11.3: Перші кроки

інваріантність від інтервалу змушує нас почати

Нагадаємо, що координати\(y\) і\(z\) поперечні напрямку відносного руху між ракетою і лабораторією мають однакові значення в обох кадрах (розділ 3.6):\[\begin{aligned} &y=y^{\prime} \\ &z=z^{\prime} \end{aligned}\] де простими символами позначають координати ракети. Другий крок використовує різницю в спостережуваних тактових частотах, коли годинник знаходиться в стані спокою або в русі (Розділ\(1.3\) і Коробка 3-3). Подумайте про свічку запалювання в спокої біля походження рами ракети, яка рухається зі швидкістю\(v_{\text {rel }}\) відносно лабораторії. Свічка запалювання випромінює іскру в той час\(t^{\prime}\), як вимірюється в рамі ракети. Свічка запалювання знаходиться на початку ракети, тому іскра виникає при\(x^{\prime}=0\).

Де і коли\((x\) і\(t)\) виникає ця іскра в лабораторії? Це залежить від Вивести різницю в тактових частотах, наскільки швидко\(v_{\text {rel }}\), ракета рухається по відношенню до лабораторії. Іскра повинна відбуватися в місці розташування свічки запалювання, положення якої в лабораторному кадрі задається\[x=v_{\mathrm{rel}} t\] Тепер інваріантність інтервалу дає нам відношення між\(t\) і\(t^{\prime}\),\[\left(t^{\prime}\right)^{2}-\left(x^{\prime}\right)^{2}=\left(t^{\prime}\right)^{2}-(0)^{2}=t^{2}-x^{2}=t^{2}-\left(v_{\mathrm{rel}} t\right)^{2}=t^{2}\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)\] від яких\[t^{\prime}=t\left(1-v_{\mathrm{re}}^{2}\right)^{1 / 2}\] або \[t=\frac{t^{\prime}}{\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2}} \quad \text { [when } \mathrm{x}^{\prime}=0 \text { ] } \quad(1-2)\]Незручне вираз\(1 /\left(1-v_{\text {rel }}^{2}\right)^{1 / 2}\) зустрічається часто в наступному. Для простоти цього виразу дано символ грецького нижнього регістру гамма:\(\gamma\). \[\gamma \equiv \frac{1}{\left(1-v_{\mathrm{re}}^{2}\right)^{1 / 2}}\]Оскільки вона дає співвідношення спостережуваних тактових частот, іноді\(\gamma\) називають коефіцієнтом розтягування часу (Розділ 5.8). Власне кажучи, ми повинні використовувати символ\(\gamma_{\text {rel }}\), так як Time stretch коефіцієнт\(\gamma\) визначається значенням\(v_{\text {rel }}\). Для простоти, однак, ми опускаємо індекс в надії, що це не викличе плутанини. З цією заміною рівняння (L-2) стає,\[t=\gamma t^{\prime}\]\(\left[\right.\) коли\(\left.x^{\prime}=0\right] \quad(L-3)\) підставити це в рівняння\(x=v_{\text {rel }} t\) вище, щоб знайти лабораторне положення з точки зору вимірювань ракети:\[x=v_{\text {rel }} \gamma t^{\prime}\] [коли\(x^{\prime}=0\) ]\(\quad(L-4)\)

Рівняння (\(\mathrm{L}-1\))\((\mathrm{L}-3)\), і (\(\mathrm{L}-4\)) дають першу відповідь на питання: «Якщо ми знаємо простір і часові координати події в одному free float кадрі, які її простір і часові координати в якомусь іншому перекривається фреймі?» Однак ці рівняння обмежені, оскільки вони стосуються лише певної ситуації: тієї, в якій обидві події відбуваються в одному і тому ж місці\(\left(x^{\prime}=0\right)\) в ракеті