3.9: Потенціал на великій відстані від зарядженого тіла

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78707

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Ми хочемо знайти потенціал у точці P на великій відстані\(R\) від зарядженого тіла, з точки зору його загального заряду та його диполя, квадруполя та, можливо, моментів вищого порядку. Не буде втрати спільності, якщо ми виберемо набір осей такий, що P знаходиться на\(z\) -осі.

\(\text{FIGURE III.14}\)

Ми посилаємося на рис\(III\). 14, і розглядаємо об'ємний елемент\(δτ\) на відстані r від деякого походження. Точка Р знаходиться на відстані r від початку і відстані\(∆ \text{ from }δτ\). Потенціал при Р від заряду в елементі\(δτ\) задається

\[4\pi\epsilon_0 \delta V = \dfrac{\rho \delta \tau }{\Delta} = \dfrac{\rho}{R}\left ( 1+\dfrac{r^2}{R^2}-\dfrac{2r}{R}\cos \theta \right )^{-1/2}\delta \tau ,\]

і тому потенціал від заряду на все тіло задається

\[4\pi\epsilon_0 V =\dfrac{1}{R} \int \rho \left ( 1+\dfrac{r^2}{R^2} -\dfrac{2r}{R}\cos \theta \right )^{-1/2}\delta \tau .\]

Розгорнувши дужки біноміальної теоремою, ми знаходимо, після невеликої неприємності, що це стає

\[4\pi\epsilon_0 V = \dfrac{1}{R}\int \rho \,d\tau + \dfrac{1}{R^2}\int \rho r P_1 (\cos \theta)\,d\tau + \dfrac{1}{2!R^3}\int \rho r^2 P_2 (\cos \theta)]\, d\tau + \dfrac{1}{3!R^4}\int \rho r^3 P_3 (\cos \theta )\,d\tau + ... , \]

де многочлени P - многочлени Лежандра, задані

\[\begin{align}P_1 (\cos \theta ) &= \cos \theta \\ P_2(\cos \theta) &= \dfrac{1}{2}(3\cos^2 \theta -1 ), \\ P_3(\cos \theta)&=\dfrac{1}{2}(5\cos^3 \theta - 3\cos \theta ). \\ \end{align}\]

З форм цих інтегралів і визначень компонентів дипольного і квадрупольного моментів ми бачимо, що це тепер можна записати:

\[4\pi\epsilon_0 V = \dfrac{Q}{R} + \dfrac{p}{R^2}+\dfrac{1}{2R^3}(3q_{zz}-Tr\textbf{q})+...,\label{3.9.7}\]

Тут Tr q - слід чотирипольної матриці моменту, або (інваріантна) сума її діагональних елементів. Також можна записати рівняння\ ref {3.9.7}

\[4\pi\epsilon_0V=\dfrac{Q}{R}+\dfrac{p}{R^2}+\dfrac{1}{2R^3}[2q_{zz}-(q_{xx}+q_{yy})]+... . \]

Величина\(2q_{zz}-(q_{xx}+q_{yy})\) діагональної матриці часто називають «квадрупольним» моментом. Він дорівнює нулю, якщо всі три діагональні компоненти дорівнюють нулю або якщо\(q_{zz}=\dfrac{1}{2}(q_{xx}+q_{yy})\). Якщо тіло має циліндричну симетрію щодо\(z\) -осі, це стає\(2(q_{zz}-q_{xx})\).

\(\text{FIGURE III.15}\)

Рішення цієї вправи легко, якщо знати про многочлени Лежандра. Див. Розділ 1.14 моїх заміток про небесну механіку. Що вам потрібно знати, це те, що розширення\((1-2ax+x^2)^{-1/2}\) можна записати як ряд многочленів Лежандра, а саме\(P_0(x)+xP_1(x)+x^2P_2(x)+...\). Вам також потрібна (дуже маленька) таблиця полінамов Лежандра, а саме\(P_0(x)=1,\,P_1(x)=x,\,P_2(x)=\dfrac{1}{2}(3x^2-1)\). З огляду на це, ви повинні знайти вправу дуже легко.