11.5: Завершення деривації

інваріантність інтервалу завершує розповідь

Рівняння (L-3) і (L-4) надають коефіцієнти\(D\) і\(H\) викликаються в рівнянні (L-5):\[\begin{aligned} t &=B x^{\prime}+\gamma t^{\prime} \\ x &=G x^{\prime}+v_{\mathrm{rel}} \gamma t^{\prime} \end{aligned}\] Про дві константи\(B\) і\(G\) ми нічого не знаємо, з елементарної причини. Усі розглянуті досі події відбувалися\(x^{\prime}=0\) в точці ракети. Тому два коефіцієнти\(B\) і\(G\) можуть мати будь-які кінцеві значення, що завгодно, не впливаючи на числові результати обчислення. Щоб визначити\(B\) і\(G\) ми звернемо нашу увагу з\(x^{\prime}=0\) події на більш загальну подію, таку, яка відбувається в точці з довільними координатами ракети\(x^{\prime}\) і\(t^{\prime}\). Тоді ми вимагаємо, щоб просторово-часовий інтервал мав однакове числове значення в лабораторних та ракетних кадрах для будь-якої події, що завгодно:\[t^{2}-x^{2}=t^{\prime 2}-x^{\prime 2}\] Замінюйте вирази для\(t\) та\(x\) з рівняння\((\mathrm{L}-6)\):\[\left(B x^{\prime}+\gamma t^{\prime}\right)^{2}-\left(G x^{\prime}+v_{\mathrm{rel}} \gamma t^{\prime}\right)^{2}=t^{\prime 2}-x^{\prime 2}\] На ліву сторону, перемножте квадрати. Це призводить до досить громіздкого результату,\[B^{2} x^{\prime 2}+2 B \gamma x^{\prime} t^{\prime}+\gamma^{2} t^{\prime 2}-G^{2} x^{\prime 2}-2 G v_{\mathrm{rel}} \gamma x^{\prime} t^{\prime}-v_{\mathrm{rel}}^{2} \gamma^{2} t^{\prime 2}=t^{\prime 2}-x^{\prime 2}\] згрупуйте разом коефіцієнти\(t^{\prime 2}\)\(x^{\prime 2}\), коефіцієнти і коефіцієнти перехресного терміну\(x^{\prime} t^{\prime}\) для отримання\[\gamma^{2}\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right) t^{\prime 2}+2 \gamma\left(B-v_{\mathrm{rel}} G\right) x^{\prime} t^{\prime}-\left(G^{2}-B^{2}\right) x^{\prime 2}=t^{\prime 2}-x^{\prime 2}\] Now,\(t^{\prime}\) і \(x^{\prime}\)кожен може приймати будь-яке значення, оскільки вони представляють координати довільної події. За цих обставин неможливо задовольнити рівняння (\(\mathrm{L}-7\)) єдиним вибором значень\(B\) і\(G\) якщо вони не обрані зовсім особливим чином. Величини\(B\) і\(G\) повинні бути спочатку такими, щоб зробити коефіцієнт\(x^{\prime} t^{\prime}\) на лівій стороні рівняння (L-7) зникати, як це робиться праворуч:\[2 \gamma\left(B-v_{\mathrm{rel}} G\right)=0\] Але ніколи не\(\gamma\) може дорівнювати нулю. Значення\(\gamma=1 /\left(1-v_{\text {rel }}^{2}\right)^{1 / 2}\) дорівнює одиниці, коли\(v_{\text {rel }}=0\) і більше цього для будь-яких інших значень\(v_{\text {rel }} .\) Звідси ліва частина цього рівняння може бути нульовою, тільки якщо\[\left(B-v_{\mathrm{rel}} G\right)=0 \quad \text { or } \quad B=v_{\mathrm{rel}} G\] Second,\(B\) і\(G\) повинна бути наприклад, зробити коефіцієнт\(x^{\prime 2}\) рівним ліворуч і праворуч від рівняння\((\mathrm{L}-7)\); отже,\[G^{2}-B^{2}=1\] замінити\(B\) з рівняння (L-8) на рівняння (L-9): [
\ begin {array} {l}\[G^{2}-\left(v_{\text {rel }} G\right)^{2}=1 \quad \text { or } \quad G^{2}\left(1-v_{\text {rel }}^{2}\right)=1\]
\ end {array}
] Вимагаючи інваріантності інтервалу...

... між будь-якою парою подій, що б то не було...

... призводить до завершеної форми перетворення Лоренца. Розділіть на\(\left(1-v_{\text {rel }}^{2}\right)\) і візьміть квадратний корінь з обох сторін:\[G=\frac{1}{\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2}}\] Але права сторона - це лише визначення коефіцієнта розтягування часу\(\gamma\), так що\[G=\gamma\] Замініть це в рівняння (L-8), щоб знайти\(B\): \[B=v_{\text {rel }} \gamma\]Ці результати плюс рівняння\((\mathrm{L}-1)\) і\((\mathrm{L}-6)\) дають рівняння перетворення Лоренца:

Перетворення Лоренца\[\begin{aligned} &t=v_{\mathrm{rel}} \gamma x^{\prime}+\gamma t^{\prime} \\ &x=\gamma x^{\prime}+v_{\mathrm{rel}} \gamma t^{\prime} \\ &y=\gamma^{\prime} \\ &z=z^{\prime} \end{aligned}\] або, підставляючи значення гамми,\(\gamma=1 /\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2}\):\[\begin{aligned} t &=\frac{v_{\mathrm{rel}} x^{\prime}+t^{\prime}}{\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2}} \\ x &=\frac{x^{\prime}+v_{\mathrm{rel}} t^{\prime}}{\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2}} \\ y &=y^{\prime} \quad \text { and } \quad z=z^{\prime} \end{aligned}\] Підсумовуючи, рівняння перетворення Лоренца спираються принципово на необхідну лінійність перетворення та на інваріантність просторово-часового інтервалу. Інваріантність інтервалу використовувалася двічі при деривації. Спочатку ми розглянули пару подій, обидва з яких відбуваються в одному фіксованому місці в ракеті, так що час ракети між цими подіями належного часу, час наручного годинника дорівнює просторово-часовому інтервалу між ними (Розділ L.3). По-друге, ми вимагали, щоб інтервал також був інваріантним між кожною можливою подією та еталонною подією (даний розділ).