11.4: Форма перетворення Лоренца

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77507

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

будь-яка подія може бути еталонною подією? тоді перетворення лінійне

Яку загальну форму має перетворення Лоренца? Він має форму, яку математики називають лінійним перетворенням. Це означає, що лабораторні координати\(x\) і\(t\) пов'язані з лінійною (першою) потужністю координат ракети\(x^{\prime}\) і\(t^{\prime}\) рівняннями виду

де наше завдання полягає в тому, щоб знайти вирази для коефіцієнтів\(B, D, G\), і\(H\) які не залежать ні від лабораторії, ні від координат ракети конкретної події, хоча вони залежать від відносної швидкості\(v_{\text {rel }}\).

Чому ці перетворення повинні бути лінійними? Тому що ми можемо вибрати будь-яку подію в якості нашої еталонної події, загального походження\(x=y=z=t=0\) у всіх еталонних фреймах. Нехай наша ракета свічка запалювання випромінює спалахи на\(t^{\prime}=1\) і 2 і 3 метри. Вони однаково розташовані в ракетному часі. Згідно з рівнянням\((\mathrm{L}-3)\) ці три події відбуваються в лабораторний час\(t=1 \gamma\)\(2 \gamma\) і в\(3 \gamma\) метрах часу. Вони однаково розташовані в лабораторному часі. Переміщення еталонної події до першої з цих подій все ще залишає їх однаково віддаленими за часом для обох спостерігачів:\(t^{\prime}=0\) і 1 і 2 метри в ракеті\(t\)\(=0\)\(1 \gamma\) і і\(2 \gamma\) в лабораторії.

На відміну від цього, припустимо, що рівняння (L-3) не були лінійними, читаючи замість цього\(t=K t^{\prime 2}\), де\(K\) деяка константа. Ракетний час\(t^{\prime}=1\) і 2 і 3 метри призводять до лабораторного часу\(t=1 K\)\(4 K\) і\(9 K\) метрів. Вони не однаково розташовані в часі для спостерігача лабораторії. Переміщення еталонної події до першої події призведе до ракетних часів\(t^{\prime}=0\) і 1 і 2 метрів, як і раніше, але в цьому випадку лабораторний час\(t=0\)\(1 K\) і\(4 K\) метри, з зовсім іншим інтервалом. Але вибір еталонної події є довільним: Будь-яка подія так само кваліфікується як еталонна подія, як і будь-яка інша. Годинник, який працює стабільно, як спостерігається в одному кадрі, повинні стабільно працювати в іншому, незалежно від вибору еталонної події. Робимо висновок, що відношення між\(t\) і\(t^{\prime}\) повинно бути лінійним. Подібний аргумент вимагає, щоб події, однаково розділені в просторі в ракеті, також повинні бути однаково розділені в просторі, як вимірюється в лабораторії. Отже, перетворення Лоренца повинно бути лінійним як у просторі, так і в часових координатах.