він буде продовжувати в своєму стані рівномірного руху, тому що немає сили не діють на нього.
Проблема 1. Покажіть, що швидкість збільшується з часом відповідно до
\[\label{10.7.7}v=\frac{E}{aB}\left ( 1- \text{exp}\left ( -\frac{(aB)^2t}{mR}\right ) \right ),\]
де\(m\) - маса стрижня.
Проблема 2. Покажіть, що час досягнення вудилищем половини своєї максимальної швидкості становить
\[\label{10.7.8}t_{1/2}=\frac{mR\ln 2}{(aB)^2}.\]
Проблема 3. Припустимо, що\(E = 120\text{ V},\, a = 1.6\text{ m} ,\, m = 1.92\text{ kg and }R = 4 \Omega\). Якщо стрижень досягає швидкості\(300\text{ m s}^{−1}\text{ in }300\text{ s}\), яка сила магнітного поля?
Рішення цих проблем я приведу в кінці цього розділу. До тих пір — ніякого підглядання.
У роторному двигуні без тертя ситуація була б аналогічною. Спочатку струм був би\(E/R\), але, коли мотор обертається з кутовою швидкістю\(\omega\), середня зворотна ЕРС дорівнює\(2NAB \omega / \pi\) рівнянням 10.5.2 і 10.6.5), і до того моменту, коли це досягла ЕРС акумулятора, нефрикційна, безнавантажувальна котушка продовжує обертатися з постійною кутовою швидкістю, не беручи струм від акумулятора.
Тепер повернемося до нашого лінійного мотора, що складається з металевого стрижня, що лежить на двох рейках, але на цей раз припустимо, що є деякий механічний опір руху. Це може бути або тому, що існує тертя між стрижнем і рейками, або, можливо, стрижень тягне важку вагу за ним, або обидва. Так чи інакше, припустимо, що стрижень піддається постійній силі\(F\) вліво. Як і раніше, співвідношення між струмом і швидкістю задається Equation\ ref {10.7.6}, але, коли досягнуто сталого стану, електромагнітна сила, що\(aIB\) тягне стрижень вправо, дорівнює механічному навантаженню, що\(F\) тягне стрижень вліво. Тобто,\(E - av B = IR\text{ and }F = a I B\). Якщо усунути\(I\) між цими двома рівняннями, отримаємо
\[\label{10.7.9}E-avB=\frac{FR}{aB},\]
або
\[\label{10.7.10}v=\frac{E}{aB}-\frac{R}{(a\,B)^2}F.\]
Це рівняння, яке пов'язує швидкість, з якою двигун працює, з механічним навантаженням, називається характеристикою продуктивності двигуна. У нашому конкретному двигуні характеристика продуктивності показує, що швидкість, з якою працює двигун, стабільно зменшується при збільшенні навантаження, і двигун працює до зупинки шліфування для навантаження, рівного\(a B E / R\). (Переконайтеся, що це має розміри сили.) Струм тоді\(E/R\). Цей струм може бути досить великим. Якщо ви фізично запобігаєте повороту справжнього двигуна, застосовуючи механічний крутний момент до нього настільки великий, що двигун не може рухатися, через котушку буде протікати великий струм - досить великий, щоб нагріти і, можливо, запалити котушку. Ви почуєте різку тріщину і побачите невелику затяжку диму.
Якщо помножити рівняння\ ref {10.7.6} на\(I\), отримаємо
\[\label{10.7.11}EI=aIBv+I^2 R,\]
або
\[\label{10.7.12}EI=Fv+I^2R.\]
Це показує, що потужність, вироблена батареєю, частково йде на зовнішню механічну роботу, а решта розсіюється як тепло в опорі. Утримуйте мотор так\(v = 0\), що, і все, що\(E I\) йде в\(I^2 R\).
Якщо фізично переміщати стрижень вправо зі швидкістю швидше рівноважної швидкості, то задня ЕРС стає більше ЕРС акумулятора, а струм надходить назад в батарею. Пристрій тоді є генератором, а не двигуном.
Характер експлуатаційної характеристики змінюється в залежності від деталей конструкції двигуна. Ви можете не захотіти двигун, швидкість якого так різко зменшується з навантаженням. Можливо, вам доведеться заздалегідь вирішити, яку характеристику продуктивності ви хочете мати двигун, залежно від того, які завдання ви хочете, щоб він виконував, а потім вам доведеться відповідно спроектувати двигун. Про деякі можливості ми згадаємо в наступному розділі.
Тепер — обіцяні рішення проблем.
Рішення проблеми 1.
Коли швидкість штока є\(v\), чиста ЕРС в ланцюзі є\(E - a Bv\), тому струм є\((E - a Bv) /R\), і так сила на штоку буде\(aB(E - a Bv) /R\) і прискорення\(dv / dt\) буде\(aB(E - a Bv) /(mR)\). Таким чином, рівняння руху
\[\frac{dv}{E-aBv}=\frac{aB}{mR}dt.\label{10.7.13}\]
Інтеграція, з\(v = 0\) when\(t = 0\), дає необхідне рівняння\ ref {10.7.7}.
Рішення проблеми 2.
Просто введіть\(v = \frac{E}{ 2a B}\) в Equation\ ref {10.7.7} і вирішіть для\(t\). Переконайтеся, що вираз має розміри часу.
Рішення задачі 3.
Помістіть задані числа в Equation\ ref {10.7.7}, щоб отримати
\[\label{10.7.14}B=\frac{1}{4}(1-e^{-100B^2})\]
і вирішити це для\(B\). (Приємно і легко. Але якщо ви не маєте досвіду у вирішенні таких рівнянь, як це, процес Ньютона-Рафсона описаний в главі 1 приміток Небесної Механіки цієї серії. Це рівняння було б хорошою практикою.) Є дві можливі відповіді,\(0.043996\) а саме 0.249505 тесла. Я малюю графіки швидкості: час для двох рішень нижче:
Номери, що цікавлять для двох полів:
\[\nonumber \begin{align}&B\text{ (T)}\quad \quad &v_\infty (\text{m s}^{-1})\quad\quad\quad &\overline t\,\text{ s} \\ \nonumber \\ \nonumber&0.0440 \quad\quad &1704.7 \quad\quad\quad &1074.29 \\ \nonumber &0.2495 \quad\quad &300.6 \quad\quad\quad &33.40 \\ \end{align}\]