7.4: Імпульс- «Космічна частина» Моменергія

просто використовуйте належний час замість так званого «універсального» часу Ньютона

Ньютон називав імпульс «кількістю руху». Вирази для імпульсу, який дає нам фізика простору-часу, останні три рівняння в\((7-2)\), здається, на перший погляд відрізняють себе тривіальною відмінністю від виразів для імпульсу, даного нам давно послідовниками Ньютона:

\(p_{x \text { Newton }}=m \frac{d x}{d t}, \quad p_{y \text { Newton }}=m \frac{d y}{d t}, \quad p_{z \text { Newton }}=m \frac{d z}{d t} \quad\)[дійсний для низької швидкості]

Ця різниця? Сьогодні належний час\(d \tau\) між сусідніми подіями на світовійлінії частинки. Лабораторний час, в старі дні, коли поняття належного часу і інтервалу

Ньютонівські проти релятивістських виразів для імпульсу були невідомі. Відсотна різниця між ними, тривіальна або навіть незначна в повсякденних обставин, стає величезною, коли швидкість об'єкта наближається до швидкості світла.

Ми найбільш просто досліджуємо різницю між релятивістськими та ньютонівськими прогнозами імпульсу, аналізуючи частинку, яка рухається зі швидкістю лише\(v\) у\(x\) напрямку. Тоді співвідношення між зміщенням цієї частинки і її швидкістю становить\(x=v t\). Для малих переміщень, наприклад між двома сусідніми іскровими подіями на світовій лінії, це стає, в математичній межі інтересу для числення позначення,\(d x\)\(=v d t\).

Належний час між двома сусідніми іскрами завжди менше, ніж лабораторний час:

\ [\ почати {вирівняний} d\ тау &=\ лівий [(d\ тау) ^ {2}\ праворуч] ^ {1/2} =\ лівий [(d t) ^ {2} - (d x) ^ {2}\ праворуч] ^ {1/2} =\ лівий [(d t) ^ {2} - (v d t) ^ {2} - (v d t) ^ {2}\\ & =( d t)\ ліворуч (1-v^ {2}\ праворуч) ^ {1/2} =\ frac {d t} {\ гамма} \ кінець {вирівняний}\]

де gamma,\(\gamma=1 /\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}\) - коефіцієнт розтягування часу (Розділ 5.8). Цю цифру для інтервалу або належного часу між двома сусідніми іскрами ми тепер підставляємо\((7-2)\) в рівняння, щоб дізнатися, як релятивістські вирази енергії та імпульсу залежать від швидкості частинок:

\ [\ почати {вирівняний} &е = м\ розрив {d t} {d\ тау} =\ розрив {м} {\ лівий (1-v^ {2}\ праворуч) ^ {1/2}} =м\ гамма\\ &p_ {x} =м\ розрив {d x} {d\ tau} =\ frac {m (d x/d t)} {\ лівий (1-v^ {2}\ праворуч) ^ {1/2}} =\ розрив {m v_ {x}} {\ лівий (1-v^ {2}\ праворуч) ^ {1/2}} =m v_ {x}\ гамма \ кінець {вирівняний}\]

Вираз імпульсу таке ж, як і для ньютонівської механіки - маса\(m\)

Низька швидкість: Ньютон і Ейнштейн погоджуються про значення імпульсу

Висока швидкість: Відносність виявляє набагато більший імпульс разів швидкості\((d x / d t)\) - за винятком коефіцієнта\(\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}\) в знаменнику. Цей фактор ми можемо назвати 1, коли швидкість невелика. Наприклад, комерційний авіалайнер рухається по повітрю приблизно з однією мільйонною швидкістю світла. Тоді коефіцієнт (1) -\(\left.v^{2}\right)^{1 / 2}\) відрізняється від одиниці всього на п'ять частин в\(10^{12}\). Навіть для альфа-частинки (ядра гелію), викинутої з радіоактивного ядра з приблизно 5 відсотками швидкості світла, корекція до ньютонівської цифри для імпульсу становить лише трохи більше однієї частини на тисячу. Таким чином, для низьких швидкостей імпульс, виражений у рівнянні,\((7-5)\) зменшується до ньютонівської версії.

Однак зі швидкістю, близькою до швидкості світла, частинка набуває величезного імпульсу порівняно з ньютонівським прогнозом. Надзвичайно енергійні космічні протони, згадані в кінці Розділу,\(5.8\) перетнули Чумацький Шлях за 30 секунд власного часу, але за тисячу століть або\(3 \times 10^{12}\) секунд земного часу. Таким чином, співвідношення\(d t / d \tau\) між земним часом і належним часом\(10^{11}\). Це також співвідношення між правильним релятивістським значенням імпульсу протонів та ньютонівським прогнозом.

Одиниці: Як ньютонівські, так і релятивістські вирази для імпульсу містять швидкість, відношення відстані до часу. З самого початку ми вимірювали відстань і час в одній одиниці, наприклад метрі. Тому співвідношення відстані до часу є одиничним. У розділі 2.8 ми виражали швидкість як безрозмірну величину, частку швидкості світла:

\[=\frac{\text { (particle speed in meters/second) }}{\text { (speed of light in meters/second) }}=\frac{v_{\text {conv }}}{c}\]

З точки зору швидкості\(v\) (званої\(\beta\) бета-версією, деякими авторами) ньютонівські та релятивістські вирази для величини імпульсу мають форми

\ [\ begin {вирівняний} p_ {\ текст {Ньютон}} &= m v &\ text {[діє для низької швидкості]}\\ p &= m v/\ left (1-v^ {2}\ праворуч) ^ {1/2} &\ text {[добре на будь-якій швидкості]} \ кінець {вирівняний}\]