11.2: Швидше, ніж світло?

Жоден об'єкт не подорожує швидше, ніж світло.

Так\(Y O U\) скажіть, але дивіться\(M E\): я подорожую в ракеті, яку ви спостерігаєте, щоб рухатися зі швидкістю\(4 / 5\) світла. На передній частині моєї ракети я стріляю кулею, яку я спостерігаю, щоб літати вперед зі швидкістю\(4 / 5\) світла. Потім ви вимірюєте цю кулю, щоб стріляти вперед зі швидкістю\(4 / 5+4 / 5=8 / 5=1.6\) світла, яка перевищує швидкість світла. Там!

Чому б і ні? Хіба це не правда\(4 / 5+4 / 5=1.6\)?

Як математична абстракція: завжди вірно. Як опис світу: тільки іноді вірно! Приклад 1: Додайте 4/5 літра спирту в 4/5 літра води. Результат?

Швидкості не додавайте менше\(8 / 5=1.6\) літра рідини! Чому? Молекули води взаємопроникають між собою молекули спирту з отриманням комбінованого обсягу менше суми окремих обсягів. Приклад 2: Додайте швидкість, яку ви вимірюєте для кулі (4/5), до швидкості, яку я вимірюю для вашої ракети\((4 / 5)\). Результат? Швидкість, яку я вимірюю для кулі, є\(40 / 41=0.9756\). Це залишається менше швидкості світла.

Події визначають швидкості

Чому? І де ви взяли це число\(40 / 41\) для швидкості кулі, яку ви вимірюєте?

Я отримав номер від перетворення Лоренца, тема цієї спеціальної теми. Перетворення Лоренца втілює центральну особливість відносності: поділ простору і часу зазвичай не мають однакових значень, що спостерігаються в різних кадрах.

Простір і час поділ між чим?

Між подіями.

Про які події йдеться про пиві?

Подія 1: Ви стріляєте кулею з передньої частини вашої ракети. Подія 2: Куля вражає ціль попереду вас.

Яке відношення мають ці події зі швидкістю? Ми сперечаємося про швидкість!

Нехай куля потрапила в ціль чотири метри перед вами, як вимірюється у вашій ракеті. Тоді поділ простору між подією 1 та подією 2 становить 4 метри. Припустимо, час польоту становить 5 метрів, як вимірюється вашими годинниками, поділ часу між двома подіями. Тоді ваше вимірювання швидкості кулі становить (4 метри відстані)\(/(5\) метри часу\()=4 / 5\), як ви сказали.

А що ви вимірюєте для поділу простору та часу у вашій лабораторії?

Для цього нам потрібні рівняння перетворення координат Лоренца. Фу! Я знаю, як вважати поділ простору/часу в різних кадрах. Ми робимо це протягом декількох розділів». З вимірів в одному кадрі малюємо просторовийчасовий інтервал, який має однакове значення у всіх кадрах. Кінець історії.

Ні, не кінець історії, а принаймні її початок. Правда, інваріантний інтервал має таке ж значення, що і отриманий з вимірювань в кожному кадрі. Це дозволяє передбачити час між стрільбою та ударом, як вимірюється пасажиром, що їде на кулі, - і вимірюється безпосередньо пасажиром кулі поодинці.

Передбачити лук?

Ви знаєте свої\(x^{\prime}=4\) лічильники поділу простору (прайми для ракетних вимірювань), і ваше поділ часу,\(t^{\prime}=5\) метри. Ви знаєте поділ простору для кулевого вершника,\(x^{\prime \prime}=0\) (подвійні прайми для вимірювань куль), так як вона присутня як при стрільбі, так і при ударі. З цього ви можете використовувати інваріантність інтервалу, щоб визначити час наручного годинника між цими подіями для кулевого вершника:\[\left(t^{\prime \prime}\right)^{2}-\left(x^{\prime \prime}\right)^{2}=\left(t^{\prime}\right)^{2}-\left(x^{\prime}\right)^{2}\] або\[\left(t^{\prime \prime}\right)^{2}-(0)^{2}=(5 \text { meters })^{2}-(4 \text { meters })^{2}=(3 \text { meters })^{2}\] так, що\(t^{\prime \prime}=3\) метри. Це належний час, узгоджений усіма спостерігачами, але вимірюється безпосередньо на наручних годинниках кулевого вершника.

штраф. Чи не можемо ми використати ту саму процедуру для визначення поділу простору та часу між цими подіями у вашому лабораторному кадрі, і, таким чином, швидкість кулі для вас?

На жаль, ні. Відраховуємо однакове значення для інтервалу. Використовуйте негрунтовані позначення для лабораторних вимірювань. Потім\(t^{2}-x^{2}=(3 \text { meters })^{2}\). Це, однак, недостатньо для визначення\(x\) або\(t\) окремо. Тому ми поки не можемо знайти їх співвідношення\(x / t\), яке визначає швидкість кулі в нашому кадрі.

Отже, як ми можемо вважати їх\(x\) та\(t\) розділення у вашій лабораторній рамці, тим самим дозволяючи нам передбачити швидкість кулі, яку ви вимірюєте?

Використовуйте перетворення Лоренца. Ця трансформація повідомляє, що розділення нашого лабораторного простору між стрільбою та ударом становить\(x=40 / 3\) метри, а часовий поділ трохи більше:\(t=41 / 3\) метри. Тоді швидкість кулі в моєму лабораторному кадрі прогнозується бути\(v=x / t=40 / 41=0.9756\). Результати нашого аналізу в трьох системах відліку викладені в таблиці L-1.

Чи є перетворення Лоренца взагалі корисним, крім конкретного завдання розрахунку швидкості, виміряної в різних кадрах?

Ах так! Як правило, ми вставляємо в перетворення Лоренца\(x^{\prime}, t^{\prime}\) координати події, визначеної в рамі ракети. Потім перетворення Лоренца шліфується і кружляє, нарешті випльовуючи координати тієї ж події,\(x, t\) виміряної в лабораторному кадрі. Нижче наведені рівняння перетворення Лоренца. \(v_{\text {rel }}\)Ось відносна швидкість між ракетою і лабораторними рамами. Для нашої зручності прокладаємо позитивну\(x\) -вісь уздовж напрямку руху ракети, як спостерігається в лабораторному кадрі, і вибираємо загальну еталонну подію для нуля часу і простору для обох кадрів. Інтервал: лише початок розрахунку поділу простору/часу в різних кадрах

Потрібно більше для порівняння швидкостей в різних кадрах

Порівняння швидкостей за допомогою перетворення Лоренца

\[\begin{aligned} &x=\frac{x^{\prime}+v_{\mathrm{rel}} t^{\prime}}{\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2}} \\ &t=\frac{v_{\mathrm{rel}} x^{\prime}+t^{\prime}}{\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2}} \\ &y=y^{\prime} \quad \text { and } \quad z=z^{\prime} \end{aligned}\]Переконайтеся самі, що за подію удару кулі з ціллю (координати ракети:\(x^{\prime}=4\) метри,\(t^{\prime}=5\) метри; швидкість ракети в лабораторному кадрі:\(\left.v_{\text {rel }}=4 / 5\right)\) один отримує лабораторні координати\(x=40 / 3\) лічильників і\(t=41 / 3\) метрів. Звідси\(v=x / t\)\(=40 / 41=0.9756\).

Ви кажете, перетворення Лоренца є загальним. Якщо це так важливо, то чому це особлива тема, а не звичайна глава?

Перетворення Лоренца є потужним; воно надає технічну здатність перетворювати координати від кадру до кадру. Це допомагає нам передбачити, як додати швидкості, як зазначено тут. У ній описується доплерівський зсув для світла (див. Вправи для цієї глави). З іншого боку, перетворення Лоренца не є принциповим; воно не викриває глибоких нових особливостей простору-часу. Але неважливо! Фізика повинна почерпнути зі світовою роботою. Один використовує метод опису поділу, який найкраще підходить для роботи під рукою. У деяких випадках корисним фактом, щоб дати про розкішну яхту є 50-метрова відстань між носом і кормою, відстань, незалежна від напрямку, в якому яхта очолюється. З іншого випадку може бути набагато важливішим знати, що ніс знаходиться в 30 метрах на схід від корми та 40 метрів на північ від неї, як це спостерігає його капітан, який використовує Північну зірку на північ.

На чому спирається трансформація Лоренца? На яких основах вона заснована?

На двох основах: (1) Рівняння повинні бути лінійними. Тобто, просторові і часові координати вводять рівняння першої степені, а не в квадраті або кубі. Це є результатом вимоги, що ви можете вибрати будь-яку подію як нуль простору і часу. (2) Просторово-часовий інтервал між двома поділами повинен мати таке ж значення при обчисленні з лабораторних поділів координат, що і при розрахунку з поділу координат ракети.

Гаразд, я зарезервую рішення щодо обґрунтованості того, що ви стверджуєте, але показуйте мені саму деривацію. Читайте далі! -