Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.12: Граничні умови

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    78726

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Нагадаємо з розділу 5.14, що на кордоні між двома середовищами різної діелектричної здатності нормальна складова\(\textbf{D}\) і тангенціальна складова\(\textbf{E}\) є неперервними, тоді як тангенціальна складова\(\textbf{D}\) пропорційна\(\epsilon\) і нормальна складова\(\textbf{E}\) обернено пропорційна\(\epsilon\). Лінії електричної сили заломлюються на кордоні таким чином, що

    \[\frac{\tan \theta_1 }{\tan \theta_2}=\frac{\epsilon_1}{\epsilon_2}.\]

    Аналогічна ситуація і з магнітними полями. Тобто на кордоні між двома середовищами різної проникності нормальна складова\(\textbf{B}\) і тангенціальна складова\(\textbf{H}\) є неперервними, тоді як тангенціальна складова\(\textbf{B}\) пропорційна m, а нормальна складова\(\textbf{H}\) обернено пропорційна \(\mu\). Лінії магнітної сили заломлюються на кордоні таким чином, що

    \[\frac{\tan \theta_1 }{\tan \theta_2}=\frac{\mu_1}{\mu_2}.\]


    \(\text{FIGURE VI.16}\)

    Конфігурація магнітного поля всередині нескінченно довгого соленоїда з матеріалами різної проникності потребує певного догляду. Ми будемо керуватися законом Біот-Савара\(B=\frac{\mu I \,ds\,\sin \theta}{4\pi r}\), а саме законом Ампера, а саме тим, що лінійний інтеграл\(\textbf{H}\) навколо замкнутого контуру дорівнює замкнутому струму. Нагадаємо також, що магнітне поле всередині нескінченного соленоїда, що містить єдиний однорідний ізотропний матеріал, є рівномірним, паралельно осі соленоїда, і задається\(H=nI\) або\(B=\mu nI\).

    Найпростіший двоматеріальний випадок для розгляду - це той, в якому два матеріали розташовані паралельно, як на малюнку VI.17.


    \(\text{FIGURE VI.17}\)

    Можна побачити, застосовуючи закон Ампера до кожного з двох ланцюгів, позначених пунктирними лініями, що\(H\) -поле однакове в кожному матеріалі і дорівнює\(nI\), і є рівномірним у всьому соленоїді. Він спрямований паралельно осі соленоїда. Тобто тангенціальна складова\(\textbf{H}\) є безперервною. Однак\(B\) -поля в двох матеріалах різні, перебуваючи\(\mu_1 nI\) у верхньому матеріалі та\(\mu_2 nI\) в нижньому.

    Тепер ми розглянемо ситуацію, в якій два матеріали знаходяться послідовно, як на малюнку VI.18.

    Ми будемо використовувати горизонтальну координату\(x\), яка дорівнює нулю на кордоні, негативний зліва від нього, і позитивний праворуч від нього.


    \(\text{FIGURE VI.18}\)

    Спочатку ми можемо спокуситися припустити, що\(B=\mu_1 nI\) зліва від кордону і праворуч від кордону,\(B=\mu_2 nI\) в той час як, шляхом застосування закону Ампера навколо будь-якого з пунктирних схем, вказаних, з обох\(H=nI\) сторін. Хоча це спокусливо, це не правильно, і ми зрозуміємо, чому незабаром.

    \(B\)-поле дійсно\(\mu_1 nI\) довгий шлях ліворуч від кордону, і\(\mu_2 nI\) довгий шлях праворуч. Однак близько до кордону вона знаходиться між цими граничними значеннями. Ми можемо обчислити\(B\) -поле на осі на кордоні тим же методом, який ми використовували в розділі 6.8. Див. Особливо рівняння 6.8, яке з теперішньою геометрією стає

    \[B=\frac{1}{2}\mu_1 nI \int_{-\pi/2}^{0}\cos \theta \, d\theta + \frac{1}{2}\mu_2 nI \int_{0}^{\pi /2}\cos \theta \, d\theta .\label{6.12.1}\]

    Не дивно, що це стосується

    \[B=\frac{1}{2}(\mu_1 + \mu_2 ) nI.\label{6.12.2}\]

    Це те ж саме ліворуч від кордону і просто праворуч.

    Однак\(H\) -поле раптово падає на кордоні від\(\frac{1}{2}\left ( 1+\frac{\mu_2}{\mu_1}\right ) nI\) одразу ліворуч від кордону\(\frac{1}{2}\left ( 1+\frac{\mu_1}{\mu_2}\right ) nI\) відразу праворуч від кордону.

    У будь-якому випадку, дуже важливими результатами з цих міркувань є

    • На кордоні між двома середовищами різної проникності паралельна складова безперервна, а перпендикулярна складова\(\textbf{B}\) - безперервна.\(\textbf{H}\)

    Порівняйте і контрастуйте це з електричним корпусом:

    • На кордоні між двома середовищами різної діелектричної здатності паралельна складова безперервна, а перпендикулярна складова\(\textbf{D}\) - безперервна.\(\textbf{E}\)