3.8: Квадрупольний момент

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78703

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо систему зарядів, показану на малюнку\(III\) .13. Він не має чистого заряду та чистого дипольного моменту. На відміну від диполя, він не буде відчувати ні чистої сили, ні чистого крутного моменту в будь-якому рівномірному полі. Він може відчувати або не відчувати чисту силу у зовнішньому неоднорідному полі. Наприклад, якщо ми думаємо про квадруполь як про два диполя, кожен диполь буде відчувати силу, пропорційну локальному градієнту поля, в якому він опиняється. Якщо градієнти поля в місці розташування кожного диполя рівні, сили на кожному диполі будуть рівними, але протилежними, і на квадруполі не буде чистої сили. Якщо, однак, градієнти поля в положеннях двох диполів нерівні, сили на двох диполах будуть нерівні, і на чотириполі буде чиста сила. Таким чином, буде чиста сила, якщо є ненульовий градієнт градієнта поля. Зазначено іншим способом, не буде чистої сили на квадруполі, якщо змішані другі часткові похідні компонентів поля (треті похідні потенціалу!) дорівнюють нулю. Далі, якщо квадруполь знаходиться в нерівномірному полі, збільшуючись, скажімо, праворуч, верхня пара буде відчувати силу вправо, а нижня пара буде відчувати силу вліво; таким чином система буде відчувати чистий крутний момент в неоднорідному полі, хоча не буде чистої сили, якщо поле градієнти на двох парах нерівні.

\(\text{FIGURE III.13}\)

Система має те, що відомо як квадрупольний момент. У той час як один заряд є скалярною величиною, а дипольний момент - векторною величиною, квадрупольний момент - це симетричний тензор другого порядку.

Дипольний момент системи зарядів являє собою вектор з трьома складовими, заданими

\[\begin{align*} p_x &=\sum Q_i x_i \\[4pt] p_y &=\sum Q_iy_i \\[4pt] p_z &=\sum Q_i z_i . \end{align*}\]

Квадрупольний момент\(\textbf{q}\) має дев'ять складових (з яких шість є різними), визначених

\[q_{xx}=\sum Q_ix_i^2 \nonumber\]

\[ q_{xy}=\sum Q_ix_iy_i \nonumber\]

і т.д., а його матричне представлення

\[\textbf{q}=\begin{pmatrix} q_{xx} & q_{xy} & q_{xz} \\ q_{xy} & q_{yy} & q_{yz} \\ q_{xz} & q_{yz} & q_{zz} \\ \end{pmatrix}\label{3.8.1}\]

Для безперервного розподілу заряду з\(ρ\) кулонами щільності заряду на квадратний метр, компоненти будуть задаватися\(q_{xx}=\int \rho x^2 d\tau \) і т.д., де\(d\tau\) об'ємний елемент, заданий у прямокутних координатах по\(dx\,dy\,dz\) сферичним координатам\(r^2\sin θ\,dr\,dθ\,dφ\). Одиницею СІ квадрупольного моменту є C m ², а розміри L ² Q, За відповідним обертанням осей, звичайним способом (див. Наприклад, розділ 2.17 Класичної механіки) матрицю можна діагоналізувати, а діагональні елементи - тоді власні значення квадрупольного моменту, і слід матриці незмінний обертанням.