7,9: Магнітожиричне співвідношення

Магнітний момент і кутовий момент є важливими властивостями субатомних частинок. Кожна з них, однак, залежить від кутової швидкості обертання частинки. Відношення магнітного моменту до моменту моменту, навпаки, не залежить від швидкості обертання, і говорить нам щось про те, як маса і заряд розподіляються всередині частинки. Крім того, його можна виміряти з більшою точністю, ніж або магнітний момент, або кутовий момент окремо. Це співвідношення називається магнітогирическим відношенням (або, збочено і нелогічно, деякими, «гіромагнітним відношенням»). Ви повинні вміти показати, що розміри магнітогирического відношення є\(\text{QM}^{−1}\), і тому одиниця СІ є\(\text{C kg}^{−1}\). Я сумніваюся, однак, якщо багато фізиків частинок використовують такі прості одиниці. Вони, ймовірно, виражають магнітний момент у магнітах Бора або ядерних магнітах і кутовий імпульс в одиницях постійної Планка,\(2\pi\) розділених на - але це не наша проблема.

Обчислимо магнітогиричне співвідношення точкового заряду і точкової маси, що рухаються по круговій орбіті - скоріше, як електрон, що рухається навколо протона в найпростішій моделі атома водню. Припустимо, що кутова швидкість на орбіті є,\(\omega\) а радіус орбіти дорівнює\(a\). Кутовий імпульс легко — це просто\(ma^2\omega\). Частота, з якою частка (заряд якої\(Q\)) проходить задану точку по своїй орбіті\(\omega/(2\pi)\), є, таким чином, струм є\(Q\omega/(2\pi)\). Площа орбіти\(\pi a^2\) і так магнітний момент орбітальної частинки є\(\frac{1}{2}Q\omega a^2\). Отже, магнітогиричне співвідношення є\(Q/(2m)\).

Магнітогирическое співвідношення буде таким же, як це в будь-якому прядильному тілі, в якому розподіли щільності маси і щільності заряду всередині тіла однакові. Розглянемо, однак, магнітогирическое співвідношення зарядженої, що обертається металевої сфери. Маса розподіляється рівномірно по всій сфері, але заряд все знаходиться на поверхні. Тоді ми можемо очікувати, що магнітогирическое співвідношення буде досить більшим, ніж\(Q/(2m)\).

Кутовий імпульс легко. Це просто\(\frac{2}{5}ma^2\omega\). Тепер про магнітний момент. Зверніться до рис\(\text{VII.6}\).

\(\text{FIGURE VII.6}\)

Площа показаної стихійної зони є\(2\pi a^2 \sin\theta d\theta\). Площа всієї сфери є\(4\pi a^2\), тому заряд на стихійній зоні є\(\frac{1}{2}Q\sin \theta d\theta\). Зона крутиться, як і вся сфера, з кутовою швидкістю\(\omega\), тому струм

\[\frac{1}{2}Q\sin\theta d\theta \times \omega/(2\pi) = \frac{Q\omega \sin\theta d\theta}{4\pi}\]

Площа, обнесена стихійною зоною, є\(\pi a^2 \sin^2 \theta\). Магнітний момент\(dp_m\) зони - це поточний час на закриту область, яка

\[dp_m = \frac{1}{4}Q\omega a^2 \sin^3 \theta d\theta\]

Магнітний момент всієї сфери знаходять шляхом інтеграції цього від\(\theta\) = 0 до\(\pi\), звідки

\[p_m = \frac{1}{3}Q\omega a^2\]

Тому відношення магнітного моменту до моменту моменту\(5Q/(6m)\).

Ті, хто знайомий з гіроскопічним рухом, будуть знати, що якщо\(\textbf{L}\) обертається тіло кутового моменту піддається крутному моменту \(\tau\), то вектор кутового імпульсу не буде постійним в напрямку і дійсно швидкість зміни кутового моменту буде дорівнює \(\tau\) . Малюнок\(\text{VII.7}\) є нагадуванням про рух вершини в регулярній прецесії (тобто без нутації).

\(\text{FIGURE VII.7}\)

Для більш детального розуміння руху вершини знадобиться вивчення глави 4 Розділу 4.10 Класичної Механіки. Верх схильний до крутного моменту величини\(mgl \sin\theta\). Крутний момент може бути представлений вектором, \(\tau\)спрямованим в площину паперу. Як намальовано, вектор кутового імпульсу\(\textbf{L}\) складає кут\(\theta\) із гравітаційним полем\(\textbf{g}\), і він переступає щодо вертикалі з кутовою швидкістю \(\Omega\), трьома векторами \(\tau\),\(\textbf{L}\) і \(\Omega\)пов'язане \(\tau = \textbf{L} \times \Omega\). Отже, величина вектора кутового імпульсу є\(\tau/(L \sin \theta)\). Але\(\tau = mgl \sin\theta\), так що прецесійна частота\(mgl/L\), незалежна від\(\theta\). Аналогічно заряджене прядильне тіло з магнітним моментом\(\textbf{p}_m\) - це магнітне поле\(\textbf{B}\) відчуває крутний момент \(\tau = \textbf{p}_m \times \textbf{B}\), який має величину\(p_mB \sin \theta\), і, отже, його вектор кутового імпульсу перегинається навколо з кутовою\(\textbf{B}\) швидкістю\(\frac{p_m}{L} B\), незалежною від \(\theta\). (Переконайтеся, що це має розміри\(\text{T}^{−1}\).) Коефіцієнт\(B\) тут - магнітогирическое відношення. Прецесійну швидкість можна виміряти дуже точно, а отже, магнітогиричне співвідношення можна виміряти відповідно точно. Це явище «прецесії Лармора» є основою багатьох цікавих інструментів і дисциплін, таких як магнітометр прецесії протонів, ядерно-магнітно-резонансна спектроскопія і ядерно-магнітно-резонансна томографія, що використовуються в медицині. Оскільки все, що включає слово «ядерний», є політично некоректною фразою, слово «ядерний» зазвичай скидається, а ядерно-магнітно-резонансна томографія зазвичай називається просто «магнітно-резонансною томографією», або МРТ, що не зовсім має сенсу, але принаймні політично коректно.