11.1: Перетворення Лоренца: корисно чи ні?

L.I ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛОРЕНЦА: КОРИСНО ЧИ НІ?

Події, а також інтервали між подіями визначають розташування фізичного світу. Ніякої гратчастої роботи годинників немає! Тільки події та зв'язок між подією та подією, виражені в інтервалі. Це фізика простору-часу, бережлива та запасна, оскільки вона пропонує нам задовольнити потреби промисловості, науки та розуміння.

Існує ще один спосіб висловити ту саму інформацію та використовувати її для тих же цілей: Налаштуйте вільні решітки для запису годинників або основні зачатки такої решітки. Простір та часові координати цього кадру Лоренца відображають кожну подію як самотню особу, не згадуючи жодного зв'язку, будь-якого просторового інтервалу часу, до будь-якої іншої події.

Цей метод на основі решітки для фізики простору-часу має ту перевагу, що його можна механізувати та застосовувати до події за подією, оптової торгівлі. Ці регламентовані просторові та часові координати потім набувають повної корисності лише тоді, коли ми зможемо перевести їх з кадру годинникової решітки, використовуваного одним аналітиком, на кадр годинникової решітки, який використовується іншим.

Ця схема перекладу придбала назву «перетворення Лоренца». Корисність його залежить від користувача. Деякі ніколи не потребують цього, тому що вони мають справу завжди з інтервалами. Інші використовують його часто, тому що він полки записів і стандартизує аналіз. Для їхніх потреб ми вставляємо цю спеціальну тему про перетворення Лоренца. Читач може захотіти прочитати його зараз, або пропустити його взагалі, або відкласти до глави 4,5, або\(6 .\) Чим пізніше, тим краще, на наш погляд. Тільки події та інтервали: Просторовий час пісне та запасне

Або ізольовані події, описані за допомогою решітки

Перетворення Лоренца: переклад опису події з решітки на решітку

 

 

L.7 ДОДАВАННЯ ШВИДКОСТЕЙ

\[\begin{aligned} &\text { add light velocily to light velocify: gell ligh } \\ &\text { velocify! } \end{aligned}\]Перетворення Лоренца дозволяє нам рішуче відповісти на очевидне протиріччя спеціальної відносності, викладеної в Розділі L.2, а саме очевидне додавання швидкостей для отримання результуючої швидкості, більшої, ніж швидкість світла. 104 СПЕЦІАЛЬНА ТЕМА ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛОРЕНЦА

Повернення до парадоксу додавання швидкості Я подорожую в ракеті, яку ви спостерігаєте, щоб рухатися зі швидкістю\(4 / 5\) світла. На передній частині моєї ракети я стріляю кулею, яку я спостерігаю, щоб літати вперед зі швидкістю 4/5 світла. Потім ви вимірюєте цю кулю, щоб стріляти вперед зі швидкістю\(4 / 5+4 / 5=8 / 5=1.6\) світла, яка перевищує швидкість світла. Там!

САМІПІ ПРОМБІЕМІЛ-I

ТРАНСФОРМУВАННЯ НАД І НАЗАД

Ракета рухається зі швидкістю\(v_{\text {rel }}=0.866(\) так\(\gamma=2)\) вздовж\(x\) -напрямку в лабораторії. У рамі ракети відбувається подія за координатами\(x^{\prime}=\)

10 метрів,\(y^{\prime}=7\) метрів,\(z^{\prime}=3\) метрів та\(t^{\prime}=\) 20 метрів легкої подорожі по відношенню до еталонної події.

а Які координати події спостерігаються в лабораторії?

b. перетворіть лабораторні координати назад на раму ракети, щоб переконатися, що отримані координати є тими, що вказані вище.

РІШЕННЯ

а. ми вже знаємо з розділу 3.6 - як і з перетворення Лоренца, рівняння (L-10) - що координати поперечні напрямку відносного руху рівні в лабораторії і в ракеті. Тому ми відразу знаємо, що\[\begin{aligned} &y=y^{\prime}=7 \text { meters } \\ &z=z^{\prime}=3 \text { meters } \end{aligned}\] The\(x\) і\(t\) координати події, як спостерігаються в лабораторії, використовують перші два рівняння (L-10):\[\begin{aligned} t &=v_{\text {rel }} \gamma x^{\prime}+\gamma t^{\prime}=(0.866)(2)(10 \text { meters })+(2)(20 \text { meters }) \\ &=17.32+40=57.32 \text { meters } \end{aligned}\] і\[\begin{aligned} x &=\gamma x^{\prime}+v_{\text {rel }} \gamma t^{\prime}=2(10 \text { meters })+(0.866)(2)(20 \text { meters }) \\ &=20+34.64=54.64 \text { meters } \end{aligned}\] так координати події в лабораторія - це\(t=57.32\) лічильники,\(x=54.64\)\(y=7\) лічильники, лічильники та\(z=3\) лічильники.

b Використовуйте рівняння (L-11) для перетворення назад з лабораторних координат на ракету. \[\begin{aligned} t^{\prime} &=-v_{\text {rel }} \gamma x+\gamma t=-(0.866)(2)(54.64 \text { meters })+(2)(57.32 \text { meters) }\\ &=-94.64+114.64=20.00 \text { meters } \end{aligned}\]і\[\begin{aligned} x^{\prime} &=\gamma x-v_{\text {rel }} \gamma t=2(54.64 \text { meters })-(0.866)(2)(57.32 \text { meters }) \\ &=109.28-99.28=10.00 \text { meters } \end{aligned}\] як зазначено в первісному постанові проблеми. Щоб проаналізувати цей експеримент, перетворіть твердження про кулю в твердження про події, оскільки координати подій - це те, що перетворює перетворення Лоренца. Подія 1 - стрільба з гармати, подія 2 прихід! кулі в ціль. Рівняння перетворення Лоренца можуть дати місця\(x_{1}, t_{1}\) та\(x_{2}, t_{2}\) ці події в лабораторному кадрі з їх відомих місць\(x_{1}^{\prime}, t_{1}^{\prime}\) і\(x_{2}^{\prime}, t_{2}^{\prime}\) в рамі ракети. Зокрема:\[\begin{aligned} &x_{2}=\gamma x_{2}{ }^{\prime}+v_{\text {re }} \gamma t_{2}^{\prime} \\ &x_{1}=\gamma x_{1}{ }^{\prime}+v_{\text {re }} \gamma t_{1}{ }^{\prime} \end{aligned}\] Відніміть відповідні сторони цих двох рівнянь:\[\left(x_{2}-x_{1}\right)=\gamma\left(x_{2}^{\prime}-x_{1}^{\prime}\right)+v_{\mathrm{rel}} \gamma\left(t_{2}^{\prime}-t_{1}^{\prime}\right)\] Нас цікавлять відмінності між координатами двох викидів. Вкажіть ці відмінності грецькою верхньою\(\Delta\) дельтою, наприклад\(\Delta x\). Тоді це\(x\) -рівняння і відповідне\(t\) -рівняння стають\[\begin{aligned} \Delta x &=\gamma \Delta x^{\prime}+v_{\text {rel }} \gamma \Delta t^{\prime} \\ \Delta t &=v_{\text {rel }} \gamma \Delta x^{\prime}+\gamma \Delta t^{\prime} \end{aligned}\] інкрементними поділами подій визначають швидкості

Індексит «rel» відрізняє відносну швидкість між лабораторними та ракетними рамами від інших швидкостей, таких як швидкість частинок в одному кадрі чи іншому.

Швидкість кулі в будь-якому кадрі - це просто поділ простору між двома подіями на її траєкторії, виміряної в тому кадрі, розділеному за часом між ними, що спостерігається в одному кадрі. В окремому обраному випадку потрібно враховувати тільки\(x\) -координату, так як куля рухається по напрямку відносного руху. Розділіть дві сторони першого рівняння (L-12) на відповідні сторони другого рівняння, щоб отримати лабораторну швидкість:\[\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\gamma \Delta x^{\prime}+v_{\text {rel }} \gamma \Delta t^{\prime}}{v_{\text {rel }} \gamma \Delta x^{\prime}+\gamma \Delta t^{\prime}}\] Потім коефіцієнт розтягування часу\(\gamma\) скасовується від чисельника та знаменника праворуч. Розділіть кожен член на чисельник і знаменник праворуч на\(\Delta t^{\prime}\). \[\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{\left(\Delta x^{\prime} / \Delta t^{\prime}\right)+v_{\mathrm{rel}}}{v_{\mathrm{re}}\left(\Delta x^{\prime} / \Delta t^{\prime}\right)+1}\]Тепер\(\Delta x^{\prime} / \Delta t^{\prime}\) просто відстань пройдена за одиницю часу частинкою, яка спостерігається в ракеті, її швидкість - називайте її\(v^{\prime}\), з простим. І\(\Delta x / \Delta t\) є швидкість частинок в лабораторії - назвати її просто\(v\). Потім (зворотний порядок членів в знаменнику, щоб надати результату його звичний вигляд) рівняння стає\[v=\frac{v^{\prime}+v_{\mathrm{rel}}}{1+v^{\prime} v_{\mathrm{rel}}}\] Це називається Законом додавання швидкостей в одному вимірі. Краща назва - Закон поєднання швидкостей, так як швидкості не «додають» в звичному розумінні. Використовуючи Закон поєднання швидкостей, ми можемо прогнозувати швидкість кулі в лабораторії. Куля\(v^{\prime}=4 / 5\) рухається по відношенню до ракети і ракета\(v_{\text {rel }}=4 / 5\) рухається по відношенню до лабораторії. Тому\(v\) швидкість кулі

ЗРАЗОК ПРОБЛЕМА L-2

«'ET TU, ПРОСТОР ЧАС!»

Юлій Цезар був убитий 15 березня в 44 в.с. у віці 55 років приблизно 2000 років тому. Чи можна якось використовувати закони відносності, щоб врятувати своє життя?

Нехай смерть Цезаря буде еталонною подією, позначеною\(0: x_{0}=0, t_{0}=0\). Подія\(A\) полягає в тому, що ви читаєте цю вправу. У рамці Землі координатами події\(A\) є\(x_{A}=0\) світлові роки,\(t_{A}=2000\) роки. Одночасний з подією\(A\) у вашому кадрі, Зоряний корабель

петарда: подія\(B\). Підприємство рухається по прямій лінії в космосі, яка з'єднує його з Землею. Андромеда віддалена в нашому кадрі на 2 мільйони світлових років. У порівнянні з такою відстанню можна знехтувати орбітою Землі навколо Сонця. Тому в нашому кадрі подія\(B\) має координати\(x_{B}=2 X\)\(10^{6}\) світлових років,\(t_{B}=2000\) років. Візьміть вбивство Цезаря, щоб бути еталонною подією для підприємства теж\(\left(x_{0}^{\prime}=0, t_{0}^{\prime}=0\right)\).

Підприємство, що круїзує галактику Андромеди, вирушає

а Наскільки швидко підприємство має йти в рамці Землі, щоб вбивство Цезаря відбувалося ЗАРАЗ (тобто\(t_{B}^{\prime}=0\)) у рамці відпочинку Enterprise? За цих обставин Підприємство рухається в бік або від Землі?

б Якщо ви знайомі з діаграмою просторового часу (глава 5), намалюйте діаграму простору-часу для кадру Землі, яка відображає подію\(O\) (смерть Цезаря), подію\(A\) (ви читаєте цю вправу), подію\(B\) (петарда вибухає в Андромеді), ваша лінія NOW одночасність, позиція Підприємства, світова лінія Підприємства, і лінія одночасності Enterprise NOW. Діаграму простору-часу не потрібно малювати в масштабі.

c У кадрі Enterprise які\(t\) координати\(x\) та координати вибуху петарди?

d. чи може вибух петарди Enterprise попередити Цезаря, змінивши таким чином хід історії Землі? Обґрунтуйте свою відповідь.

РІШЕННЯ

а. з постановки задачі,\[\begin{aligned} x_{o} &=x_{o}^{\prime}=0 & x_{A} &=0 & x_{B} &=2 \times 10^{6} \text { light-years } \\ t_{o} &=t_{0}^{\prime}=0 & t_{A} &=2000 \text { years } & t_{B} &=2000 \text { years } \end{aligned}\] Ми хочемо швидкість\(v_{\text {rel }}\) підприємства така, що\(t_{B}^{\prime}=0 .\) перші два рівняння перетворення Лоренца (L-10) з\(t_{B}^{\prime}=0\) стати\[\begin{aligned} t_{B} &=v_{\text {rel }} \gamma x_{B}{ }^{\prime} \\ x_{B} &=\gamma x_{B}{ }^{\prime} \end{aligned}\] Ми ще не знаємо значення \(x_{B}{ }^{\prime}\). Вирішити для\(v_{\text {rel }}\) шляхом ділення двох сторін першого рівняння на відповідні сторони другого рівняння. Невідоме\(x_{B}{ }^{\prime}\) випадає (разом з\(\gamma\)), і нам залишається з\(v_{\text {rel }}\) точки зору відомих величин\(t_{B}\) і\(x_{B}\):\[v_{\text {rel }}=\frac{t_{B}}{x_{B}}=\frac{2 \times 10^{3} \text { years }}{2 \times 10^{6} \text { years }}=10^{-3}=0.001\] Це бажана швидкість\(v_{\text {rel }}\) між Кадри Землі та Підприємства. Ця швидкість є позитивною величиною, тому Підприємство рухається в\(x\) позитивному напрямку, а саме подалі від Землі. Здивований, побачивши швидкість, задану як відношення поділу часу до розділення простору:\(t_{B} / x_{B}\)? Тоді зрозумійте, що\(x_{B}\) і не\(t_{B}\) є зміщеннями будь-якої частинки. Ніщо не може пройти відстань\(x_{B}\) в часі\(t_{B}\), як обговорювалося в\(\mathrm{d}\). Мета тут полягає в тому, щоб знайти кадр, в якому смерть Цезаря і вибух петарди одночасно. Для цього обмежена швидкість ракети\(v_{\text {rel }}=t_{B} / x_{B}\) правильна.

Чому відносна швидкість\(v_{\text {rel }}\) настільки мала в порівнянні зі швидкістю світла? Через великого знаменника\(x_{B}\) в рівнянні, що призводить до цього значення. Розглянемо рядок годинників Землі, що тягнеться до Андромеди, коли всі годинники Землі читають нульовий час (смерть Цезаря). Годинники підприємства читають (від рівнянь L-11 с\(t=0\)) наступним чином:\(t^{\prime}=-v_{\text {re1 }} \gamma x\). Це приклад відносності одночасності (Розділ 3-4). Чим далі\(x\) -відстань від Землі, тим раніше будуть читати годинник Enterprise. З\(x=2\) мільйонами світлових років\(v_{\text {rel }}\) відносна швидкість не повинна бути великою, щоб перенести час Enterprise назад 2000 років для Землі.

б.

Діаграма часу простору Землі, що показує події\(0, A\), і\(B\). Чи не масштабувати.

c Потрібне значення гамма\(\gamma\), для зворотного рівняння перетворення Лоренца (L-11). Ця величина дуже близька до єдності, а від неї виходять\(t_{B}^{\prime}\) і\(x_{B}^{\prime}\). \[\begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\left[1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right]^{1 / 2}}=\frac{1}{\left[1-\left(10^{-3}\right)^{2}\right]^{1 / 2}}=\frac{1}{\left[1-10^{-6}\right]^{1 / 2}} \approx 1+\frac{10^{-6}}{2} \\ t_{B}{ }^{\prime} &=-v_{\mathrm{rel}} \gamma x_{B}+\gamma t_{B}=\gamma\left(-10^{-3} \times 2 \times 10^{6}+2 \times 10^{3}\right) \\ &=\gamma\left(-2 \times 10^{3}+2 \times 10^{3}\right)=0 \text { years } \\ x_{B}{ }^{\prime} &=\gamma x_{B}-v_{\mathrm{rel}} \gamma t_{B}=\gamma\left(2 \times 10^{6}-10^{-3} \times 2 \times 10^{3}\right)=2 \gamma\left(1-10^{-6}\right) 10^{6} \\ &=2\left(1+\frac{10^{-6}}{2}\right)\left(1-10^{-6}\right) 10^{6}=2\left(1-\frac{10^{-6}}{2}-\frac{10^{-12}}{2}\right) 10^{6} \\ & \approx 1.999999 \times 10^{6} \text { light-years. } \end{aligned}\]Ми вибрали відносну швидкість так, щоб час вибуху петарди, як спостерігалося в ракеті, було таким же, як і час смерті Цезаря, а саме\(t_{B}^{\prime}=0\). \(x\)-координата цього вибуху не сильно відрізняється в двох кадрах, оскільки їх відносна швидкість настільки мала.

d Існує рамка - решта кадру Ентерпрайза - в якій одночасно відбуваються смерть Цезаря і вибух петарди. У цьому кадрі сигнал, що з'єднує дві події, повинен був би подорожувати з нескінченною швидкістю. Але це неможливо. Тому Підприємство не може попередити Цезаря; його смерть остаточна. Вибачте. (Примітка: Мовою глави 6 зв'язок між двома подіями схожий на простір, і космічні події не можуть мати причинно-наслідковий зв'язок.) 108 СПЕЦІАЛЬНА ТЕМА

КОРОБКА Л-1

ЧОМУ НІ

Матеріальний об'єкт подорожує швидше, ніж світло? Ні! Якби хтось це зробив, ми могли б порушити нормальний порядок причин і наслідків мільйоном перевірених способів, що повністю суперечить усьому досвіду. Тут ми досліджуємо один приклад, використовуючи рівняння перетворення Лоренца.

Мирний договір Шалімара був підписаний за чотири роки до Великої зради. Настільки ключовою подією була Велика зрада, що вона була прийнята як нуль простору та часу.

Шалімарським договором вбивчі клінгонці погодилися припинити атакувати форпости Федерації в обмін на доступ до Технічної бази даних Федерації. Учасники переговорів Федерації виїхали відразу після підписання Шалімарського договору на кораблі, що рухається з\(0.6\) легкою швидкістю.

Клінгонська («лабораторія») просторово-часова діаграма. Клінгонська світова лінія - це вертикальна вісь часу. Договір Шалімара слідує чотири роки потому Велика зрада (подія 0), на якій Клінгонс запускають Супер, який рухається з триразовою легкою швидкістю. Подорожуючи зліва направо, Супер проходить одну колонію Федерації (подія 1), а потім іншу (подія 2). Нарешті Супер знищує відступаючий корабель переговорників Федерації (подія 3). ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛОРЕНЦА

Протягом чотирьох років клінгонці використовували технічну базу даних Федерації для розробки швидшого, ніж світло, забою Супер. У той темний день Великої зради (еталонна подія 0), Клінгонці запустили Супер з триразовою світлою швидкістю вперед відступаючого корабля Федерації.

Дві космічні колонії Федерації лежали між клінгонами і точкою удару Супер з кораблем Федерації. Самотній оглядач у першій колонії з трепетом засвідчив сліпучий прохід Супер левента 1). Пізніше багато громадян другої колонії зяяли, коли Супер знесли одну зі своїх комунікаційних структур (подія 2) і збільшили масштаб. Обидві колонії відчайдушно послали попередження до корабля Федерації, але безрезультатно, оскільки Супер обурюють радіосигнали.

Нарешті, на заході 3 Супер обігнав і знищив корабель Федерації. Всі учасники переговорів Федерації загинули в жахливому спалаху світла і розсіювання сміття. Почався тривалий темний період відновленої війни.

Але почекайте! Подивіться ще раз на події Великої зради, на цей раз з точки зору ракетного корабля Федерації. Де і коли відбувається Велика зрада в цьому кадрі? Велика зрада - це «шарнір історії», еталонна подія, нуль простору та часових координат для всіх лабораторних і ракетних кадрів.

Де і коли вибухає Супер (подія 3) в цій рамі ракети? У клінгонському «лабораторному» кадрі подія 3 має координати\(x_{3}=3\) світлових років і\(t_{3}=1\) року. Використовуйте обернені рівняння перетворення Лоренца, щоб знайти місце події 3 в ракетовому каркасі переговорників Федерації. Обчисліть коефіцієнт розтягування часу,\(\gamma\) використовуючи швидкість ракети\(v_{\text {rel }}=0.6\) Federation, по відношенню до рамки Клінгона:\[\begin{aligned} \gamma &=\frac{1}{\left[1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right]^{1 / 2}}=\frac{1}{\left[1-(0.6)^{2}\right]^{1 / 2}}=\frac{1}{[1-0.36]^{1 / 2}} \\ &=\frac{1}{[0.64]^{1 / 2}}=\frac{1}{0.8}=1.25 \end{aligned}\]

«Ракетна» просторово-часова діаграма відходять Федерації переговорників. У цьому кадрі спочатку йде їх знищення (подія 3), після чого йде проходження Супер справа наліво повз колоній Федерації в зворотному порядку (подія 2, а потім подія 1). Нарешті, Super потрапляє в пускову установку Klingon, не завдаючи додаткової шкоди (подія 0). Велика зрада стала Великою плутаниною причин і наслідків.

Підставляйте ці значення в рівняння,\((L-11)\) щоб порахувати координати ракети\[\begin{aligned} t_{3}^{\prime} &=-v_{\text {rel }} \gamma x_{3}+\gamma t_{3} \\ &=-(0.6)(1.25)(3 \text { years })+(1.25)(1 \text { year }) \\ &=-2.25 \text { years }+1.25 \text { years }=-1 \text { year } \\ x_{3}^{\prime} &=\gamma x_{3}-v_{\text {rel }} \gamma t_{3} \\ &=(1.25)(3 \text { years })-(0.6)(1.25)(1 \text { year }) \\ &=3.75 \text { years }-0.75 \text { year }=3 \text { years } \end{aligned}\] події 3: Подія 3 побудована на схемі ракети, а світова лінія Супер намальована шляхом з'єднання події 3 з запуском Super на події 0. Зверніть увагу, що ця світова лінія нахиляється вниз вправо. Детальніше про значимість цього за хвилину.

Аналогічним чином знайти координати ракети підписання договору в Шалімар (індекс Sh), який має лабораторні координати\(x_{\mathrm{Sh}}=0\) і\(t_{\mathrm{Sh}}=-4\) роки:\[\begin{aligned} t_{\mathrm{Sh}}^{\prime} &=-v_{\mathrm{rel} 1} \gamma \mathrm{x}_{\mathrm{Sh}}+\gamma t_{\mathrm{Sh}} \\ &=-(0.6)(1.25)(0 \text { years })+(1.25)(-4 \text { years }) \\ &=-5 \text { years } \\ x_{\mathrm{Sh}}^{\prime} &=\gamma x_{\mathrm{Sh}}-v_{\mathrm{rel}} \gamma t_{\mathrm{Sh}} \\ &=(1.25)(0 \text { years })-(0.6)(1.25)(-4 \text { years) }\\ &=+3 \text { years } \end{aligned}\] У Федерації (ракета) космічна діаграма часу, світова лінія переговорників Федерації простягається від Підписання договору в Шалімарі вертикально до вибуху Супер (подія 3). Світова лінія клінгонів простягається від Шалімара по діагоналі через запуск Super на події 0

На діаграмі простору часу Федерації світова лінія для Супер нахиляється вниз вправо. У цьому кадрі смерті учасників переговорів Федерації (подія 3) відбуваються в момент\(t_{3}^{\prime}=\) мінус 1 рік, тобто до того, як підступні клингони запускають Супер на випадок Великої зради (еталонна подія 0). З діаграми можна сказати, що Супер рухається з триразовою легкою швидкістю від корабля Федерації до Клінгонів. Це, здається, підтверджується тим, що в цьому кадрі Супер проходить колонії Федерації в зворотному порядку, подія 2, а потім подія 1, що йде в зворотному напрямку. І все ж учасники переговорів Федерації не створили такої страшної зброї і фактично знищуються нею в той момент, коли вони повинні запустити його, про що свідчать літаючі фотони і сміття. Детальніше: Клінгони не зазнають шкоди від потужного впливу забою Super (подія 0). Швидше за все, в цей кадр він входить їх пускова гармата м'яка, як ягня.

Що ми тут маємо? Плутанина причин і наслідків, плутанина, яку неможливо випрямити, поки ми припускаємо, що Супер - або будь-який інший матеріальний об'єкт - подорожує швидше, ніж світло у вакуумі.

Чому жоден сигнал і жоден об'єкт не рухається швидше, ніж світло у вакуумі? Тому що якби сигнал або об'єкт зробили це, вся мережа причин і наслідків була б зруйнована, і наука, як ми знаємо, це було б неможливою. щодо лабораторії походить від виразу\[v=\frac{4 / 5+4 / 5}{1+(4 / 5)(4 / 5)}=\frac{8 / 5}{1+16 / 25}=\frac{8 / 5}{41 / 25}=\frac{40}{41}\] Таким чином куля рухається в лабораторії зі швидкістю менше, ніж швидкість світла.

Як обмежувальний випадок припустимо, що вистрілена з передньої частини ракети «куля» - це, по суті, імпульс світла. Вгадайте: Яка швидкість цього світлового імпульсу в лабораторії? Ось розрахований відповідь. Світло рухається по відношенню до ракети зі швидкістю, в\(v^{\prime}=1\) той час як ракета триває вздовж\(v_{\text {rel }}=4 / 5\) зі швидкістю по відношенню до лабораторії. Потім світло рухається по відношенню до лабораторії зі швидкістю\(v\):

Швидкість світла інваріантна,

як очікувалося. \[v=\frac{1+4 / 5}{1+(1)(4 / 5)}=\frac{9 / 5}{9 / 5}=1\]Так світло рухається з однаковою швидкістю в обох кадрах, як того вимагає Принцип відносності. Питання: Чи вірно це і тоді, коли світловий імпульс вистрілюється з задньої частини ракети?

ЗРАЗОК PIRO BILEMIL-B

ВИПАЛЮВАЛЬНИЙ МЕЗОНИ

A\(K^{\circ}\) (вимовляється "\(K\)-naught») мезону в спокої щодо якого\(K^{\circ}\) меон подорожує зі швидкістю ракети-рами розпадається в\(\pi^{+}\) («пі плюс») меон\(v_{\text {rel }}=0.9 .\) Яка найбільша швидкість, що один з і \(\pi^{-}\)(«пі мінус») мезон, кожен з яких має\(\pi\) мезони може мати стосовно робочої\(v^{\prime}=0.85\) швидкості щодо ракети. Тепер історія? Яка найменша швидкість? розглядати цей розпад, як спостерігається в лабораторії з

РІШЕННЯ

Нехай перевищення швидкості\(K^{\circ}\) -мезон муве в позитивному\(x\) -напрямку в лабораторії. У рамі ракети дочірні\(\pi\) -мезони відриваються в протилежні сторони. Однак їх загальна лінія руху може бути орієнтована довільно в цьому кадрі. Максимальна швидкість\(\pi\) дочірнього мезона в лабораторних результатах при його випромінюванні в прямому\(x\) напрямку. Для такого мезона закон додавання швидкостей дає\[v_{\max }=\frac{v^{\prime}+v_{\mathrm{rel}}}{1+v^{\prime} v_{\mathrm{rel}}}=\frac{0.85+0.9}{1+(0.85)(0.9)}=\frac{1.75}{1.765}=0.9915\] Таким чином додавання швидкості\(0.85\) до швидкості\(0.9\) не дає отриманої швидкості більше 1, швидкість світла.

Найповільніша лабораторна швидкість для дочірнього мезона виникає при його випромінюванні в\(x\) негативному напрямку в рамі ракети. У цьому випадку швидкість дочірнього мезону негативна, а закон додавання швидкостей стає законом віднімання швидкостей:\[v_{\min }=\frac{-v^{\prime}+v_{\mathrm{rel}}}{1-v^{\prime} v_{\mathrm{rel}}}=\frac{-0.85+0.9}{1-(0.85)(0.9)}=\frac{0.05}{0.235}=0.2128\] Хоча мінімальна швидкість мезону рухається вліво в ракеті, він рухається вправо в лабораторії через дуже велику швидкість оригінал\(K^{\circ}-m e s o n\) в лабораторії.

L.8 РЕЗЮМЕ

Перетворення Лоренца має справу з координатами, а не інваріантними кількостями

Враховуючи просторові та часові координати події відносно еталонної події в одному фреймі з вільним плаванням, рівняння перетворення координат Лоренца повідомляють нам координати тієї ж події у перекриваючому кадрі з вільним плаванням у відносному русі відносно першого. Рівняння, що перетворюють координати ракети (заґрунтовані координати) в лабораторні координати (необгрунтовані координати), мають вигляд,\[\begin{aligned} t &=\frac{v_{\mathrm{rel}} x^{\prime}+t^{\prime}}{\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2}} \\ x &=\frac{x^{\prime}+v_{\mathrm{rel}} t^{\prime}}{\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2}} \\ y &=y^{\prime} \quad \text { and } \quad z=z^{\prime} \end{aligned}\] де\(v_{\text {rel }}\) позначає відносну швидкість двох кадрів (ракета рухається в позитивному\(x\) напрямку в лабораторії). Обернені рівняння перетворення Лоренца перетворюють лабораторні координати в координати ракети:\[\begin{aligned} t^{\prime} &=\frac{-v_{\mathrm{rel}} x+t}{\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2}} \\ x^{\prime} &=\frac{x-v_{\mathrm{rel}} t}{\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2}} \\ y^{\prime} &=y \quad \text { and } \quad z^{\prime}=z \end{aligned}\] в яких\(v_{\text {rel }}\) розглядається як додатна величина. В обох цих наборах рівнянь координати подій вимірюються по відношенню до еталонної події. Це дійсно тільки різниця в координатах між подіями, які мають значення, наприклад\(x_{2}-x_{1}=\Delta x\) для будь-яких двох подій 1 і 2, а не самі координати. Це важливо при отриманні Закону додавання швидкостей.

Закон додавання швидкостей або закон поєднання швидкостей в одному вимірі випливає з рівнянь перетворення Лоренца. Цей закон говорить нам про швидкість\(v\) частинки в лабораторному кадрі, якщо ми знаємо її швидкість\(v^{\prime}\) по відношенню до ракети і відносну швидкість\(v_{\text {rel }}\) між ракетою і лабораторією,\[v=\frac{v^{\prime}+v_{\mathrm{rel}}}{1+v^{\prime} v_{\mathrm{rel}}}\]

ДОВІДНИК

Зразок задачі L-3, Випалюючий мезон, був адаптований з французької мови А.П., Спеціальна теорія відносності (W.W. Norton, Нью-Йорк, 1968), сторінка\(159 .\)

СПЕЦІАЛЬНІ ТЕМАТИЧНІ ВПРАВИ

ПРАКТИКА

L-я супер-швидкість супер?

Зробіть ще два кроки в притчі про Велику зраду (Box L-1).

a Знайти швидкість нового кадру ракети, що рухається відносно кадру Клінгона таким чином, що Супер подорожує в 6 разів швидкості світла в цьому новому кадрі. Підказка: Вивчіть\(t^{\prime}\) координати\(x^{\prime}\) та подію 3 у новому кадрі. Співвідношення цих двох - це швидкість Super в цьому кадрі.\(x^{\prime} / t^{\prime}\) Ми знаємо координати події 3 в клінгонському кадрі. Тому

b Знайдіть швидкість ще одного кадру ракети, щодо кадру Клінгона, така, що Супер подорожує з нескінченною швидкістю в цьому кадрі. Підказка: Що означає нескінченна швидкість про час\(t^{\prime}\) між подіями 0 і 3 в цьому новому кадрі?

L-2 поганий годинник

Примітка: Ця вправа використовує діаграми простору-часу, введені в главі 5.

Імпульс світла відбивається взад-вперед між дзеркалами\(A\) і\(B\) розділяється на 2 метри відстані в\(x\) -напрямку в рамці Землі, як показано на малюнку (зліва). Шахрай каже нам, що цей пристрій являє собою годинник, який «тикає» кожного разу, коли імпульс надходить на будь-яке дзеркало.

Шахрай стверджує, що події з 1 по 6 - послідовні «галочки» цього годинника (центру). Однак ми помічаємо, що цокання годин нерівномірне в рамі ракети, що рухається зі швидкістю\(v_{\text {rel }}\) в рамці Землі (праворуч). Наприклад, між подіями 0 і 1 менше часу, ніж між подіями 1 і 2, як вимірюється в рамі ракети.

a Яка фізична основа для «поганого» поведінки цього годинника? Використання перетворення Лоренца

РАМА РАКЕТИ

ВПРАВА Л-2. Зліва: Горизонтальний світлоімпульсний годинник, як спостерігається в кадрі Землі. Центр: Просторово-часова діаграма, що показує світові лінії дзеркал\(\mathrm{B}\) А і «рівномірно цокає» світловий імпульс, як спостерігається в рамці Землі. Праворуч: Прогалини часу між послідовними тиками світлоімпульсного годинника не є рівномірними, як це спостерігається в рамі ракети. Рівняння для обліку нерівномірного цокання цього годинника в рамі ракети.

b Використовуйте деякі з тих самих подій від 0 до 4, щоб визначити «хороший» годинник, який рівномірно позначається як в лабораторному кадрі, так і в рамі ракети. З просторово-часових діаграм якісно покажіть, що ваші хороші годинник «працюють повільно», як це спостерігається з рамок ракети - як треба, так як годинник знаходяться в русі по відношенню до рамі ракети.

c Поясніть, чому годинник малюнка 1-3 в тексті є «хорошими» годинами.

L-3 Галілеєва трансформація

a Використовуйте повсякденні нерелятивістські ньютонівські аргументи для отримання рівнянь перетворення між опорними кадрами, що рухаються з низькими відносними швидкостями. Покажіть, що результат -\(t_{\text {sec }}\) це\[\begin{aligned} x^{\prime}=x-v_{\text {conv }} t_{\text {sec }} & \text { (Newtonian: } v_{\text {conv }}<<c \text { ) } \\ t_{\text {sec }}^{\prime}=t_{\text {sec }} \quad \text { (Newtonian: } v_{\text {conv }}<<c \text { ) } \end{aligned}\] час,\(v_{\text {conv }}\) виміряний у секундах, а швидкість у звичайних одиницях (наприклад, метрів/секунду). Перерахуйте припущення, які ви робите у своєму виведенні.

b Перетворення рівнянь (1) і (2) для вимірювання часу\(t\) в метрах і безодиничного вимірювання відносної швидкості,\(v_{\mathrm{rel}}=v_{\mathrm{con}} / c\). Показати результати:\[\begin{aligned} x^{\prime}=x-v_{\text {rel }} t &(\text { Newtonian: } v<<1) \\ t^{\prime}=t &(\text { Newtonian: } v<<1) \end{aligned}\] Чи роблять нові одиниці ці рівняння правильними при високій відносній швидкості між кадрами?

c Використовуйте перші два члени в біноміальному розширенні, щоб знайти низькошвидкісне наближення для\(\gamma\) перетворення Лоренца. \[\gamma=\frac{1}{\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2}}=\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{-1 / 2} \approx 1+\frac{v_{\mathrm{rel}}^{2}}{2}\]Показати, що цей вираз відрізняється від єдності менш ніж на один відсоток за умови\(v\) менше, ніж\(1 / 7\). Спортивний автомобіль може рівномірно розганятися від відпочинку до 60 миль/год (близько 27 метрів/секунду) за 7 секунд. Приблизно скільки днів знадобилося б спортивний автомобіль, щоб досягти\(v=1 / 7\) при тому ж постійному прискоренні?

d\(\operatorname{Set} \gamma=1\) у рівняннях перетворення Лоренца. Показати, що отримане «низькошвидкісне перетворення Лоренца» - це\[\begin{array}{cc} x^{\prime}=x-v_{\text {rel }} t \quad & \text { (Lorentz: } v<<1 \text { ) } \\ t^{\prime}=-v_{\text {rel }} x+t \quad \text { (Lorentz: } v<<1 \text { ) } \end{array}\] Яка різниця між тимчасовими перетвореннями для «ньютонівської межі низької швидкості» рівняння (4) та «границею низької швидкості Лоренца» рівняння (6)? Як вони обидва можуть бути правильними? Термін -\(v_{\text {rel }} x\) не залежить від будь-якого проміжку часу, а тільки від\(x\) відокремлення події від лабораторного походження. Цей термін обумовлений різницею синхронізації годин в двох кадрах.

е У кожному з наступних випадків лабораторний годинник (вимірювальний\(t\)) на відстані\(x\) від початку, виміряного в лабораторному кадрі, порівнюють з прохідним ракетним годинником (вимірювальним\(t^{\prime}\)). Скажіть, чи\(t-t^{\prime}=v_{\text {rel }} x\) можна виявити різницю в часі за допомогою наручних годинників (точність\(10^{-1}\) секундних\(=3 \times\)\(10^{7}\) метрів світлового часу) і за допомогою сучасних електронних годин (точність\(10^{-9}\) секунди) \(=0.3\)метр часу).

(1) Спортивний автомобіль, який подорожує на 100 кілометрів/годину (приблизно 30 метрів/секунду), розташований на 1000 кілометрах вниз по дорозі від початку, як вимірюється в рамці Землі.

(2) Місячний зонд подорожує на 30 000 кілометрів годину, що проходить Місяць,\(3.8 \times 10^{5}\) кілометрів від походження на Землі, як вимірюється в рамці Землі.

(3) Відстань від походження на Землі, на якій космічний зонд подорожує на 30,000 кілометрів/годину, призводить до виявленої різниці в часі між наручним годинником ракети та сусіднім годинником, пов'язаним із землею. Порівняти з Землею - Сонцем відстань\(1.5 \times 10^{11}\) метрів

\(\mathbf{f}\)Узагальнити в реченні або двох умовах, при яких регулярні рівняння перетворення Галілея (3) і (4) призведуть до правильних прогнозів.

L-4 межі ньюфонівського

Використовуйте швидкість частинок\(v_{\text {crit }}=1 / 7\) (Вправа\(\mathrm{L}-3\)) як приблизну максимальну межу для дійсності ньютонівської механіки. Визначте, чи адекватна ньютонівська механіка для аналізу руху в кожному з наступних випадків, слідуючи приклад.

Приклад: Супутник кружляє Землю зі швидкістю 30 000 кілометрів/год\(=18,000\) миль/год. Відповідь: Світло рухається зі швидкістю\(v_{\text {conv }}=\left(3 \times 10^{5}\right.\) кілометри (\(/\)секунда)\(\times(3600 \quad\) секунди\(/\) годину\()=1.08 \times 10^{9}\) кілометри/год. Тому швидкість супутника в метрах/метр є\(v=v_{\text {conv }} / c=2.8 \times 10^{-5}\). Це набагато менше\(v_{\text {cit }}=1 / 7\), ніж, тому ньютонівське опис руху супутника є адекватним.

Земля, що кружляє Сонце з орбітальною швидкістю 30 кілометрів/секунду.

b Електрон кружляє протон на орбіті найменшого радіуса в атомі водню. Дискусія: Класична швидкість електрона на внутрішній орбіті атома атомного номера\(Z\), де\(Z\) число протонів в ядрі, задається для низьких швидкостей виразом\(v=Z / 137\). Для водню,\(Z=1\).

c Електрон на внутрішній орбіті атома золота, для чого\(Z=79\).

d Електрон після розгону від спокою через напругу 5000 вольт в чорно-білій телевізійній трубці. Дискусія: Ми говоримо, що цей електрон має кінетичну енергію 5000 електрон-вольт. Один електрон-вольт дорівнює\(1.6 \times 10^{-19}\) джоулю. Спробуйте використовувати ньютонівський вираз для кінетичної енергії.

• Електрон після прискорення від спокою через напругу 25 000 вольт в кольоровій телевізійній картинній трубці.

f Протон або нейтрон, що рухається з кінетичною енергією\(10 \mathrm{MeV}\) (мільйон електрон-вольт) в ядрі.

ПРОБЛЕМИ

-5 Доплерівський зсув

Свічка запалювання в стані спокою в ракеті випромінює світло з частотними\(f^{\prime}\) імпульсами або хвилями в секунду. Яка частота цього\(f\) світла спостерігається в лабораторії? Нехай цей потік хвиль (або імпульсів) світла рухається в позитивному\(x\) -напрямку зі швидкістю\(c\), так що протягом одного метра часу руху світла,\(f / c\) з цих імпульсів проходить початок лабораторного кадру. Зрозуміло, що нульовий або «фідуціальний"' гребінь або імпульс проходить початок в нуль часу і що початок рами ракети передає початок лабораторного кадру в цей же час.

a Показати, що\(x\) -координата\(n\) го імпульсного або хвильового гребеня пов'язана з часом спостереження\(t\) (в метрах) рівнянням\[n=(f / c)(t-x)\]\(\mathbf{b}\). Той же аргумент, застосований в рамі ракети, призводить до співвідношення \[n=\left(f^{\prime} / c\right)\left(t^{\prime}-x^{\prime}\right)\]Висловіть цю формулу ракети в лабораторних координатах\(x\) і\(t\) за допомогою перетворення Лоренца. Прирівняти результуючий вираз for\(f^{\prime}\) до формули labora- tory for\(f\) в термінами\(x\) і\(t\) вивести просту формулу для\(f\) термінами\(f^{\prime}\) і\(v_{\text {rel }}\) , Відносна швидкість лабораторних і ракетних рам. \[f=\left(\frac{1+v_{\mathrm{rel}}}{1-v_{\mathrm{rel}}}\right)^{1 / 2} f^{\prime}\][хвиля рухається в\(\mathrm{x}\) позитивному напрямку]

c Тепер спостерігайте хвилю, що рухається по\(x\) негативному -напрямку від того ж джерела в стані спокою в рамі ракети. Показати, що частота хвилі, що спостерігається в лабораторному кадрі, дорівнює\[f=\left(\frac{1-v_{\text {rel }}}{1+v_{\text {rel }}}\right)^{1 / 2} f^{\prime} \quad \begin{array}{r} \text { [wave moves in } \\ \text { negative } \mathbf{x} \text {-direction] } \end{array}\] d Астрономи визначають червоне\(z\) зсув світла від відступаючого астрономічного об'єкта за формулою\[z=\frac{f_{\mathrm{emit}}-f_{\mathrm{obs}}}{f_{\mathrm{obs}}}\]\(f_{\text {emit }}\) Ось частота світла, виміряна в кадр, в якому випромінювач знаходиться в стані спокою і\(f_{\text {obs }}\) частота спостерігається в іншому кадрі, в якому випромінювач рухається безпосередньо від спостерігача.

Найвіддаленіший квазар, про який повідомляється станом на 1991 рік, має червонузміну\(z=4.897\). З якою часткою швидкості світла цей квазар відступає від нас?

Довідка: Д.П. Шнайдер, Шмідт Шмідт, і Дж. Е. Ганн, Астрономічний журнал, том 102, сторінки\(837-840\) (1991).

L-6 перетворення кутів

Метрова палиця лежить в стані спокою в рамі ракети і робить кут\(\phi^{\prime}\) з\(x^{\prime}\) -віссю. Лабораторні спостерігачі вимірюють\(x\)\(y\) -і -проекції палиці, коли вона проходить повз. Які значення вони вимірюють для цих проекцій, порівняно з\(x^{\prime}\) - і\(y^{\prime}\) -проекціями, виміряними спостерігачами ракет? Тому який кут\(\phi\) робить один і той же метр палиці з\(x\) -віссю лабораторного каркаса? Яка довжина «метрової палиці», яка спостерігається в лабораторному кадрі?

b Зробіть сміливе припущення, що напрямки ліній електричного поля навколо точкового заряду трансформуються так само, як напрямки метрових паличок, які лежать уздовж цих ліній. (Лінії електричного поля навколо точкового заряду вважаються нескінченними по довжині, тому перетворення довжини частини a не застосовується.) Намалюйте якісно лінії електричного поля за рахунок ізольованого позитивного точкового заряду в стані спокою в рамі ракети, як це спостерігається в (1) рамі ракети та (2) лабораторному кадрі. Які висновки випливають стосовно зміни в часі електричних сил на сусідніх зарядах в стані спокою в лабораторному кадрі?

L-7 перетворення\(y\) -velocify

Частинка рухається з рівномірною швидкістю\(v_{y}^{\prime}=\Delta y^{\prime} / \Delta t^{\prime}\) вздовж\(y^{\prime}\) -осі рами ракети. Перетворення\(\Delta y^{\prime}\) і\(\Delta t^{\prime}\) до лабораторних переміщень\(\Delta x, \Delta y\), і\(\Delta t\) за допомогою рівнянь перетворення Лоренца. Показати, що\(x\) -компонент і\(y\) -компонент швидкості цієї частинки в лабораторному кадрі задаються виразами\[\begin{aligned} &v_{x}=v_{\mathrm{rel}} \\ &v_{y}=v_{y}^{\prime}\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2} \end{aligned}\]

L-8 трансформація напрямку швидкості

Частка рухається зі швидкістю\(v^{\prime}\) в\(x^{\prime} y^{\prime}\) площині рами ракети в напрямку, який робить кут\(\phi^{\prime}\) з\(x^{\prime}\) -віссю. Знайдіть кут\(\phi\), який вектор швидкості цієї частинки складає з\(x\) -віссю лабораторного кадру. (Підказка: Трансформуйте переміщення простору та часу, а не швидкості.) Чому цей кут відрізняється від того, який виявлений у вправі Л-6 на трансформацію кутів? Зіткніть два результати, коли відносна швидкість між ракетою та лабораторними рамами дуже велика.

L-9 ефект фари

Спалах світла випромінюється під\(\phi^{\prime}\) кутом по відношенню до\(x^{\prime}\) -осі рами ракети.

a Показати, що кут\(\phi\) напрямку руху цього спалаху по відношенню до\(x\) -осі лабораторного кадру задається рівнянням\[\cos \phi=\frac{\cos \phi^{\prime}+v_{\mathrm{rel}}}{1+v_{\mathrm{rel}} \cos \phi^{\prime}}\]

b Покажіть, що ваша відповідь на вправу L-8 дає той самий результат, коли швидкості\(v^{\prime}\) задано значення одиниці.

c Частка в спокої в рамі ракети випромінює світло рівномірно у всіх напрямках. Розглянемо 50 відсотків цього світла, що йде в передню півкулю в рамі ракети. Показати, що в лабораторному кадрі це світло зосереджено у вузькому прямому конусі півкута, вісь\(\phi_{0}\) якого лежить уздовж напрямку руху частинки. \(\phi_{0}\)Половинний кут - це рішення наступного рівняння:\[\cos \phi_{\mathrm{o}}=v_{\mathrm{rel}}\] Цей результат називається ефектом фар.

L-10 нахилена лічильна паличка

Примітка: Ця вправа використовує результати вправи L-7.

Метрова палиця, що лежить паралельно\(x\) осі, рухається в\(y\) -напрямку в лабораторному кадрі зі швидкістю,\(v_{y}\) як показано на малюнку (зліва).

a У рамі ракети палиця нахилена вгору в\(x^{\prime}\) позитивному напрямку, як показано на малюнку (праворуч). Поясніть, чому це так, спочатку без використання рівнянь.

\(\mathbf{b}\)Нехай центр метрової палички проходить точку\(x=y=x^{\prime}=y^{\prime}=0\) в той час\(t=t^{\prime}=0\). Обчисліть кут,\(\phi^{\prime}\) під яким метрова палиця нахилена до\(x^{\prime}\) -осі, як це спостерігається в рамі ракети. Обговорення: Де і коли правий кінець лічильника перетинає\(x\) вісь -як це спостерігається в лабораторному кадрі? Де і коли відбувається ця подія правого перетину, виміряна в рамі ракети? Який напрямок і величина швидкості вимірювальної палиці в рамі ракети (Вправа Л-7)? Тому де знаходиться правий кінець метрової палиці\(t^{\prime}=0\), коли центр знаходиться біля початку? Тому...

ВПРАВА Л-10. Зліва: Метрова палиця рухається поперечно до своєї довжини, як це спостерігається в лабораторному кадрі.

Праворуч: Метрова палиця, як спостерігається в рамі ракети.

ВПРАВА Л-11 ПІДНІМАЄТЬСЯ ЛЮК

L-I1 піднімається люк

Примітка: Ця вправа використовує результати вправи L-10.

Метрова палиця лежить уздовж\(x\) -осі лабораторного каркаса і зі швидкістю наближається до початку\(v_{\text {rel }}\). Дуже тонка пластина, паралельна\(x z\) лабораторній площині рухається вгору в\(y\) -напрямку зі швидкістю\(v_{y}\), як показано на малюнку. Пластина має круглий отвір діаметром один метр по центру на\(y\) -осі. Центр палиці лічильника прибуває до лабораторного походження одночасно в лабораторному кадрі, коли піднімається пластина прибуває на площину\(y=0\). Оскільки метрова палиця Lorentz стискається в лабораторному каркасі, вона легко пройде крізь отвір у піднімається пластині. Тому не буде зіткнення між метровою палицею та пластиною, оскільки кожен продовжує свій рух. Однак той, хто заперечує проти такого висновку, може зробити наступний аргумент: «У рамі ракети, в якій метрова палиця знаходиться в спокої, метрова палиця не стискається, тоді як в цій рамці отвір в пластині укладено Лоренц. Отже, повнометрова палиця не може пройти через стиснутий отвір у пластині. Тому має бути зіткнення між метровою палицею і пластиною». Вирішіть цей парадокс, використовуючи свою відповідь на вправи\(\mathrm{L}-10\). Відповісти однозначно на питання, чи буде зіткнення між метрової палицею і пластиною?

Довідка:\(R\). Шоу, Американський журнал фізики, том 30, сторінка 72 (1962).

L-12 парадокс скейфборду і сітки

Дівчина на скейтборді рухається дуже швидко, настільки швидко, що релятивістське скорочення довжини робить скейтборд дуже коротким. По тротуару вона повинна пройти через сітку. Людина, що стоїть біля сітки повністю очікує швидкий короткий скейтборд впасти через отвори в сітці. Ще для швидкої дівчини її скейтборд має свою звичайну довжину, і це сітка, яка має релятивістський скорочення. Їй отвори в сітці набагато вже, ніж у стаціонарного чоловіка, і вона вже точно не очікує, що її скейтборд провалиться крізь них. Яка людина правильна? Відповідь залежить від відносності жорсткості.

Ідеалізуйте проблему як однометровий стрижень, що ковзає вздовж по плоскому столу. На його шляху знаходиться отвір шириною в один метр. Якщо коефіцієнт стиснення Лоренца дорівнює десяти, то в настільній (лабораторній) рамі стрижень довжиною 10 сантиметрів і легко опуститься в отвір шириною в один метр. Припустимо, що в лабораторній рамці метр палиця рухається досить швидко, так що він залишається по суті горизонтальним, коли він опускається в отвір (немає «перекидання» в лабораторному кадрі). Напишіть рівняння в лабораторній рамці для руху нижнього краю метрової палиці, припускаючи, що\(t=\)\(t^{\prime}=0\) в той момент, коли задній кінець метрової палиці залишає край отвору. При невеликих вертикальних швидкостях стрижень буде падати зі звичайним розгоном\(g\). Відзначимо, що в лабораторному каркасі ми припустили, що кожна точка по довжині метрової палиці починає падати одночасно.

У метровій палиці (ракеті) кадрі стрижень має довжину одного метра, тоді як отвір Лоренц стискається до 10-сантиметрової ширини, так що стрижень не може вписатися в отвір. Більш того, в рамі ракети різні частини по довжині метрової палиці починають опускатися в різний час, через відносність одночасності. Перетворіть лабораторні рівняння в раму ракети. Покажіть, що передня і задня частини вудилища почнуть опускатися в різний час в цьому кадрі. Стрижень буде «опускатися» через край отвору в рамі ракети - тобто не буде жорстким. Чи буде стрижень в кінцевому підсумку опуститися в отвір в обох кадрах? Чи дійсно стрижень жорсткий або нежорсткий під час експерименту? Чи можна вивести будь-які фізичні характеристики стрижня (наприклад його гнучкість або стисливість) з опису його руху, що забезпечується відносністю?

Довідка: У. Ріндлер, Американський фізичний журнал, Том 29 стор.\(365-366\) (1961).

ВПРАВА Л-11. Чи пройде «метрова палиця» крізь боле «один метр діаметром» без зіткнення?

L-13 парадокс ідентично прискорених близнюків

Примітка: Ця вправа використовує діаграми простору-часу, наведені в розділі\(5 .\)

Двоє братських близнюків, Дік і Джейн, володіють однаковими космічними кораблями, кожен з яких містить однакову кількість палива. Корабель Джейн спочатку розташований на відстані праворуч від Діка в рамці Землі. У двадцятий день народження вони вибухають в ту ж мить в рамку Землі і проходять ідентичні прискорення праворуч, виміряні мамою і татом, які залишаються вдома на Землі. Мама і тато далі спостерігають, що у близнюків одночасно закінчується паливо і рухаються після цього з тією ж швидкістю\(v\). Мама і тато також вимірюють відстань між Діком і Джейн, щоб в кінці поїздки було таким же, як і на початку.

Дік і Джейн порівнюють журнали кораблів своїх прискорень і знаходять записи, щоб бути ідентичними. Однак, коли обидва перестали прискорюватися, Дік і Джейн у своїй новій рамці відпочинку виявляють, що Джейн старша за Діка! Як це може бути, так як вони мають ідентичну історію прискорень?

a Проаналізуйте більш просту поїздку, в якій кожен космічний корабель збільшує швидкість не безперервно, а імпульсами, як показано на першій діаграмі просторового часу та таблиці подій. Наскільки далеко один від одного знаходяться Дік і Джейн на початку своєї подорожі, як це спостерігається в рамці Землі? Наскільки вони знаходяться один від одного в кінці своїх прискорень? Яка кінцева швидкість\(v\) (а не середня швидкість) двох космічних кораблів? Скільки кожен астронавт старіє по світовоїлінії, показаної на схемі? (Відповідь - не земний час 12 років.)

b Друга просторово-часова діаграма показує дві світовілінії, записані в рамі ракети, що рухається з кінцевою швидкістю двох астронавтів. Скопіюйте фігуру. На вашому екземплярі поширюються світовілінії Діка і Джейн після того, як кожен перестав прискорюватися. Позначте свою фігуру, щоб показати, що Джейн перестала прискорюватися перед Діком, як це спостерігається в цьому кадрі. Чи буде Дік старіти однаково між подіями 0 і 3 в цьому кадрі, як він постарів у рамці Землі? Чи буде Джейн віком однаково між подіями 4 та 7 у цьому кадрі, як вона постаріла в рамці Землі?

c Тепер використовуйте перетворення Лоренца, щоб знайти простір і часові координати однієї або двох критичних подій в цьому остаточному кадрі відпочинку близнюків, щоб відповісти на наступні питання:

(1) На скільки років раніше, ніж Дік Джейн перестала прискорюватися?

(2) Який вік Діка на заході 3? (не ракетний час\(t^{\prime}\) цієї події!) (3) Який вік Джейн на заході 7?

(4) Який вік Джейн одночасно (у цьому кадрі) як подія 3?

(5) Які вік Діка і Джейн 20 років після події 3, припускаючи, що жоден не рухається знову щодо цього кадру?

(6) Наскільки далеко один від одного в космосі Дік і Джейн, коли обидва перестали прискорюватися?

(7) Порівняйте цей поділ з їх початковим (і остаточним!) розлука, виміряна мамою і татом в рамці Землі

D Розширте свої результати до загального випадку, в якому мама і тато на Землі спостерігають період однакових безперервних прискорень двох близнюків.

(1) На двох подіях старт-прискорення (дві події, при яких близнюки починають свої ракети) близнюки мають той самий вік, що спостерігаються в рамці Землі. Чи є вони такого ж віку на цих подіях, що спостерігаються в кожному рамі ракети?

(2) На двох подіях припинення прискорення (дві події, при яких ракети закінчилися з паливом), близнюки того ж віку, що спостерігаються в рамці Землі? Чи є вони такого ж віку на цих подіях, що спостерігаються в кожному рамі ракети?

(3) Дві події припинення прискорення є одночасними в рамці Землі. Чи є вони одночасними, як спостерігаються в кожному рамі ракети? (Ні!) Чия подія припинення прискорення відбувається першою, як це спостерігається у кінцевому кадрі, в якому обидва близнюки приїжджають відпочити? (Згадайте парадокс поїзда, розділ 3.4.)

(4) «Коли Дік перестає прискорюватися, Джейн старша за Діка». Чи вірно це твердження, на думку космонавтів у їхньому остаточному рамі відпочинку? Чи вірно твердження відповідно до мами і тата в рамці Землі?

(5) Критикувати відсутність ясності (шахрайство?) слова\(w h e n\) в постановці проблеми: «Однак, коли обидва перестали прискорюватися, Дік і Джейн, у своїй новій рамці відпочинку, виявити, що Джейн старша за Діка!»

e Припустимо, що Дік і Джейн обидва прискорюються вліво, так що Дік знаходиться перед Джейн, але їхня історія інакше однакова. Опишіть результат цієї поїздки і порівняйте його з результатом початкової поїздки.

f Припустимо, що Дік і Джейн обидва прискорюються в напрямку, перпендикулярному напрямку їх поділу. Опишіть результат цієї поїздки і порівняйте його з результатом початкової поїздки.

ВПРАВА L-13 ПАРАДОКС ІДЕНТИЧНО ПРИСКОРЕНИХ БЛИЗНЮКІВ

ЗЕМЛЯНИЙ КАРКАС

РАМА РАКЕТИ

ВПРАВА Л-13. Нагорі: Worldlines Діка і Джейн, як спостерігається в земному кадрі мами і тата. Внизу: Worldlines Діка і Джейн, як це спостерігається в «остаточному» рамі ракети, в якому і Дік, і Джейн приїжджають відпочити після вигорання.

Дискусія: Ейнштейн постулював, що фізика в рівномірному гравітаційному полі локально та для малих швидкостей частинок така ж, як фізика в прискореному режимі відліку. У цій вправі ми виявили, що два прискорені годинники, розділені вздовж напрямку прискорення, не залишаються в синхронізмі, як це спостерігається одночасно в їх загальному кадрі. Швидше за все, прямий годинник читає більш пізній час («працює швидше»), ніж годинник заднього ходу, як це спостерігається. Висновок з постулату Ейнштейна: Два годинники один над одним у рівномірному гравітаційному полі не залишаються в синхронізмі; скоріше вищий годинник читає більш пізній час («біжить швидше»), ніж нижній годинник. Загальна відносність також пророкує цей результат, і експеримент перевіряє його. (Читайте про експеримент патрульного літака в розділі 4.10.)

Довідка: С.П. Бун, Американський журнал фізики, Том 57, сторінки\(791-793\) (вересень 1989), Посилання на загальний результат відносності: Вольфганг Ріндлер, Ефірна відносність (Springer, Нью-Йорк, 1977), сторінки 17 і 117.

L-14 як контактують стрижні Лоренца?

Примітка: Обчислення використовується у вирішенні цієї вправи; так само є формула стиснення Лоренца з розділу\(5.8\).

Лабораторні спостерігачі вимірюють довжину рухомого стрижня, що лежить уздовж його напрямку руху в лабораторному каркасі. Потім стрижень трохи прискорюється. Знову лабораторні спостерігачі вимірюють його довжину, яка, як вони вважають, трохи коротше, ніж раніше. Вони називають це укорочення довжини стиснення Лоренца. Як виникло таке укорочення довжини? Як це часто трапляється в відносності, відповідь криється в відносності одночасності.

По-перше, скільки укорочення відбувається при зміні стрижня зі швидкості\(v\) на швидкість\(v+d v\)? \(L_{\mathrm{o}}\)Дозволяти належну довжину стрижня при вимірюванні в стані спокою. На швидкості\(v\) його лабораторно виміряна довжина\(L\) буде коротшою, ніж це коефіцієнтом стиснення Лоренца (Розділ 5.8):\[L=\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2} L_{o}\] a Використовуючи обчислення, показати, що коли стрижень прискорюється від\(v\) до трохи більшої швидкості \(v+d v\), Зміна довжини\(d L\) дається виразом\[d L=-\frac{L_{\mathrm{o}} v d v}{\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}}\] Негативний знак означає, що зміна - це вкорочення стрижня. Ми хочемо пояснити цю зміну довжини.

Як відбувається прискорення стрижня від\(v\) до\(v+d v\)? Вистрілити ракету, прикріплену до задньої частини стрижня? Ні. Чому б і ні? Тому що ракета штовхається тільки проти задньої частини штока; цей поштовх передається по штоку спереду зі швидкістю хвилі стиснення - дуже повільно! Ми хочемо, щоб спереду і ззаду змінювали швидкість «одночасно» (точний сенс цієї фрази буде визначено пізніше). Як це можна зробити? Тільки за попередньою домовленістю! Побачив стрижень на тисячу рівних частин і постукайте кожен шматок у прямому напрямку киянкою «рівно о 12 опівдні», як зчитувати набір синхронізованих годин. Щоб спростити речі на даний момент, відкладіть всі, крім передньої та задньої частин стрижня. Тепер торкніться передньої і задньої частин «одночасно». Зміна довжини стрижня\(d L\) - це зміна відстані між цими двома шматками в результаті постукування. Стільки за те, як розігнати «вудилище».

Тепер центральне питання: що значить постукувати по передній і задній шматках стрижня «одночасно»? Щоб відповісти на це питання, запитайте іншого: Яка наша кінцева мета? Відповідь: Для обліку стиснення Лоренца швидко рухається стрижня належної довжини\(L_{0}\). Більше: Ми хочемо, щоб ретельний інспектор їхав на швидко рухається стрижень, щоб засвідчити, що він має таку ж правильну довжину,\(L_{0}\) як це робив, коли він був у стані спокою в лабораторному кадрі. Для досягнення цієї мети інспектор наполягає на тому, щоб пара розгінних мітчиків застосовувалася до переднього і заднього шматків стрижня одночасно в поточній рамі спокою штока. В іншому випадку відстань між цими шматками не залишилося б однаковим в рамі стрижня; стрижень змінить належну довжину. [Зверніть увагу, що у Вправі L-13 крани відбуваються одночасно в лабораторному (Земному) кадрі. Це призводить до результатів, відмінних від результатів цієї вправи.]

b Ви інспектор їде разом з передньою і задньою шматками стрижня. Розглянемо два події постукування передньої і задньої частин. Наскільки далеко один від одного\(\Delta x^{\prime}\) ці події вздовж\(x\) -осі у вашому (ракетному) кадрі? Наскільки далеко один від одного\(\Delta t^{\prime}\) в часі ці події у вашому кадрі? Передбачте, наскільки далеко один від одного в часі\(\Delta t\) ці події вимірюються в лабораторному кадрі. Використовуйте рівняння перетворення Лоренца (L-10):\[\Delta t=v \gamma \Delta x^{\prime}+\gamma \Delta t^{\prime}\] Відносна швидкість\(v_{\text {rel }}\) у рівнянні\((\mathrm{L}-10)\) справедлива\(v\), поточна швидкість стрижня. У лабораторній рамці кран на задній частині раніше або пізніше, ніж кран на передній частині?

Ваша відповідь на частину b передбачає, наскільки раніше лабораторний спостерігач вимірює кран, щоб відбутися на задній частині, ніж на передній частині стрижня. Нехай кран збільшить швидкість заднього кінця на\(d v\) міру вимірювання в лабораторній рамці. Потім протягом\(\Delta t\) лабораторного часу задній кінець рухається зі швидкістю\(d v\) швидше, ніж передній кінець. Цей відносний рух скоротить відстань між заднім і переднім кінцями. Після\(\Delta t\) проміжку часу передній кінець отримує ідентичний кран, також прискорюється\(d v\), і знову рухається з тією ж швидкістю, що і задній кінець.

c Показати, що скорочення,\(d L\) передбачене цим аналізом, є ідентичним результату частини\(\mathbf{a}\), яку ми хотіли пояснити.\[\begin{aligned} d L &=-d v \Delta t=-\gamma \Delta x^{\prime} v d v=-v \gamma L_{\mathrm{o}} d v \\ &=-\frac{L_{\mathrm{o}} v d v}{\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}} \end{aligned}\] КВЕД.

d Тепер почніть з передніх і задніх частин стрижня в стані спокою в лабораторії кадру і відстані\(L_{\text {o }}\) один від одного. Торкніться їх неодноразово і однаково. Коли вони прискорюються, переконайтеся, що ці крани відбуваються одночасно в рамі ракети, в якій два кінці в даний час знаходяться в стані спокою. (Це вимагає від вас, інспектора їзди, щоб повторно синхронізувати годинник стрижня відпочинку кадрів після кожного набору передніх і задніх кранів.) Складіть логічно суворий аргумент, що після багатьох натискань, коли стрижень рухається з великою швидкістю щодо лабораторії, довжину стрижня, виміряну в лабораторії, можна порахувати за допомогою першого рівняння, наведеного в цій вправі.

• Тепер поетапно складіть стрижень назад разом. Повна тисяча штук стрижня, вишикувалися, але не торкаючись, всі постукали однаково і в той же час в поточному спокої кадру стрижня. Один набір мітчиків збільшує швидкість штока від\(v\) до\(v+d v\) в лабораторній рамі. Опишіть часову послідовність цих тисяч відводів, як зазначено в лабораторному кадрі. Якщо ви вивчили главу 6 або еквівалент, дайте відповідь на наступні питання: Який інтервальний, світлоподібний або spacelike-розділяє будь-яку пару тисяч кранів у цьому наборі? Чи можна цю пару кранів підключити світловим спалахом? хвилею стиснення, що рухається уздовж стрижня, коли шматки склеєні назад? Що стосується «логіки прискорення», чи є причина, чому ми не повинні склеювати ці шматки назад? Готово!

f Під час процесу розгону регульований стрижень жорсткий - незмінний в розмірах - як спостерігається в штоковій рамі? Як спостерігається в лабораторії кадр? Чи властивість жорсткості об'єкта є інваріантною, однаковою для всіх спостерігачів при рівномірному відносному русі? Покажіть, як ідеальний жорсткий стрижень може бути використаний для миттєвої передачі сигналів з одного місця в інше. Що ви робите висновок про ідею «жорсткого тіла» при застосуванні до швидкісних явищ?

Довідка: Едвін Тейлор і А. П. французький, Американський журнал фізики, Том 51, сторінки\(889-893\), особливо Додаток (1983).

L-15 місце, де обидва домовляються

У будь-який момент є лише один літак, в якому погоджуються і лабораторія, і ракетний годинник.

a За аргументом симетрії показати, що ця площина лежить перпендикулярно напрямку відносного руху. Використовуючи рівняння перетворення Лоренца, показати, що швидкість цієї площини в лабораторному кадрі дорівнює\[v_{t=t^{\prime}}=\frac{1}{v_{\mathrm{rel}}}\left[1-\left(1-v_{\mathrm{rel}}^{2}\right)^{1 / 2}\right]\] b Чи\(v_{t=t^{\prime}}\) здається вираз для дивним? З нашого повсякденного досвіду можна очікувати, що симетрією «літак рівного часу» рухатиметься в лабораторії на половині швидкості ракети. Переконайтеся, що це дійсно правильно для низьких відносних швидкостей нашого повсякденного досвіду. Використовуйте перші два члени біноміального розширення,\[(1+z)^{n} \approx 1+n z \text { for }|z|<<1\] щоб показати, що для низької відносної швидкості,\(v_{t=t^{\prime}} \rightarrow v_{\text {rel }} / 2\).

c Що таке\(v_{t=t^{\prime}}\) крайній релятивістський випадок, в якому\(v_{\text {rel }} \rightarrow 1\)? Покажіть, що в даному випадку\(v_{t=t^{\prime}}\) зовсім не схоже на\(v_{\text {rel }} / 2\).

d Припустимо, ми хочемо перейти від лабораторного кадру до рами ракети в двох рівних стрибках швидкості. Спробуйте перший стрибок на площину рівного лабораторного і ракетного часу. Тепер симетрія працює: розглядається з цієї площини лабораторні та ракетні кадри розсуваються з однаковими і протилежними швидкостями, величина яких задається рівнянням в частині а. другий і рівний стрибок швидкості повинен потім нести нас до ракети-рами\(v_{\text {rel }}\) зі швидкістю по відношенню до лабораторія. Перевірте це безпосередньо, використовуючи Закон додавання швидкостей (Розділ L.7), щоб показати, що\[v_{\text {rel }}=\frac{v_{t=t^{\prime}}+v_{t=t^{\prime}}}{1+v_{t=t^{\prime}} v_{t=t^{\prime}}}\]

L-16 Експеримент з Фізео

Світло рухається повільніше через прозоре матеріальне середовище, ніж через вакуум. \(v_{\text {medium }}\)Дозволяти представляти зменшену швидкість світла, виміряну в кадрі середовища. Ідеалізуйте до випадку, коли ця знижена швидкість не залежить від довжини хвилі світла. Помістіть середовище в спокої в ракеті\(v_{\text {rel }}\), що рухається зі швидкістю, праворуч щодо лабораторного кадру, і нехай світло рухається через середовище, також праворуч. Використовуйте Закон додавання швидкостей (розділ L. 7), щоб знайти вираз для швидкості\(v\) світла в лабораторному кадрі. Використовуйте перші два члени біноміального розширення,\[(1+z)^{n} \approx 1+n z \text { for }|z|<<1\] щоб показати, що при малій відносній швидкості\(v_{\text {rel }}\) між ракетою і лабораторними рамами швидкість\(v\) світла по відношенню до лабораторного кадру задається приблизно виразом \[v \approx v_{\text {medium }}+v_{\text {rel }}\left(1-v_{\text {medium }}{ }^{2}\right)\]Цей вираз було перевірено Фізо, використовуючи воду, що протікає в протилежних напрямках у двох плечах інтерферометра, подібного (але не ідентичного) інтерферометру, використовуваному пізніше Майкельсоном та Морлі (Вправа 3-12).

Довідка: Г. Фізо, Конт Рендус, том 33, стор. 349-355 (1851). Захоплююча дискусія (французькою мовою) деяких центральних тем теорії відносності - поставлена більш ніж за п'ятдесят років до першої статті про відносність Ейнштейна.