Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.1: Введення в електростатичні потенціали

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    78742

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Уявіть, що якась область простору, наприклад кімната, в якій ви сидите, пронизана електричним полем. (Можливо, поза приміщенням є всілякі електрично заряджені тіла.) Якщо розмістити невеликий позитивний тестовий заряд десь в приміщенні, він буде відчувати силу\(\textbf{F} = Q\textbf{E}\). Якщо спробувати перемістити заряд з точки\(A\) в точку\(B\) проти напрямку електричного поля, доведеться виконати роботу. Якщо потрібна робота для переміщення позитивного заряду від точки\(A\) до точки\(B\), кажуть, що існує різниця електричних потенціалів між\(A\) і\(B\), при цьому точка\(A\) знаходиться на нижньому потенціалі. Якщо потрібно один джоуль роботи для переміщення одного кулона заряду від\(A\) до\(B\), різниця потенціалів між\(A\) і\(B\) становить один вольт (\(\text{V}\)).

    Розміри різниці потенціалів є\(\text{ML}^2 \text{T}^{ −2}\text{Q}^{ −1}\).

    Все, що ми зробили до цього часу, - це визначити різницю потенціалів між двома точками. Ми не можемо визначити «потенціал» в точці, якщо ми довільно не присвоїмо якусь точку відліку як має певний потенціал. Робити це не завжди потрібно, так як нас часто цікавлять тільки потенційні відмінності між точками, але в багатьох обставин прийнято визначати потенціал бути нулем на нескінченній відстані від будь-яких цікавлять зарядів. Потім ми можемо сказати, що «потенціал» знаходиться в якомусь сусідньому місці. Потенціал і різниця потенціалів є скалярними величинами.

    Припустимо, у нас електричне поле\(E\) в позитивному\(x\) -напрямку (направо). Це означає, що потенціал зменшується вправо. Вам доведеться виконати роботу, щоб перемістити позитивний тестовий заряд\(Q\) вліво, щоб потенціал збільшувався вліво. Сила на\(Q\) є\(QE\), тому робота, яку вам доведеться зробити, щоб перемістити її на відстань\(dx\) вправо є\(−QE\, dx\), але за визначенням це також дорівнює\(Q\, dV\), де\(dV\) різниця потенціалів між\(x \text{ and }x + dx\).

    Тому

    \[E =-\dfrac{ dV}{dx}. \label{2.1.1}\]

    У більш загальній тривимірній ситуації це написано

    \[\textbf{E} = -\textbf{grad}\,V=-\nabla V = - \left ( \textbf{i}\dfrac{∂V}{∂x} + \textbf{j}\dfrac{∂V}{∂x}+\textbf{k}\dfrac{∂V}{∂x} \right ) . \label{2.1.2}\]

    Ми бачимо, що, як альтернатива вираженню напруженості електричного поля в ньютонах на кулон, ми можемо однаково добре висловити її в вольтах на метр (\(\text{V}\, \text{m}^{−1}\)).

    Обернене рівняння\ ref {2.1.1}, звичайно,

    \[V = -\int E\,dx + \text{ constant}\label{2.1.3}\]