Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.5: Точковий заряд і провідна сфера

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    78745

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    \(\text{FIGURE II.3}\)

    Точковий заряд +\(Q\) знаходиться на відстані\(R\) від металевої сфери радіусом\(a\). Ми спробуємо обчислити поверхневу щільність заряду, індуковану на поверхні сфери, як функцію положення на поверхні. Ми будемо мати на увазі, що поверхня сфери є рівнопотенціальною поверхнею, і ми приймемо потенціал на поверхні рівним нулю.

    Давайте спочатку побудуємо точку I таку, що трикутники OPI і PQO схожі, з довжинами, показаними на малюнку\(II\) .3. Довжина I дорівнює\(a^2 /R\). Потім\(R/ξ = a/ζ\), або

    \[\label{2.5.1}\dfrac{1}{ξ}-\dfrac{a/R}{ζ}=0\]

    Це відношення між змінними фактично\(ξ \text{ and }ζ\) є рівнянням до сфери, вираженою в цих змінних.

    Тепер припустимо, що замість металевої сфери у нас був (крім заряду +\(Q\) на відстані\(R\) від О) другий точковий заряд −\((a/R) Q\text{ at }I\). Локус точок, де потенціал дорівнює нулю - це де

    \[\label{2.5.2}\dfrac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left ( \dfrac{1}{ξ}-\dfrac{a/R}{ζ}\right ) = 0\]

    Тобто поверхню нашої сфери. Таким чином, для цілей обчислення потенціалу ми можемо замінити металеву сферу зображенням\(Q\) ат\(I\), це зображення несе заряд\(−(a/R)Q\).

    Візьмемо лінію OQ як\(z\) -вісь системи координат. \(X\)Дозволяти бути якийсь момент такий, що OX =\(r\) і кут XOQ =\(θ\). Потенціал при P від заряду +\(Q\) в\(Q\) і заряду −\((a/R)Q\) на\(I\) є (див\(II\). Рис. 4)


    \(\text{FIGURE II.4}\)

    \[\nonumber V=\dfrac{q}{4\pi\epsilon_0}\left (\dfrac{1}{(r^2+R^2-2rR\cos \theta)^{1/2}}-\dfrac{a/R}{(r^2+a^/R^2 -2a^2r\cos \theta /R)^{1/2}}\right )\]

    Поле Е на поверхні сфери\(−∂V / ∂r\) оцінюється при\(r = a\). \(D\)Поле в\(\epsilon_0\) рази це, а поверхнева щільність заряду дорівнює\(D\). Після деякого терпіння і алгебри, отримуємо, за точку\(X\) на поверхні сфери

    \[\label{2.5.3}\sigma = -\dfrac{Q}{4\pi}\dfrac{R^2-a^2}{a}\cdot \dfrac{1}{(XQ)^3}\]