Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.2B: Сферичні розподіли заряду

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    78751

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Поза будь-якого сферично-симетричного розподілу заряду поле таке ж, як якщо б весь заряд був зосереджений в точці в центрі, і так, значить, є потенціалом. Таким чином

    \[V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r}.\tag{2.2.3}\]

    Усередині порожнистої сферичної оболонки радіусом а і несучої заряд\(Q\) поле дорівнює нулю, а тому потенціал рівномірний по всій внутрішній частині, і дорівнює потенціалу на поверхні, який

    \[V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 a}.\tag{2.2.4}\]

    Тверда сфера радіуса\(Q\), що несе заряд, рівномірно розподілений по всій сфері, легше уявити, ніж досягти на практиці, але, для всього, що ми знаємо, протон може бути таким (це може бути - але це не так!) , Отже, давайте обчислимо поле в точці P всередині сфери на відстані\((r < a)\) від центру. Див. Малюнок\(II.1\)

    Ми можемо зробити це двома частинами. Спочатку потенціал з частини сфери «нижче» П. Якщо заряд рівномірно розподілений по всій сфері, це якраз\(\frac{Q_r}{4\pi\epsilon_0 r}\). Тут\(Q_r\) знаходиться заряд, що міститься в радіусі\(r\), який, якщо заряд рівномірно розподілений по всій сфері, є\(Q(r^3/a^3)\). Таким чином, ця частина потенціалу є\(\frac{Qr^2}{4\pi\epsilon_0 a^3}\).


    \(\text{FIGURE II.1}\)

    Далі обчислюємо внесок в потенціал від заряду «вище» П. розглядаємо елементарну оболонку радіусів\(x ,\, x + δx\). Заряд, який він утримує, є\(\delta Q = \frac{4\pi x^2 \delta x}{\frac{4}{3}\pi a^3}\times Q=\frac{3Qx^2 \delta x}{a^3}\). Внесок в потенціал при Р від заряду в цій елементарній оболонці є\(\frac{\delta Q}{4\pi\epsilon_0 x}=\frac{3Qx\delta x}{4\pi\epsilon_0 a^3}\). Внесок в потенціал від усього заряду «вище» Р є\(\frac{3Q}{4\pi\epsilon_0 a^3}\int_r^a x\,dx=\frac{3Q(a^2-r^2)}{4\pi\epsilon_0 2a^3}\). Склавши воєдино дві частини потенціалу, отримуємо

    \[V=\frac{Q}{8\pi\epsilon_0 a^3}(3a^2-r^2).\tag{2.2.5}\]