2.6: Два напівциліндричні електроди

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78749

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цей розділ вимагає, щоб читач був ознайомлений з функціями комплексної змінної та конформних перетворень. Для читачів, які не знайомі з ними, цей розділ можна пропустити без шкоди для розуміння наступних глав. Для читачів, які знайомі, це приємний приклад конформних перетворень для вирішення фізичної проблеми.

\(\text{FIGURE II.5}\)

У нас є два напівциліндричних електрода, як показано на малюнку\(II\) .5. Потенціал верхнього дорівнює 0, а потенціал нижнього -\(V_0\). Ми припустимо, радіус кола дорівнює 1; або, що становить те ж саме, ми будемо виражати координати\(x\) і\(y\) в одиницях радіуса. Позначимо позицію будь-якої точки, координати якої (x, y) комплексним числом\(z = x + iy\).

Тепер нехай\(w = u + iv\) буде комплексне число, пов'язане з\(z\) по\(w=i\left (\frac{1-z}{1+z}\right )\); тобто,\(z=\frac{1+ iw}{1- iw}\). Підставляємо\(w = u + iv \text{ and }z = x + iy\) в кожному з цих рівнянь і прирівнюємо дійсну і уявну частини, щоб отримати

\[\begin{align}\label{2.6.1}u&=\frac{2y}{(1+x)^2+y^2};\quad\quad &&v=\frac{1-x^2+y^2}{(1+x)^2+y^2};\\ x&=\frac{1-u^2-v^2}{u^2+(1+v)^2}; &&y=\frac{2u}{u^2+(1+v)^2}.\label{2.6.2}\end{align}\]

У цьому випадку верхнє півколо\((V = 0)\) у\(xy\) -площині відображає позитивну\(u\) вісь у\(uv\) -площині, а нижнє півколо\((V = V_0)\) у\(xy\) -площині відображає негативну\(u\) вісь у\(uv\) -площині. (Рис\(II\). 6.) Точки всередині кола, обмежені електродами в\(xy\) -площині, відображаються на точках над\(u\) -віссю в\(uv\) -площині.

\(\text{FIGURE II.6}\)

У\(uv\) -площині силові лінії є півколами, такими як показано. Потенціал йде від 0 на одному кінці півкола до\(V_0\) іншого, і тому рівняння до напівкруглої лінії сили дорівнює

\[\label{2.6.3}\frac{V}{V_0}=\frac{\text{arg}\,w}{\pi}\]

або

\[\label{2.6.4}V=\frac{V_0}{\pi}\tan^{-1}(v/u).\]

Рівнопотенціали (\(V\)= константа) - це прямі лінії в\(uv\) -площині форми

\[\label{2.6.5}v=fu.\]

(Ви б вважали за краще, щоб я використовував символ\(m\) для нахилу рівнопотенціалів, але через мить ви будете раді, що я вибрав символ\(f\).)

Якщо ми тепер трансформуємо назад до\(xy\) -plane, ми бачимо, що рівняння до силових ліній

\[\label{2.6.6}V=\frac{V_0}{\pi}\tan^{-1} \left (\frac{1-x^2-y^2}{2y}\right ).\]

і рівняння рівняння рівнопотенціалів

\[\label{2.6.7}1-x^2-y^2=2fy,\]

або

\[\label{2.6.8}x^2+y^2+2fy-1=0\]

Тепер ти не радий, що я вибрав\(f\)? Ті, кому зручно з конічними перерізами (див. Розділ 2 Небесної Механіки), зрозуміють\(\sqrt{f^2 + 1}\), що рівнопотенціали в\(xy\) -площині - це кола радіусів\((0 , \pm f )\), центри яких знаходяться в, і які всі проходять через точки\((\pm 1 , 0)\). Вони промальовані у вигляді синіх ліній на рис.\(II\) 7. Силові лінії є ортогональними траєкторіями до них, і мають форму

\[\label{2.6.9}x^2+y^2+2gy+1=0\]

Це кола радіусів\(\sqrt{g^2 −1}\) і мають свої центри на\((0 , \pm g)\). Вони показані у вигляді пунктирних червоних ліній на малюнку\(II\) .7.

\(\text{FIGURE II.7}\)