3.7: Простий диполь

Як ви можете очікувати з назви цього розділу, це буде найскладніший і складний розділ цієї глави поки що. Нашою метою буде обчислити поле і потенціал, що оточує простий диполь.

Простий диполь - це система, що складається з двох зарядів\(+Q \text{ and }−Q\), розділених відстанню\(2L\). Дипольний момент цієї системи якраз\(p = 2QL\). Ми припустимо, що диполь лежить вздовж осі х, з негативним зарядом в\(x = −L\) і позитивним зарядом в\(x = +L\). Див.\(III\) Рис. 5.

\(\text{FIGURE III.5}\)

Розрахуємо спочатку електричне поле в точці Р на відстані\(y\) уздовж\(y\) -осі. Буде домовлено, я думаю, що він спрямований вліво і дорівнює

\[E_1 \cos \theta +E_2 \cos \theta,\text{ where }E_1=E_2=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 (L^2+y^2 )}\text{ and } \cos \theta = \dfrac{L}{(L^2+y^2)^{1/2}}.\nonumber\]

Тому

\[E=\dfrac{2QL}{4\pi\epsilon_0(L^2+y^2)^{3/2}}=\dfrac{p}{4\pi\epsilon_0(L^2+y^2)^{3/2}}.\label{3.7.1}\]

Для великих\(y\) це стає

\[\label{3.7.2}E=\dfrac{p}{4\pi\epsilon_0y^3}.\]

Тобто поле відвалюється як куб відстані.

Щоб знайти поле на\(x\) -осі, зверніться до рис\(III\). 6.

\(\text{FIGURE III.6}\)

Буде домовлено, я думаю, що поле спрямоване в бік правого і рівне

\[\label{3.7.3}E=E_1-E_2=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0} \left (\dfrac{1}{(x-L)^2}-\dfrac{1}{(x+L)^2}\right ).\]

Це можна записати\(\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0x^2} \left (\dfrac{1}{(1-L/x)^2}-\dfrac{1}{(1+L/x)^2}\right )\), і при розширенні цього біноміальною теоремою, нехтуючи умовами порядку\((L / x)^2\) і меншим, ми бачимо, що при великому x поле є

\[\label{3.7.4}E=\dfrac{2p}{4\pi\epsilon_0x^3}.\]

Тепер для поля в точці P, яка не знаходиться ні на осі (\(x\)-осі), ні на екваторі (\(y\)-осі) диполя. Див. Рисунок\(III\) 7.7.

\(\text{FIGURE III.7}\)

Ймовірно, буде домовлено, що не буде особливо важко записати вирази для внесків на поле при P з кожного з двох зарядів по черзі. Потім починається складна частина; два внески в поле знаходяться в різних і незручних напрямках, і додавання їх векторно буде трохи головним болем.

Набагато простіше обчислити потенціал при P, так як два внески в потенціал можуть бути додані у вигляді скалярів. Тоді ми можемо знайти x - і y -компоненти поля шляхом обчислення\(∂V / ∂x\) і\(∂V/∂y\).

Таким чином

\[V=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left ( \dfrac{1}{\{(x-L)^2+y^2\}^{1/2}}-\dfrac{1}{\{(x+L)^2+y^2\}^{1/2}}\right ) . \label{3.7.5}\]

Для початку я збираюся досліджувати потенціал і поле на великій відстані від диполя - хоча я повернуся пізніше до найближчої його околиці.

На великих відстанях від малого диполя (див\(III\). Рис. 8) ми можемо писати,\(r^2=x^2+y^2\),

\(\text{FIGURE III.8}\)

і, з\(L^2 << r^ 2\), вираз 3.7.5 для потенціалу при Р стає

\[V=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left ( \dfrac{1}{(r^2-2Lx)^{1/2}}-\dfrac{1}{(r^2+2Lx)^{1/2}}\right )=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}\left ( (1-2Lx/r^2)^{-1/2}-(1+2Lx/r^2)^{-1/2}\right ).\nonumber\]

Коли це розширюється біноміальною теоремою, ми знаходимо, щоб замовити L/r, що потенціал може бути записаний будь-яким з наступних еквівалентних способів:

\[\label{3.7.6}V=\dfrac{2QLx}{4\pi\epsilon_0 r^3}=\dfrac{px}{4\pi\epsilon_0 r^3}=\dfrac{p\cos \theta}{4\pi\epsilon_0 r^2}=\dfrac{\textbf{p}\cdot \textbf{r}}{4\pi\epsilon_0 r^3}.\]

Таким чином, рівнопотенціали мають форму

\[\label{3.7.7}r^2=c\cos \theta ,\]

де

\[\label{3.7.8}c=\dfrac{p}{4\pi\epsilon_0 V}.\]

Тепер, маючи на увазі це\(r^2+x^2+y^2\), ми можемо\(V=\dfrac{px}{4\pi\epsilon_0 r^3}\)\(y\) диференціювати\(x\) та знаходити\(x\) - і\(y\) -компоненти поля. Таким чином, ми виявляємо, що

\[\label{3.7.9}E_x =\dfrac{p}{4\pi\epsilon_0}\left ( \dfrac{3x^2-r^2}{r^5}\right ) \text{ and }E_y=\dfrac{pxy}{4\pi\epsilon r^5}.\]

Ми також можемо використовувати полярні координати, щоб знайти радіальні та поперечні компоненти\(E_r=-\dfrac{∂V}{∂r}\text{ and }E_\theta = -\dfrac{1}{r}\dfrac{∂V}{∂\theta}\text{ together with }V=\dfrac{p\cos \theta}{4\pi\epsilon_0 r^2}\) для отримання

\[\label{3.7.10}E_r = \dfrac{2p\cos \theta}{4\pi\epsilon_0 r^3},\quad E_\theta = \dfrac{p\sin \theta }{4\pi\epsilon_0 r^3}\text{ and }E=\dfrac{p}{4\pi\epsilon_0 r^3}\sqrt{1+3 \cos^2 \theta}.\]

Кут, який\(\textbf{E}\) робить з віссю диполя в точці,\((r, θ)\) є\(θ + \tan^{-1}\dfrac{1}{2}\tan \theta\).

Для тих, хто любить векторне обчислення, ми також можемо сказати\(\textbf{E}=-\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\nabla \left ( \dfrac{\textbf{p}\cdot \textbf{r}}{r^3}\right ) \), з якого, після невеликої алгебри і досить багато векторного числення, ми знаходимо

\[\label{3.7.11}\textbf{E}=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\left ( \dfrac{3(\textbf{p}\cdot \textbf{r})\textbf{r}}{r^5}-\dfrac{\textbf{p}}{r^3}\right ).\]

Це рівняння містить всю інформацію, яку ми, ймовірно, хочемо, але я очікую, що більшість читачів віддадуть перевагу більш явним прямокутним і полярним формам рівнянь\ ref {3.7.9} і\ ref {3.7.10}.

Рівняння\ ref {3.7.7} дає рівняння рівнянню рівняння рівнопотенціалів. Рівняння до силових ліній можна знайти наступним чином. Звертаючись до рис\(III\). 9, ми бачимо, що диференціальне рівняння до силових ліній дорівнює

\(\text{FIGURE III.9}\)

\[\label{3.7.12}r\dfrac{d\theta}{dr}=\dfrac{E_\theta}{E_r}=\dfrac{\sin \theta}{2\cos \theta}=\dfrac{1}{2}\tan \theta ,\]

який після інтеграції стає

\[\label{3.7.13}r=a\sin^2 \theta .\]

Зверніть увагу, що рівняння\(r^2= c\cos θ\) (для рівнопотенціалів) і\(r= a \sin^2 \theta\) (для силових ліній) є ортогональними траєкторіями, і будь-який може бути отриманий від іншого. Таким чином, враховуючи, що диференціальне рівняння до силових ліній знаходиться\(r\dfrac{d\theta}{dr}= \dfrac{1}{2}\tan \theta\) з розв'язком\(r=a\sin^2 \theta\), диференціальне рівняння до ортогональних траєкторій (тобто рівнопотенціалів) є\(-\dfrac{1}{r}\dfrac{dr}{d\theta}=\dfrac{1}{2}\tan \theta\), з розв'язком\(r^2=c\cos \theta\).

На малюнку\(III\) .10 передбачається крихітний диполь, розташований біля початку. Одиниця довжини становить\(L\), половина довжини диполя. Я намалював вісім ліній електричного поля (безперервних), відповідних a = 25, 50, 100, 200, 400, 800, 1600, 3200. Якщо r виражається в одиницях\(L\), а якщо\(V\) виражається в одиницях\(\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 L}\), то можна записати рівняння\ ref {3.7.7} і\ ref {3.7.8} для рівнопотенціалів\(r=\sqrt{\dfrac{2\cos \theta}{V}}\), а я намалював сім рівнопотенціалів (пунктирних) для\(V\) = 0,0001, 0,0002, 0,0004, 0,0008, 0,0016, 0.0032, 0.0064. Це буде помічено з Equation\ ref {3.7.9a}, а також видно з рисунка\(III\) .10, що\(E_x\) дорівнює нулю для\(\theta = 54^\circ \, 44'\).

\(\text{FIGURE III.10}\)

В кінці цієї глави я додаю (геофізичне) вправу в геометрії поля на великій відстані від малого диполя.

Рівнопотенціали поблизу диполя

Це, отже, лінії поля і рівнопотенціали на великій відстані від диполя. Ми дійшли до цих рівнянь і графіків шляхом розширення Equation\ ref {3.7.5} біноміально, і нехтуючи термінами більш високого порядку, ніж\(L/r\). Тепер ми дивимося близько до диполя, де ми не можемо зробити таке наближення. Зверніться до рис\(III\). 7.

Ми можемо записати рівняння\ ref {3.7.5} як

\[\label{3.7.14}V(x,y)=\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left ( \dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}\right ),\]

де\(r_1^2=(x-L)^2+y^2 \text{ and }r_2^2=(x+L)^2+y^2\). Якщо, як і раніше, ми виражаємо відстані в терміні\(L\) і\(V\) в одиницях\(\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 L}\), вираз для потенціалу стає

\[\label{3.7.15}V(x,y)\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2},\]

де\(r_1^2=(x+1)^2+y^2 \text{ and }r_2^2=(x-1)^2+y^2\).

Одним із способів побудови рівнопотенціалів було б\(L\) обчислити цілу сітку\((x , y)\) значень, а потім використовувати процедуру побудови контуру для малювання рівнопотенціалів. Мої обчислювальні навички не до цього, тому я збираюся побачити, якщо ми можемо знайти якийсь спосіб побудови рівнопотенціалів безпосередньо.

Представляю два методи. У першому методі я використовую Equation\ ref {3.7.15} і намагаюся маніпулювати ним, щоб я міг обчислити\(y\) як функцію\(x\) і\(L\). Другий спосіб мені показав Джей Вісванатан з Ченнаї, Індія. Ми зробимо і те, і інше, а потім порівняємо їх.

Перший спосіб.

Щоб передбачити, нам знадобиться наступне:

\[\begin{align} &r_1^2r_2^2=(x^2+y^2+1)^2-4x^2=B^2-A,\label{3.7.16} \\ &r_1^2+r_2^2 = 2(x^2+y^2+1)=2B,\label{3.7.17}\\ \text{and} \quad &r_1^4+r_2^4=2[(x^2+y^2+1)^2+4x^2]=2(B^2+A),\label{3.7.18} \\ \text{where}\quad \,&A=4x^2 \label{3.7.19} \\ \text{and}\quad &B=x^2+y^2+1 \label{3.7.20} \\ \end{align}\]

Тепер рівняння\ ref {3.7.15} є\(r_1r_2 V=r_2-r_1\). Для того щоб витягти\(y\) потрібно квадрат це два рази, щоб\(r_1 \text{ and }r_2\) з'являлися тільки як\(r_1^2 \text{ and }r_2^2\). Після деякої алгебри отримаємо

\[\label{3.7.21}r_1^2r_2^2 [2-V^4r_1^2r_2^2+2V^2(r_1^2 +r_2^2)]=r_1^4+r_2^4.\]

Після підстановки рівнянь\ ref {3.7.16} ,17,18, до яких ми добре підготувалися, знайдемо для рівняння рівняння рівняння, яке після деякої алгебри можна записати у вигляді квартичного рівняння в B:

\[\begin{align}&a_0+a_1B+a_2B^2+a_3B^3+a_4B^4=0 \label{3.7.22} \\ \text{where}\quad &a_0=A(4+V^4A), \label{3.7.23} \\ &a_1=4V^2A, \label{3.7.24} \\ &a_2 = -2V^2A,\label{3.7.25} \\ &a_3=-4V^2,\label{3.7.26} \\ \text{and} \quad &a_4 = V^4 .\label{3.7.27} \\ \end{align}\]

Алгоритм буде наступним: Для заданого\(V\) і\(x\), обчислити квартичні коефіцієнти з рівнянь\ ref {3.7.23} -\ ref {3.7.27}. Розв'яжіть квартичне рівняння\ ref {3.7.22} для B. Обчислити y з рівняння\ ref {3.7.20}. Моя спроба зробити це показана на малюнку\(III\) .11. Диполь повинен мати негативний заряд при (−1, 0) і позитивний заряд при (+1, 0). Рівнопотенціали малюються для\(V\) = 0,05, 0,10, 0,20, 0,40, 0,80.

\(\text{FIGURE III.11}\)

Другий метод (Дж. Вісванатан).

У цьому методі ми працюємо в полярних координатах, але замість того\((r,θ)\), щоб використовувати координати, в яких початок, або полюс, полярної системи координат знаходиться в центрі диполя (див. Рис\(III\). 7), ми використовуємо координати\((r_1, \phi)\) з початком на додатному заряді.

З трикутника ми бачимо, що

\[r_2^2=r_1^2+4L^2 +4Lr_1\cos \phi .\label{3.7.28}\]

Для подальшого ознайомлення відзначимо, що

\[\dfrac{∂r_2}{∂r_1}=\dfrac{r_1 +2L\cos \phi }{r_2}.\label{3.7.29}\]

За умови, що відстані виражаються в одиницях\(L\), ці рівняння стають

\[\label{3.7.30}r_2^2=r_1^2 + 4r_1 \cos \phi + 4,\]

\[\dfrac{∂r_2}{∂r_1}=\dfrac{r_1+2\cos \phi}{r_2}.\label{3.7.31}\]

Якщо, крім того, електричний потенціал виражається в одиницях\(\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 L}\), то потенціал при P задається, як і раніше (Equation\ ref {3.7.15}), шляхом

\[\label{3.7.32}V(r_1,\phi )=\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2}.\]

маючи на увазі, що\(r_2\) задається рівнянням\ ref {3.7.31}.

За диференціацією стосовно\(r_1\), ми маємо

\[\label{3.7.34}f'(r_1)=-\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{1}{r_2^2}\dfrac{∂r_2}{∂r_1}=-\dfrac{1}{r_1^2}+\dfrac{r_1+2\cos \phi}{r_2^3},\]

і ми всі налаштовані на початок ітерації Ньютона-Рафсона:\(r_1=r_1-f/f'\). Отримавши\(r_1\), ми можемо потім отримати\((x,\, y)\) координати від\(x = 1 + r_1 \cos φ \text{ and }y = r_1 \sin φ\).

Я спробував цей метод і отримав точно такий же результат, як при першому способі і як показано на малюнку\(III\) .11.

То який метод ми віддаємо перевагу? Ну а кожен, хто детально опрацьовував виведення рівнянь\ ref {3.7.16} -\ ref {3.7.27}, а потім спробував запрограмувати їх для комп'ютера, погодиться, що перший спосіб дуже трудомісткий і громіздкий. Для порівняння метод Вісванатана набагато простіше як вивести, так і програмувати. З іншого боку, один невеликий момент на користь першого методу полягає в тому, що він не передбачає тригонометричних функцій, і тому числовий розрахунок потенційно швидше другого методу, в якому тригонометрична функція обчислюється на кожній ітерації процесу Ньютона-Рафсона. Правда, сучасний комп'ютер буде виконувати обчислення будь-яким методом, очевидно, миттєво, так що невелика перевага навряд чи актуальна.

Поки що нам вдалося намалювати рівнопотенціали поблизу диполя. Силові лінії ортогональні рівнопотенціалів. Після того, як я спробував кілька методів з лише частковим успіхом, я вдячний доктору Вісванатану, який вказав мені, що повинно було бути «очевидним» методом, а саме використовувати Equation\ ref {3.7.12}, що в нашій системі\((r_1,\phi)\) координат, заснованій на позитивному заряді\(r_1\dfrac{d\phi}{dr_1}=\dfrac{E_\phi}{E_{r_1}}\), так само, як і для великих відстань, малий диполь, наближення. У цьому випадку потенціал задається рівняннями\ ref {3.7.30} і\ ref {3.7.32}. (Нагадаємо, що в цих рівняннях відстані виражаються в одиницях L, а потенціал - в одиницях\(\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0 L}\).) Радіальна і поперечна складові поля задаються\(E_{r_1}=-\dfrac{∂V}{∂{r_1}}\text{ and } E_\phi=-\dfrac{1}{r_1}\dfrac{∂V}{∂\phi}\), в результаті чого

\[E_{r_1}=\dfrac{1}{r_1^2}-\dfrac{r_1+2\cos \phi }{r_2^3}\label{3.7.35}\]

і

\[E_\phi = \dfrac{2\sin \phi}{r_2^3}.\label{3.7.36}\]

Тут поле виражається в одиницях\(\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0L^2}\), хоча це навряд чи має значення, оскільки нас цікавить лише співвідношення. При застосуванні\(r_1\dfrac{d\phi}{dr}=\dfrac{E_\phi}{E_{r_1}}\) до цих компонентів поля отримуємо наступне диференціальне рівняння до силових ліній:

\[d\phi = \dfrac{2r_1\sin \phi}{(r_1^2+4+4r_1\cos \phi)^{3/2}-r_1^2(r_1+2\cos \phi)}dr_1.\label{3.7.37}\]

Таким чином, можна починати з деяких початкових\(φ_0\) і малих\(r_2\) і збільшувати\(r_1\) послідовно на невеликі прирости, обчислюючи новий φ кожного разу. Результати наведені на малюнку\(III\) .12, на якому рівнопотенціали малюються для тих же значень, що і на малюнку\(III\) .11, а початкові кути для силових ліній - 30º, 60º, 90º, 120º, 150º.

\(\text{FIGURE III.12}\)

Перш ніж покинути цей розділ, ось ще один метод обчислення потенціалу поблизу диполя, для тих, хто знайомий з поліномами Лежандра.

Потенціал при P задається

\[\nonumber \begin{align}4\pi\epsilon_0V&=Q \left [ \dfrac{1}{(a^2+r^2-2ar\cos \theta )^{1/2}}-\dfrac{1}{(a^2+r^2+2ar\cos \theta )^{1/2}}\right ] \\ \nonumber &=\dfrac{Q}{a} \left [ \dfrac{1}{(1-2\rho \cos \theta + \rho^2)^{1/2}}-\dfrac{1}{1+2\rho \cos \theta + \rho^2)^{1/2}}\right ] \\ \end{align}\]

де\(\rho = r/a\).

Це добре відомо (тим, хто знайомий з многочленами Лежандра!) що

\[\nonumber (1-2\rho\cos \theta +\rho^2)^{-1/2}=P_0(\cos \theta)+P_1(\cos \theta)\rho +P_2(\cos \theta )\rho^2+P_3(x)\rho^3+...\]

де\(P_n\) знаходяться многочлени Лежандра. Таким чином потенціал можна обчислити як послідовне розширення. Ті, хто не знайомий з поліномами Лежандра, можуть знайти щось про них в моїх замітках з небесної механіки www.astro.uvic.ca/~tatum/celmechs/celm1.pdf