6.E: Регіони простору-часу (вправи)

ПРАКТИКА

6.1 Відносини між подіями

Це продовження зразка завдання 6-1. Події 1,2 та 3 мають лабораторні координати\(y=\)\(z=0\). Їх\(x\) - і\(t\) -координати нанесені на лабораторну просторово-часову діаграму.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Лабораторна просторово-часова карта.

1. Дайте відповідь на наступні питання тричі: один раз за часподібну пару подій 1 і 2, один раз для космічної пари подій 1 і 3, і один раз для світлоподібної пари подій 2 і 3.
   (1) Який належний час (або належна відстань) між двома подіями?
   (2) Чи можливо, що одна з подій спричинила іншу подію?
   (3) Чи можна знайти раму ракети, в якій просторовий порядок двох подій зворотний? Тобто, чи можна знайти раму ракети, в якій подія, що відбувається праворуч від іншої події в лабораторному кадрі, буде відбуватися зліва від іншої події в рамі ракети?
   (4) Чи можна знайти раму ракети, в якій часовий порядок двох подій зворотний? Тобто, чи можна знайти раму ракети, в якій подія, що відбувається перед іншою подією в лабораторному кадрі, відбувається після іншої події в рамі ракети?
2. Для тимчасової пари подій знайдіть швидкість і напрямок ракети-рами, щодо якого дві події відбулися в одному і тому ж місці. Для космічної пари подій знайдіть швидкість і напрямок ракети-рами, щодо якого дві події відбувалися одночасно.

6-2 раз, як, світло, як, або простір, як?

У першій таблиці наведено проміжні та часові координати трьох подій плюс еталонна подія (подія 0), яка спостерігається у лабораторному кадрі.

Лабораторні координати трьох подій

	t (років)	х (років)	y (років)
Подія 0	0	0	0
Подія 1	3	4	0
Подія 2	6	5	0
Подія 3	8	8	3

1. Скопіюйте другу таблицю. У верхній половині кожного поля другої таблиці напишіть характер інтервалу - часовий, світлоподібний або пробіл між двома відповідними подіями.
2. У нижній половині кожного ящика в другій таблиці напишіть «так», якщо можливо, що одна з подій викликала інше і «ні», якщо це неможливо. c Знайти швидкість (щодо лабораторного кадру) рами ракети, в якій подія 1 і подія 2 в першій таблиці відбуваються в одному місці.
3. Знайти швидкість (щодо лабораторної рами) рами ракети, що рухається уздовж\(x\) -осі, в якій подія 2 і подія 3 в першій таблиці відбуваються одночасно.
4. Знайти швидкість (щодо лабораторної рами) рами ракети, що рухається по осі х, в якій подія 2 і подія 3 в першій таблиці відбуваються одночасно.

Інтервал між подіями: Timelike, Lightlike, або Spacelike?

 

6-3 належного часу та належної відстані

Примітка: Ця вправа використовує рівняння перетворення Лоренца.

1. Дві події\(P\) і\(Q\) мають космічне поділ. Покажіть взагалі, що можна знайти раму ракети, в якій дві події відбуваються одночасно. Також показати, що в цій рамі ракети відстань між двома подіями дорівнює належній відстані між ними. (Один із методів: припустимо, що така рама ракети існує, а потім використовуйте рівняння перетворення Лоренца, щоб показати, що відносна швидкість цього раму ракети менше швидкості світла, тим самим виправдовуючи зроблене припущення.)
2. Дві події\(R\) мають\(P\) і час, як розлуку. Покажіть взагалі, що можна знайти раму ракети, в якій дві події відбуваються в одному і тому ж місці. Також показати, що в цьому кадрі ракети час між двома подіями дорівнює належному часу між ними.

ПРОБЛЕМИ

6-4 автобіографія фотона

Фотон, випромінюваний зіркою з одного боку нашої галактики, поглинається біля зірки на іншій стороні нашої галактики, на відстані 100 000 світлових років від точки її походження, як вимірюється в кадрі галактики. Як фотон переживає власне народження і смерть? Тобто, які проміжні та часові поділи між народженням і смертю фотона в кадрі фотона?

Дискусія: Ми не можемо відповісти на це питання, тому що ми не можемо рухатися разом з фотоном. Незалежно від того, наскільки швидко не працює ракета, в якій ми їдемо, ми все одно вимірюємо світло, щоб рухатися повз нас зі швидкістю світла! Тим не менш, ми можемо спробувати відповісти на питання як обмежувальний випадок у кадрі галактики. Подумайте про надзвичайно енергійні протони, які подорожують тим самим шляхом. Оскільки протони більшої та більшої енергії випромінюються першою зіркою і поглинаються біля другої зірки на іншій стороні галактики, що відбувається з відстанню між цими двома подіями в кадрі протона? Що відбувається з часом між цими подіями в кадрі протона? Приходьте таким чином до обмежувального випадку, коли ПРОТОН рухається довільно близько до швидкості світла в кадрі галактики. У цій межі, що б ви очікували, що відстань і час будуть між народженням і смертю в кадрі ФОТОНА, що подорожує тим самим шляхом у космосі?

1. Ти фотон. Використовуючи вищевказаний аргумент, напишіть перші кілька пропозицій вашої автобіографії.
   Наприкінці подорожі, біля зірки на околиці нашої галактики, фотон, що охоплює галактику, проїжджає 10 кілометрів вертикально через атмосферу планети, перш ніж потрапляє в телескоп і поглинається оком астронома.
   Середній показник заломлення атмосфери цієї планети дорівнює\(n=1.00030\). Швидкість фотона в такій атмосфері є\(v=v_{\text {conv }} / c=\)\(1 / n\). (Швидкість світла у вакуумі - одиниця.)
2. Який належний час для цієї останньої відрізки поїздки - час в кадрі відпочинку «уповільненого» фотона? Наскільки далеко один від одного знаходиться вершина атмосфери і око астронома в кадрі фотона?
3. Доповніть свою фотонну автобіографію додатковою парою речень.

Дискусія: Відносність - це класична теорія - тобто неквантова теорія - в якій фотони постулюються рухатися зі швидкістю світла у вакуумі і зі швидкістю\(v=1 / n\) в повітрі, де\(n\) - показник заломлення. Квантова електродинаміка (QED), квантова теорія взаємодій між світлом і речовиною, говорить про те, що говорити про один фотон, що рухається по повітрю, некоректно. Швидше за все, хтось думає про початковий фотон, який поглинається атомом у повітрі, а другий фотон випромінюється, другий фотон потім поглинається іншим атомом, який випромінює третій фотон тощо. Класичний релятивістський аналіз не є правильним, якщо дивитися з квантової точки зору. Детальніше про квантову електродинаміку читайте Річард Фейнман, QED: Дивна теорія світла і матерії (Princeton, Princeton University Press, 1985)

6-5 парадокс детонатора

П-подібна конструкція з найміцнішої сталі містить детонаторний вимикач, з'єднаний дротом з однією метричною тонною (1000 кілограм) вибухового тротилу, як показано на малюнку. Т-подібна конструкція з тієї ж міцної сталі поміщається всередині U, при цьому довгий плече Т не досить довгий, щоб дістатися до вимикача детонатора, коли обидві конструкції знаходяться в стані спокою в лабораторії.

Тепер Т-структура віддалена далеко вліво і розганяється до високої швидкості. Це Лоренц - скорочений уздовж його напрямку руху. Як результат, його довга рука недостатньо довга, щоб дістатися до перемикача детонатора при зіткненні двох. Тому вибуху не буде.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Обидва в стані спокою: Ніжка T майже досягає перемикача детонатора, коли обидва\(T\) і\(U\) знаходяться в стані спокою. \(\mathrm{A}\)\(\mathrm{B}\)Окуляри і використовуються в\(b\) перл вправи. Решта кадру \(U\)конструкції: Ніжка\(T\) рухомого Лоренца стискається в решті кадру U. чи означає це, що вибух не відбудеться? Решта рами \(T\)конструкції: Ноги рухомих Лоренц\(U\) стискаються в іншому кадрі\(T\). Чи означає це вибух відбудеться?

Однак подивіться на ту ж ситуацію в іншому каркасі Т-конструкції. У цій рамці рука Т має свою довжину спокою, тоді як два плечі структури U стискаються Лоренц. Тому рукою\(T\) неодмінно вдарить детонаторний вимикач і станеться страшний вибух.

1. Зробіть вирішальний прогноз: Буде вибух чи ні? Від цього залежить ваше життя!
2. Провід від детонаторного вимикача до тротилу перенапружується через точку\(B\) на U-конструкції, коли обидві конструкції знаходяться в стані спокою, а в точці\(A\) на\(T\) конструкції встановлюється лазер. Пізніше, коли дві структури стикаються на\(A\), лазер запускає імпульс,\(B\) який розрізає провід детонатора. Чи змінює цей новий апарат ваш прогноз щодо детонації тротилу?

Підтвердження: Робота, що описує цей парадокс, перетнула стіл одного з авторів, але стаття та ім'я її автора були втрачені. Пристрій лазерного інгібітора був розроблений Гордоном Розлером.

6-6 як швидко можна ходити?

Восьма Вебстера говорить, що «ходити» означає «йти пішки, не піднімаючи одну ногу від землі, перш ніж інша торкнеться землі». Іншими словами, принаймні одна нога повинна бути на землі постійно. Використовуйте це визначення, щоб виявити максимальну швидкість ходьби, накладену відносністю.

Ми припускаємо передові технології тут! Ходячий робот рухає вільною ногою вперед майже зі швидкістю світла. Тоді можна сперечатися (неоднозначно) наступним чином: Поки вільна нога рухається вперед, посаджена нога знаходиться на землі, готова до підйому, коли [дивитися!] вільна нога спускається спереду. Половина часу кожна нога знаходиться в русі з майже легкою швидкістю і половину часу вона знаходиться в стані спокою. Тому середня швидкість кожної ноги, рівна максимально можливій швидкості крокуючого робота, становить половину швидкості світла.

Чому цей аргумент неоднозначний? Через відносності одночасності. Слово, яке застосовується до відокремлених подій, завжди має розгортати червоний прапор. Подія «передня нога вниз» (мітка FrontDown) і подія «задня нога вгору» (мітка RearUp) відбуваються в різних місцях уздовж лінії руху. Спостерігачі у відносному русі не погодяться щодо того, чи відбуваються події FrontDown і RearUp одночасно. Тому вони не погодяться з тим, чи має робот одну ногу на землі в усі часи, щоб задовольнити словникове визначення ходьби.

Як прибрати неоднозначність у визначенні ходьби? Один із способів полягає в тому, щоб зробити звичайне визначення незалежним: одна нога повинна бути на землі в усі часи, як це спостерігається у кожній системі відліку вільного плавання. Які обмеження має це місце на двох подіях FrontDown і RearUp? Задня нога повинна залишати землю після або, принаймні, одночасно з тим, що передня нога торкається землі, як це спостерігають усі спостерігачі у вільному плаванні. Використовуйте наступний контур, щоб вивести наслідки цього визначення для максимальної швидкості ходьби.

1. Розглянемо три можливі взаємозв'язки між подіями FrontDown і RearUp: схожий на час, легкий і космічний. Для кожного з цих трьох відносин запишіть відповіді на наступні три питання:
   (1) Чи буде тимчасовий порядок двох подій однаковим для всіх спостерігачів?
   (2) Чи адекватно цей зв'язок задовольняє незалежному від кадру визначення ходьби?
   (3) Якщо так, то чи дає ці відносини максимально можливу швидкість для ходьби?
   Покажіть, що ви відповідаєте «так» на всі три питання лише для світлоподібних відносин між двома подіями.
2. Світлоподібний зв'язок між подіями FrontDown і RearUp означає, що світло може просто подорожувати від однієї події до іншої, не залишивши часу. Нехай відстань між цими подіями - довжина одного кроку в рамці Землі - буде одиницею відстані і часу. Покажіть, що для граничної швидкості в цьому кадрі кожна нога витрачає дві одиниці часу, рухаючись вперед, потім чекає одну одиницю, поки світловий сигнал поширюється на іншу ногу, потім чекає три одиниці, поки інша нога проходить той же процес. Короткий опис: З шести одиниць часу кожна нога рухається вперед з (майже) швидкістю світла на дві одиниці. Яка середня швидкість кожної ноги, а значить і швидкість ходунка, яка вимірюється в рамці Землі?
3. Намалюйте просторово-часову діаграму для кадру Землі, показуючи світові лінії для кожної з ніг робота та світові лінії для сполучних світлових спалахів. Додайте світову лінію, яка показує усереднений рух тулуба, завжди розташовану на півдорозі між двома ногами в рамці Землі. Продемонструйте, що цей тулуб рухається зі швидкістю ходунка, зазначеної вище.
4. Пол Хорвіц каже: «Ми визначили значення максимальної швидкості ходьби, знайшовши кадр незалежного визначення ходьби. Тому цей крокуючий робот рухається з тією ж швидкістю, що і в кожному кадрі». Павло правий?

Довідка: Джордж Рибіцький, Американський фізичний журнал, том 59, сторінки 368-369 (квітень 1991).

6-7 парадокс мерехтливої лампочки: проект

Примітка: Наступне занадто довге для регулярних вправ, але воно має багато розуміння, яке варто проводити як більш тривалу діяльність. Тому ми називаємо це проектом.

Дві довгі паралельні провідні рейки відкриті з одного кінця, але з'єднані електрично на іншому кінці через лампу і батарею, як показано на малюнку (рамка рейки). Одна з рейок має квадратне вертикальне зміщення довжиною 2 метри. Між рейками переміщається (без тертя) Н-подібний повзун, вертикальні ніжки якого є провідниками, але горизонтальна хрестовина якого є ізолятором. (Припустимо, що вертикальні ніжки не є ідеальними провідниками, так що при досить потужному акумуляторі між рейками підтримується напруга навіть тоді, коли вони з'єднані вертикальними ніжками повзунка.) Якщо або вертикальна ніжка повзунка з'єднує дві рейки, то електричний ланцюг завершується, дозволяючи лампі світитися.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Рама рейки: Конфігурація\(\mathrm{t}=0\) в іншому каркасі рейок. Слайдер\(CD\) рухається вправо з\(\mathrm{v}_{\text {rel }}\) такою швидкістю, що коефіцієнт стиснення Лоренца дорівнює 2. Вертикальні ніжки повзуна - провідники; горизонтальна хрестовина - ізолятор. Слайдер кадру: Конфігурація\(\mathrm{t}^{\prime}=0\) в решті кадру повзунка. Рейки і ліхтар рухаються вліво з\(\mathrm{v}_{\text {rel }}\) такою швидкістю, що коефіцієнт стиснення Лоренца дорівнює 2.

Решта (належна) довжина повзунка також становить 2 метри, але він рухається з такою швидкістю, що його скорочена довжина Лоренца становить 1 метр в рейковій рамі. Звідси в рейковій рамі відбувається проміжок часу, протягом якого жодна ніжка повзунка не контактує з верхньою рейкою. Так як ланцюг в цей період розімкнута, лампочка повинна на час відключитися, а потім знову включитися - вона повинна мерехтіти.

На малюнку (кадр повзунка) показано конфігурацію\(t^{\prime}=0\) в кадрі повзунка. У цій рамці повзунок знаходиться в стані спокою, його довжина дорівнює довжині спокою, 2 метрам, при цьому рейки, ліхтар, і батарея все рухаються вліво зі швидкістю такою, що їх довжини по напрямку руху зменшуються в 2 рази. Зокрема, зміщення у верхній рейці Лоренца укладено на довжину одного метра. Тому в рамці повзунка той чи інший провідник повзунка завжди охоплює рейки, тому ланцюг ніколи не розривається, і лампочка ніколи не повинна вимикатися, вона НЕ повинна мерехтіти!

Ті, хто намагається спростувати відносність, кричать: «Парадокс! В іншому каркасі рейок лампа вимикається, а потім знову включається - мерехтить. На відміну від цього, в іншій рамці повзунка лампа залишається включеною - вона не мерехтить. Все ж всі спостерігачі повинні погодитися: лампа або мерехтить, або не мерехтить. Відносність повинна бути неправильною!»

Проаналізуйте систему досить докладно або для того, щоб остаточно продемонструвати правильність цього заперечення, або точно визначити його помилку.

Довідка: G.P. Sastry, Американський фізичний журнал, том 55, сторінки 943-946 (жовтень 1987).

6-8 парадокс підрядного космічного корабля: проект

Примітка: Наступне занадто довге для регулярних вправ, але воно має багато розуміння, яке варто проводити як більш тривалу діяльність. Тому ми називаємо це проектом.

Кервін Варнік пише з наступним парадоксом. Космічний корабель належної довжини\(L_{\mathrm{o}}\) розганяється від відпочинку. Його передній кінець проходить відстань\(x_{F}\) у часі\(t_{P}\) до кінцевої швидкості, з якою корабель скорочується до половини його довжини відпочинку. При цьому\(t_{F}\) задній кінець рухається на тій\(x_{F}\) же відстані, що і передній кінець плюс відстань,\(L_{\mathrm{o}} / 2\) на яке судно скоротився. Відстань, пройдена заднім кінцем\(x_{F}+\left(L_{\mathrm{o}} / 2\right)\) в часі,\(t_{F}\) означає середню швидкість\(\left[x_{F}+\left(L_{\mathrm{o}} / 2\right)\right] / t_{F}\). Оскільки належна довжина\(L_{\mathrm{o}}\) може бути як завгодно великою, то ця середня швидкість може бути як завгодно великою, навіть більшою, ніж швидкість світла. «Це спростовує відносність!» він вигукує.

Проаналізуйте цей розумовий експеримент досить детально або для того, щоб остаточно продемонструвати правильність заперечення Варніка, або точно визначити його помилку.

Довідка: Едвін Тейлор і А.П. Френч, Американський фізичний журнал, Том 51, сторінки 889-893 (жовтень 1983).