7.5: Енергія- «Часова частина» Моменергія

енергія має дві частини: енергія спокою (= маса) плюс лінійна енергія

Як щодо «часової частини» імпульсу-енергії частинки - частини, яку ми назвали її енергією? Це, безумовно, дивний на вигляд звір! Як вимірюється в певному вільному кадрі, скажімо в лабораторії, ця часова складова, як зазначено в рівнянні (7-5), є

\[E=m \frac{d t}{d \tau}=\frac{m}{\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}}=m \gamma\]

Релятивістський вираз для енергії

Порівняйте це з ньютонівським виразом для кінетичної енергії, використовуючи\(K\) як символ кінетичної енергії:

\[K_{\text {Newton }}=\frac{1}{2} m v^{2} \quad \text { [valid for low speed] } \quad \text { (7-12) }\]

Як релятивістський вираз для енергії, рівняння (7-11), порівнюється з ньютонівським виразом для кінетичної енергії (7-12)? Щоб відповісти на це питання, спочатку подивіться на поведінку цих двох виразів, коли швидкість частинок дорівнює нулю. Кінетична енергія Ньютона йде до нуля. На відміну від цього, при нульовій швидкості\(1 /\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}=1\) і релятивістське значення енергії стає рівним масі частинки,

\[E_{\text {rest }}=m\]

Енергія спокою частинки дорівнює її масі

де\(E_{\text {rest }}\) називається енергія спокою частинки. Енергія спокою частинки - це просто її маса. Таким чином, релятивістський вираз для енергії не йде до нуля з нульовою швидкістю, тоді як ньютонівський вираз для кінетичної енергії дійсно йде до нуля.

Це непримиренна різниця? Формула Ньютона не містить виразу для енергії спокою, рівного масі частинки. Але ось відмінність: релятивістський вираз дає значення для повної енергії частки, тоді як ньютонівський вираз описує лише кінетичну енергію (дійсна для низької швидкості). Однак в ньютонівській механіці будь-яка постійна потенційна енергія може бути додана до енергії частинки, не змінюючи законів, що описують її рух. Можна думати про обмеження нульової швидкості релятивістського вираження для енергії як забезпечення цієї раніше невизначеної константи.

Коли ми посилаємося на енергію частинки, ми зазвичай маємо на увазі загальну енергію частинки. Як вимірюється в кадрі, в якому частка знаходиться в стані спокою, ця загальна енергія дорівнює енергії спокою, масі частинки. Як вимірюється з кадрів, в яких рухається частка, загальна енергія включає не тільки енергію спокою, але і кінетичну енергію.

Це призводить нас до визначення кінетичної енергії частинки як енергії вище і поза її енергією спокою:

\[(\text { energy })=(\text { rest energy })+(\text { kinetic energy })\]

Визначена кінетична енергія

або

\[E=m+K\]

РУХ В\(X-D I R E C T I O N\)

Об'єкт масою 3 кілограми рухається на 8 метрів уздовж\(x\) -напрямку за 10 метрів часу, як вимірюється в лабораторії. Яка його енергія і імпульс? Його енергія спокою? Його кінетична енергія? Яке значення кінетичної енергії передбачив би Ньютон для цього об'єкта? Використовуючи релятивістські вирази, переконайтеся, що швидкість цього об'єкта дорівнює його імпульсу, поділеному на його енергію.

РІШЕННЯ

З постановки проблеми:

\ [\ почати {вирівняний} м &=3\ текст {кілограми}\\ t &= 10\ текст {метри}\\ x &= 8\ текст {метри}\\ y &= 0\ текст {метри}\\ z &= 0\ текст {метри} \ кінець {вирівняний}\]

З цього отримуємо значення швидкості:

\[v=\frac{x}{t}=\frac{8 \text { meters of distance }}{10 \text { meters of time }}=0.8\]

Використовуйте\(v\) для обчислення коефіцієнта\(1 /\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}\) в рівнянні (7-8):

\[\frac{1}{\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}}=\frac{1}{\left(1-(0.8)^{2}\right)^{1 / 2}}=\frac{1}{(1-0.64)^{1 / 2}}=\frac{1}{(0.36)^{1 / 2}}=\frac{1}{0.6}=\frac{5}{3}\]

З рівняння (7-11) енергія дорівнює

\[E=m /\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}=(3 \text { kilograms })(5 / 3)=5 \text { kilograms }\]

З рівняння (7-8) імпульс має величину

\[p=m v /\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}=(5 / 3) \times(3 \text { kilograms }) \times 0.8=4 \text { kilograms }\]

Енергія спокою частинки якраз дорівнює її масі:

\[E_{\text {rest }}=m=3 \text { kilograms }\]

З рівняння (7-15) кінетична енергія\(K\) дорівнює повній енергії мінус енергія спокою:

\[K=E-m=5 \text { kilograms }-3 \text { kilograms }=2 \text { kilograms }\]

Ньютонівське прогнозування кінетичної енергії є

\[K_{\text {Newton }}=\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} \times 3 \times(0.8)^{2}=0.96 \text { kilogram }\]

що набагато менше, ніж правильний релятивістський результат. Навіть при швидкості світла ньютонівське передбачення становило б\(K_{\text {Newton }}=1.5\) кілограм, тоді як релятивістське значення збільшувалося б без обмежень.

ЗРАЗОК ЗАВДАННЯ 7-2

Рівняння (7-16) говорить, що швидкість дорівнює відношенню (величина імпульсу)\(/(\) енергії):

\[v=\frac{p}{E}=\frac{4 \text { kilograms }}{5 \text { kilograms }}=0.8\]

Це та ж величина, що відраховується безпосередньо з заданих величин.

З цього виходить релятивістський вираз для кінетичної енергії\(K\):

\[K=E-E_{\text {rest }}=E-m=\frac{m}{\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}}-m=m\left[\frac{1}{\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}}-1\right] \quad(7-15)\]

У графі 7-2 деталізовано зв'язок між цим виразом та ньютонівським виразом (7-12). Зверніть увагу, що якщо розділити відповідні сторони рівняння імпульсу (7-8) на відповідні сторони енергетичного рівняння (7-11), то результат дасть швидкість частинок:

\[v=\frac{p}{E}\]

Ми могли б передбачити це безпосередньо з першої цифри в цьому розділі, Рисунок 7-1. Швидкість\(v\) - це нахил (нахил) світовоїлінії від вертикалі: (Зсув простору)/(час для цього зміщення). Моменергія вказує вздовж світової лінії, з просторовою складовою\(p\) та часовою складовою\(E\). Тому моменергічний нахил\(p / E\) дорівнює світовій лінії нахилу\(v\).

Ще більше одиниць: Для того, щоб перетворити енергію в одиницях маси в енергію в умовних одиницях, таких як джоулі, помножте вирази вище на квадрат швидкості світла\(c^{2}\), і використовуйте індекс «conv»:

\ [\ почати {зібраний} E_ {\ текст {conv}} =E c^ {2} =\ frac {m c^ {2}} {\ лівий [1-\ лівий (v_ {\ text {conv}}}/c\ праворуч) ^ {1/2}}\ квадратний\ текст {[добре на будь-якій швидкості]}\ квадратний\ текст {7-17)}\\ K_ {\ текст {conv}} =\ лівий (E-E_ {\ текст {відпочинок}}\ праворуч) c^ {2} =м c^ {2}\ лівий [\ frac {E_ {\ текст {conv відпочинок}} =м c^ {2}} {\ ліворуч [1-\ ліворуч (v_ {\ text {conv}}/c\ праворуч) ^ {2}\ праворуч] ^ {1/2}} -1\ праворуч]\ quad\ text {[добре на будь-якій швидкості] (7-19)}\ квад\ текст {перетворення на звичайний}\ K_ {\ текст {conv Ньютон}} =\ frac {1} {2} м ^ {2} c^ {2} =\ розрив {1} {2} м\ ліворуч (\ розрив {v_ {\ текст {conv}}} {c}\ праворуч) ^ {2} c^ {2} =\ frac {1} {2} м v_ {\ текст {conv}}} ^ {2} \ quad\ text {[лише низька швидкість]}\ text {(7-20)} \ end {зібрано}\]

Таким чином перетворення з енергії в одиницях маси в енергію в умовних одиницях завжди здійснюється шляхом множення на коефіцієнт перетворення\(c^{2}\). Це вірно, чи є вираз для енергії, що перетворюється, ньютонівським або релятивістським. Таблиця\(7-1\) в кінці глави підсумовує ці порівняння.

Рівняння (7-18) - найвідоміше рівняння у всій фізиці. Історично цей фактор\(c^{2}\) захопив уяву громадськості, оскільки він став свідком величезного запасу енергії, доступної при перетворенні навіть крихітних кількостей маси в тепло і випромінювання. \(m c^{2}\)Одиниці - джоулі; одиниці\(m\) - кілограми. Однак зараз ми визнаємо, що джоулі і кілограми - це одиниці різні лише через історичну аварію. The

ЕНЕРГЕТИЧНІ КОМПОНЕНТИ

Для кожного з наступних випадків запишіть вектор в заданому кадрі у вигляді\(\left[E, t_{x} t_{j} t_{z}\right] .\) чотирьох складових імпульсу-енергії 4- Кожна частинка має масу\(m\).

а Частка рухається в позитивному\(x\) напрямку в лабораторії з кінетичною енергією, рівною втричі її енергії спокою.

б. така ж частинка спостерігається в ракеті, в якій її кінетична енергія дорівнює її масі.

c Інша частинка рухається в\(y\) -напрямку в лабораторному кадрі з імпульсом, рівним удвічі його масі.

d Ще одна частинка рухається в негативному\(x\) -напрямку в лабораторії з сумарною енергією, рівною в чотири рази її масі.

е. ще одна частинка рухається з рівними\(x, y\), а\(z\) імпульс складових в лабораторії і кінетичної енергії дорівнює чотири рази її енергії спокою.

РІШЕННЯ

а Загальна енергія частинки дорівнює енергії спокою\(m\) плюс кінетична енергія\(3 m\). Тому його загальна енергія\(E\) дорівнює\(E=m+3 m=4 m\). Частинка рухається уздовж\(x\) -напрямку, так\(p_{y}=p_{z}=0\) і\(p_{x}=p\), сумарний імпульс. Підставляємо значення\(E\) в рівняння\(m^{2}=E^{2}-p^{2}\), щоб отримати

\[p^{2}=E^{2}-m^{2}=(4 m)^{2}-m^{2}=16 m^{2}-m^{2}=15 m^{2}\]

Звідси\(p_{x}=(15)^{1 / 2} \mathrm{~m}\).

Підсумовуючи, складовими моменергічного 4-вектора є

\[\left[E, p_{x}, p_{y}, p_{z}\right]=\left[4 m,(15)^{1 / 2} m, 0,0\right]\]

Звичайно, величина цього моменергія 4-вектора дорівнює масі частинки\(m\) - вірно незалежно від її швидкості, її енергії або імпульсу.

б У цій рамі ракети сумарна енергія - енергія спокою плюс кінетична енергія має значення\(E=2 m .\) Як і раніше,\(p^{2}=E^{2}-m^{2}=(2 m)^{2}-m^{2}=4 m^{2}-m^{2}=3 m^{2}\). Звідси\(p_{x}=3^{1 / 2} m\) і складовими 4-вектора є\(\left[E, p_{x}, p_{y}, p_{z}\right]=\left[2 m, 3^{1 / 2} m,\right.\),\(0,0]\).

в даному випадку\(p_{x}=p_{z}=0\) і\(p_{y}=p=2 m\). Більш того,\(E^{2}=m^{2}+p^{2}=m^{2}+(2 m)^{2}\)\(=5 m^{2} .\) Отже, нарешті,\(\left[E, p_{x}, p_{y}, p_{z}\right]=\left[5^{1 / 2} m, 0,2 m, 0\right]\).

d Нам дано безпосередньо\(E=4 m\), що, так само, як і в частині a, за винятком тут частинка рухається в негативному\(x\) напрямку, тому має негативний\(x\) -імпульс. Звідси:

\[\left[E, p_{x}, p_{y}, p_{z}\right]=\left[4 m,-(15)^{1 / 2} m, 0,0\right]\]

е Загальна енергія дорівнює\(E=5 m\). Всі компоненти імпульсу мають однакове значення, скажімо

\[p_{x}=p_{y}=p_{z}=P\]

У цьому випадку ми використовуємо повне рівняння, яке пов'язує енергію, імпульс і масу:

\ [\ почати {зібраний} \ лівий (p_ {x}\ праворуч) ^ {2} +\ ліворуч (p_ {y}\ праворуч) ^ {2} +\ ліворуч (p_ {z}\ праворуч) ^ {2} =3 Р^ {2} =E^ {2} -m^ {2} =( 5 м) ^ {2} -m^ {2} =( 5 м) ^ {2}} \\ текст {або} P^ {2} =8 m^ {2}\ текст {і, отже,}\ лівий [E, p_ {x}, p_ {y}, p_ {z}\ праворуч] =\ лівий [5 м, 8^ {1/2} м, 8^ {1/2} м, 8^ {1/2} м\ праворуч]. \ кінець {зібраний}\]

5

ЕНЕРГІЯ В ГРАНИЦІ НИЗЬКИХ ШВИДКОСТЕЙ

Енергія з релятивістськими швидкостями та енергія на повсякденних швидкостях: Як пов'язані вирази для цих двох випадків?

Енергія з точки зору імпульсу: У межі швидкостей, низьких порівняно зі швидкістю світла, релятивістично точний вираз енергії\(E=\left(m^{2}\right.\)\(\left.+p^{2}\right)^{1 / 2}\) зводиться до\(E=m+p^{2} /(2 m)+\) корекцій. Щоб зрозуміти, чому і як, і оцінити поправки, зручно працювати в безрозмірних співвідношеннях. Таким чином, ми орієнтуємося на точний вираз у вигляді\(E / m=\left[1+(p / m)^{2}\right]^{1 / 2}\), а то і простіше\(y=[1+x]^{1 / 2}\), і на наближення до цього результату, у вигляді

\[E / m=1+(1 / 2)(p / m)^{2}+\text { corrections, or } y=1+(1 / 2) x+\text { corrections }\]

Приклад:\(x=0.21 .\) Тоді наша формула наближення дає\(y=(1.21)^{1 / 2}=1\)\(+0.105+\) корекцію. Точний результат -\(y=1.100\) це квадратний корінь\(1.21\). Іншими словами, корекція негативна і вкрай мала: корекція\(=-0.005 .\)

Енергія з точки зору швидкості: У межі швидкостей, низьких порівняно зі швидкістю світла, релятивістично точне вираження енергії\(E=m /(1-\)\(\left.v^{2}\right)^{1 / 2}\), зводиться до\(E=m+(1 / 2) m v^{2}+\) поправок. Зручно знову працювати в безрозмірних співвідношеннях. Таким чином, ми орієнтуємося на точний вираз у вигляді\(E / m=\left[1-v^{2}\right]^{-1 / 2}\), а то і простіше\(y=[1-x]^{-1 / 2}\), і на наближення до цього результату, у вигляді

\[E / m=1+(1 / 2) v^{2}+\text { corrections, or } y=1+(1 / 2) x+\text { corrections }\]

Приклад:\(x=0.19 .\) Тоді наша формула наближення дає\(y=1+(1 / 2)\)

\(0.19+\)корекція\(=1.095+\) і корекція. Точний результат\(y=[1-\)\(0.19]^{-1 / 2}=(0.81)^{-1 / 2}=(0.9)^{-1}=1.1111 . . .\) Іншими словами, корекція позитивна і мала: корекція\(=+0.01611\).

Інший приклад: реактивний літак. Візьміть його швидкість, щоб бути точно\(v=10^{-6}\). Ця швидкість, згідно з нашим наближенням, приносить з собою дробове збільшення енергії, кінетичну енергію на одиницю маси, рівну\((1 / 2) v^{2}=5 X\)\(10^{-13}\) або\(0.0000000000005 .\) На відміну від цього, точний вираз\(E / \mathrm{m}=\)\(\left[1-v^{2}\right]^{-1 / 2}\) дає \(E / m=1.000000000000500000000009375\)\(000000000 \ldots .\)Результат 5 трохи менше ніж на півдорозі довжина цього рядка цифр не дрібниця, так як кожен буде свідчити, хто бачив наслідки падіння реактивного літака в хмарочос. Однак 9375 далі по лінії приблизно мільйон разів менше і абсолютно незначні за своїми практичними наслідками.

Коротше кажучи, низька швидкість породжує кінетичну енергію, яка, відносно маси, дається хороше наближення шляхом\((1 / 2) v^{2}\) або шляхом\((1 / 2)(p / m)^{2}\). Більш того, те саме те чи інше безодиничне число la «дріб» (тому що воно невелике в порівнянні з одиницею) автоматично виявляє нам порядок дробової корекції, яку ми повинні були б зробити в самій фракції, якби ми наполягали на абсолютно точній фігурі для кінетичної енергії.

ЦИФРА 7-5. Кінетична енергія як функція швидкості, як передбачено відносністю [рівняння (7-19), дійсне для всіх швидкостей] та ньютонівською механікою [рівняння (7-20), дійсне лише для низьких швидкостей].

коефіцієнт перетворення\(c^{2}\), як коефіцієнт перетворення від секунд до метрів або миль до футів, сьогодні можна вважати деталлю конвенції, а не як глибокий новий принцип.

Центральним у розумінні рівняння\(E_{\text {rest }}=m\) або його еквівалента\(E_{\text {conv rest }}=m c^{2}\) є індекс «відпочинок». Енергія не така, як маса! Енергія - це лише часова частина

Енергія: Часова частина моменергії 4-векторна маса: величина цього 4-вектора моенергія 4 -вектора. Маса - це величина цього 4 -вектора. Енергія об'єкта, виражена в умовних одиницях, має значення\(m c^{2}\) лише тоді, коли цей об'єкт спостерігається з кадру, в якому він знаходиться в стані спокою. Спостерігається з усіх інших фреймів з вільним плаванням, енергія об'єкта більше, ніж його енергія спокою, як показано рівнянням\((7-17)\).

На малюнку 7-5 порівнюються релятивістські та ньютонівські прогнози щодо кінетичної енергії на одиницю маси як функції швидкості. При малих швидкостях значення не відрізняються (ліва частина графіка). Однак, коли частинка рухається з високою швидкістю, так що коефіцієнт\(1 /\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}\) має значення набагато більше одиниці, релятивістські та ньютонівські вирази зовсім не дають однакового значення для кінетичної енергії (права сторона графіка). Потім треба вибрати, який вираз використовувати при аналізі зіткнень та інших швидкісних явищ. Ми вибираємо релятивістський вираз, оскільки воно призводить до однакового значення загальної енергії ізольованої системи до і після будь-якої взаємодії між частинками в системі - це призводить до збереження загальної енергії системи.

Всі ці розмови про примирення на низьких швидкостях затьмарюють надзвичайно потужну особливість релятивістського вираження для повної енергії ізольованої системи частинок. Повна відносність: Усі форми енергії автоматично збереженої енергії зберігаються у всіх взаємодіях між частинками в системі: пружні та непружні зіткнення, а також творіння, перетворення, розпади та знищення частинок. На відміну від цього, сумарна кінетична енергія системи, розрахована за формулою Ньютона для низькошвидкісних взаємодій, зберігається лише для пружних зіткнень. Пружні зіткнення визначаються як зіткнення, при яких кінетична енергія зберігається. При зіткненнях, які не є пружними, кінетична енергія перетворюється на теплову енергію, хімічну енергію, потенційну енергію або інші форми енергії. Для ньютонівської механіки низькошвидкісних частинок кожна з цих форм енергії повинна розглядатися окремо: збереження енергії повинно бути викликано як окремий принцип, як щось поза ньютонівським аналізом механічної енергії.

У відносності всі ці енергії включаються автоматично в єдину часову складову загальної моменергії системи - сумарну енергію - яка завжди зберігається для ізольованої системи. У розділі 8 більш повно розглядається моменергія системи частинок і вплив взаємодій між частинками на енергію і масу системи.