2.4: Точковий заряд і нескінченна провідна площина

Last updated
Save as PDF

Page ID: 78743

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Нескінченна площина металевої пластини знаходиться в\(xy\) -площині. Точковий заряд +\(Q\) ставиться на\(z\) -осі на висоті\(h\) над пластиною. Отже, електрони будуть притягуватися до частини пластини безпосередньо нижче заряду, так що пластина буде нести негативну щільність заряду,\(σ\) яка є найбільшою у початку і яка відпадає з\(\rho\) відстанню від початку. Чи можемо ми визначити\(σ(\rho)\)? Див. Малюнок\(II.2\)

\(\text{FIGURE II.2}\)

По-перше, зверніть увагу, що металева поверхня, будучи провідником, є рівнопотенціальної поверхнею, як і будь-яка металева поверхня. Потенціал рівномірний в будь-якому місці на поверхні. Тепер припустимо, що замість металевої поверхні ми мали (крім заряду +\(Q\) на висоті\(h\) над\(xy\) -площиною) другий точковий заряд, −\(Q\), на відстані\(h\) нижче\(xy\) -площини. Потенціал у\(xy\) -площині, за симетрією, був би рівномірним скрізь. Тобто потенціал в\(xy\) -площині такий же, як і у випадку з одноточковим зарядом і металевою пластиною, і дійсно потенціал в будь-якій точці над площиною однаковий в обох випадках. З метою розрахунку потенціалу ми можемо замінити металеву пластину зображенням точкового заряду. Легко обчислити потенціал в точці\((z , \rho)\). Якщо припустити, що діелектрична проникність над пластиною є\(\epsilon_0\), потенціал при\((z , \rho)\)

\[\label{2.4.1}V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\left ( \frac{1}{[\rho^2+(h-z)^2]^{1/2}}-\frac{1}{[\rho^2+(h+z)^2]^{1/2}}\right )\]

\(E\)Напруженість поля в\(xy\) -площині -\(∂V/ ∂z\) оцінюється при\(z = 0\), і це

\[\label{2.4.2}E=-\frac{2Q}{4\pi\epsilon_0}\cdot \frac{h}{(\rho^2+h^2)^{3/2}}.\]

\(D\)-поле\(\epsilon_0\) разів це, і оскільки всі силові лінії знаходяться над металевою пластиною, теорема Гаусса передбачає, що щільність заряду є\(σ = D\), а отже, щільність заряду дорівнює

\[\label{2.4.3}\sigma=-\frac{Q}{2\pi}\cdot \frac{h}{(\rho^2+h^2)^{3/2}}.\]

Це також може бути написано

\[\label{2.4.4}\sigma = -\frac{Q}{2\pi}\cdot \frac{h}{ξ^3},\]

де\(ξ^2=\rho^2+h^2\), з очевидною геометричною інтерпретацією.

Вправа: Скільки заряду є на поверхні пластини в межах кільцевого кільця, обмеженого радіусами\(\rho\) і\(\rho + d\rho\)? Інтегруйте це від нуля до нескінченності, щоб показати, що загальний заряд, індукований на пластині, є -\(Q\).