Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

11.6: Обернене перетворення Лоренца

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    77496

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    від лабораторних координат подій, враховуйте координати рокеля

    Рівняння (L-10) забезпечують лабораторні координати події, коли відомо координати ракети тієї ж події. Але припустимо, що вже відомі лабораторні координати події і бажає передбачити координати події, виміряні спостерігачем ракети. Які рівняння слід використовувати для цієї мети?

    Алгебраїчна маніпуляція рівняннями (L-10) дає відповідь. Перші два з цих рівнянь можна розглядати як два рівняння в двох невідомих\(x^{\prime}\) і\(t^{\prime}\). Вирішіть для цих невідомих з точки зору нині відомих\(x\) і\(t\). Для цього помножте обидві сторони другого рівняння на\(v_{\text {rel }}\) і відніміть з першого відповідні сторони отриманого другого рівняння. Терміни в\(x^{\prime}\) скасуванні до виходу\[t-v_{\mathrm{rel}} x=\gamma t^{\prime}-v_{\mathrm{rel}}^{2} \gamma t^{\prime}=\gamma\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right) t^{\prime}=\frac{\gamma}{\gamma^{2}} t^{\prime}=\frac{t^{\prime}}{\gamma}\] Довга похідність оберненого перетворення Лоренца

    Тут ми використали визначення\(\gamma^{2}=1 /\left(1-v_{\text {rel }}^{2}\right) .\) Рівняння для\(t^{\prime}\) може бути записано\[t^{\prime}=-v_{\text {rel }} \gamma x+\gamma t\] Аналогічна процедура призводить до рівняння для\(x^{\prime}\). Помножте перше з рівнянь (L-10) на\(v_{\text {rel }}\) і відніміть відповідні сторони першого рівняння з другого

    UTF8 мм

    -Спробуйте! \(z\)Компоненти\(y\) і відповідно рівні в обох кадрах, як і раніше. Тоді обернені рівняння перетворення Лоренца стають\[\begin{aligned} &t^{\prime}=-v_{\text {rel }} \gamma x+\gamma t \\ &x^{\prime}=\gamma x-v_{\text {rel }} \gamma t \\ &y^{\prime}=y \\ &z^{\prime}=z \end{aligned}\] Або, знову підставляючи гамму,\(\gamma=1 /\left(1-v_{\text {rel }}^{2}\right)^{1 / 2}\)

    Зворотні\[\begin{aligned} &t^{\prime}=\frac{-v_{\mathrm{rel}} x+t}{\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2}} \\ &x^{\prime}=\frac{x-v_{\mathrm{rel}} t}{\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2}} \\ &y^{\prime}=y \quad \text { and } \quad z^{\prime}=z \end{aligned}\] рівняння перетворення Лоренца (L-1 1) перетворюють координати події, відомої в лабораторному кадрі, в координати в рамі ракети.

    Простий, але вагомий аргумент від симетрії призводить до того ж результату. Аргумент симетрії заснований на відносній швидкості між лабораторними та ракетними рамами. Відносно лабораторії ракета за умовністю рухається з відомою швидкістю в позитивному\(x\) -напрямку. Щодо ракети, лабораторія рухається з тією ж швидкістю, але в зворотному напрямку, негативному\(x\) -напрямку. Ця умовність про позитивні і негативні напрямки - не закон фізики! - це єдина відмінність між лабораторними і ракетними рамами, які можна спостерігати з будь-якого кадру. Рівняння перетворення Лоренца повинні відображати цю єдину різницю. Внаслідок цього «зворотне» (лабораторія-ракета) перетворення може бути отримано від «прямого» (ракетно-лабораторного) перетворення шляхом зміни знака відносної швидкості\(v_{\text {rel }}\), в рівняннях і взаємозаміні лабораторних і ракетних міток (загрунтовані і негрунтовані координати). Проведення цієї операції на рівняннях перетворення Лоренца (L-10) дає зворотні рівняння перетворення (L-11).