6.3: Світловий конус - Розділ у простору-часі

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77463

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

інваріантність інтервалу зберігає причину і наслідок

Поки що в роботі з інтервалом між двома подіями,$A$ і$B$, ми розглядали в першу чергу ситуацію, в якій ці події лежать уздовж єдиного напрямку в просторі - на опорній лінії, де розташовані лабораторні та ракетні еталонні годинники. На відміну від цього, геодезисти в нашому уявному королівстві використовували два космічні виміри - на північ і схід. Однак ми знаємо, що евклідовий простір справді тривимірний. Геодезист, що вимірює горбисту місцевість, незабаром оцінює необхідність третього виміру: напрямок вертикально вгору! Міра відстані в трьох вимірах вимагає простого розширення виразу для відстані в двох вимірах: Квадрат відстані стає сумою квадратів трьох взаємно перпендикулярних поділів: ¹

\[(\text { distance })^{2}=(\text { north separation })^{2}+(\text { east separation })^{2}+(\text { up separation })^{2}\nonumber \]

Евклідовий простір вимагає трьох вимірів. На відміну від цього, простор час, який включає часовий вимір, вимагає чотирьох. Вираз для квадрата часового інтервалу тепер має чотири члени: позитивний член (квадрат поділу часу) і три від'ємні члени (квадрати поділу в трьох просторових вимірах).

paration) Три${ }^{2}$\[-(\text { east separation })^{2}-(\text { up separation })^{2}\] просторові члени можуть бути представлені одним терміном відстані в рівнянні вище, що дає

$$
\[\begin{aligned} (\text { timelike interval })^{2} &=(\text { time separation })^{2}-(\text { distance })^{2} \\ (\text { spacelike interval })^{2} &=(\text { distance })^{2}-(\text { time separation })^{2} \end{aligned}\]\[\[ \begin{array}{l}\]\ text {(світлоподібний інтервал)} ^ {2} =0=\ text {(поділ часу)} ^ {2} - (\ текст {відстань}) ^ {2} $$\ end {масив}
]

або, для світлоподібного інтервалу,\[\text { magnitude of (separation in time) }=\text { (distance in space) } \quad \text { [lightlike interval] } \quad \text { (6-3) }\] Для пар подій зі світлоподібним поділом інтервал дорівнює нулю. Нульовий інтервал є унікальною особливістю геометрії Лоренца, новою і досить відмінною від інтервалу, узагальненого до трьох просторових вимірів

ГЛАВА 6 РЕГІОНИ ПРОСТОРУ/ЧАСУ

ЗРАЗОК ЗАВДАННЯ 6-2

ВИЧЕРПНИЙ ВИДАЛЕНИЙ

О 12:00 опівдні Середній час за Гринвічем (GMT) схема (подія$D$) тимчасово відключає приймального астронавта на Місяці скидає гайковий ключ на носок і підсилювач в управління місіями на Землі. Беремо Землю крики «Чорт!» в його шоломі мікрофон і Місяць, щоб бути в$3.84 \times 10^{8}$ метрах один від одного в (подія$A$), переноситься радіосигналом до Землі. Земляний каркас і припускають нульовий відносний рух.

В одну секунду після 12:00 опівдні за Гринвічем короткий

а Чи чує управління польотами на Землі вигнання космонавта?

б Чи могла сильна мова космонавта спричинити коротке замикання на Землі?

c Класифікуйте поділ простору та часу між подіями$A$ та$D$: часовими, космічними або світлоподібними.

d Знайти належну відстань або належний час між подіями$A$ і$D$.

е. для всіх можливих рамок ракет, що проходять між Землею і Місяцем, знайти максимально коротку відстань між подіями$A$ і$D$. У рамі ракети, для якої ця відстань найкоротша, визначають час між двома подіями.

РІШЕННЯ

а За одну секунду електромагнітне випромінювання (світло і радіохвилі) рухається$3.0 X$$10^{8}$ лічильниками у вакуумі. Тому радіосигнал не встигає проїхати$3.84 \times 10^{8}$ метри між Місяцем і Землею за одну секунду, доступну між подіями$A$ і$D$ як вимірюється в рамці Землі. Так Mission Control не чує вигуку.

б. жоден сигнал не рухається швидше, ніж світло. Тож сильна мова космонавта не може спричинити коротке замикання.

c Просторова частина поділу між вимірювачами подій$\left(3.84 \times 10^{8}\right.$$)$ домінує над часовою частиною (один секундний$=3.0 \times 10^{8}$ метр). Тому поділ схожий на простір.

d Квадрат належної відстані$s$ походить від виразу\[\begin{aligned} s^{2} &=(\text { space separation })^{2}-(\text { time separation })^{2} \\ &=\left(3.84 \times 10^{8} \text { meters }\right)^{2}-\left(3.00 \times 10^{8} \text { meters }\right)^{2} \\ &=(14.75-9.00) \times 10^{16}(\text { meters })^{2} \\ &=5.75 \times 10^{16} \text { (meters) }^{2} \end{aligned}\] Правильна відстань дорівнює квадратному кореню цього значення:$s=2.40 \times 10^{8}$ метри

е. належна відстань дорівнює найкоротшій відстані між двома космічними подіями, виміряними в будь-якому рамі ракети, що рухається між ними (рис. 6-2, лабораторна карта). Отже,$2.40 \times 10^{8}$ метри дорівнюють максимально короткій відстані між подіями$A$ і$D .$ У конкретному рамі ракети, для якого відстань найкоротша, час між двома подіями має значення нульові події$A$ і $D$є одночасними в цьому кадрі.

СОНЯЧНА ПЛЯМА

Бредлі хапає паличку своєї сестри і махає нею, бути виверження сонячної плями на поверхні Сонця, кричачи «Sunspot"' У той самий момент його фасаму. Відстань Земля-Сонце дорівнює приблизно, Ллойд, який експлуатує домашню сонячну обсерваторію$1.5 \times 10^{11}$ метрів. Нехтуйте відносним рухом ватори, бачить плями, що з'являються на обличчі Сонця. Нехай між Землею і Сонцем.

подія$E$ бути Бредлі, розмахуючи паличкою і подією$A$

а Чи можливо, що помахи паличкою Бредлі призвели до того, що сонячна пляма виверглася на Сонце?

б Чи можливо, що сонячна пляма, що вивергається на Сонце, змусило Бредлі помахати паличкою?

c Класифікуйте поділ простору та часу між подіями$A$ та$E$: часовими, космічними або світлоподібними.

d Знайти значення належної відстані або належного часу між подіями$A$ і$E$.

е. для всіх можливих рамок ракет, що проходять між Землею і Сонцем, знайти максимально коротку відстань або найкоротший час між подіями$A$ і$E$.

РІШЕННЯ

a. світло проходить 1 метр відстані за 1 метр часу або$1.5 \times 10^{11}$ метри відстані в$1.5 \times 10^{11}$ метрах часу. Звідси в кадрі Земля-Сонце виверження сонячної плями (події$A$) сталося за кілька$1.5 \times 10^{11}$ метрів часу до того, як Бредлі помахав паличкою (подією$E$). Так що помахи паличкою Бредлі не могли стати причиною виверження на Сонце.

б. з іншого боку, можливо, що виверження сонячної плями змусило Бредлі помахати паличкою: Він піднімає паличку в повітрі, дивиться через плече батька і махає паличкою, коли пляма з'являється на проекційному екрані. (Ми нехтуємо часом його реакції.)

c Події$A$ і$E$ пов'язані одним світловим імпульсом; їх розділення простору і часу обидва мають значення$1.5 \times 10^{11}$ метрів в рамці Землі. Тому поділ простору-часу між ними є світлоподібним.

d) Простір і час поділу між$E$ подіями$A$ і рівні. Тому інтервал між ними має значення нуль. Звідси належний час між ними - дорівнює належній відстані між ними - також має значення нуль.

е. інтервал інваріантний. Тому всі можливі кадри ракет з вільним плаванням, що проходять між Землею і Сонцем, враховують нульовий інтервал між подіями$A$ і$E$. Це означає, що кожен з них вимірює розділення простору між подіями$A$ і$E$ дорівнює часовому поділу між цими подіями. Загальна цінність поділу простору і часу не однакова для всіх рамок ракет, але вони рівні один одному в кожному окремому рамі ракети. Нас просять знайти максимально коротке значення за цей час.

Подумайте про ракету, яка просто проходить Сонце, коли сонячна пляма вивергається, ракета попрямувала до Землі майже зі швидкістю світла по відношенню до Землі. Ракетні решітки годинник записують світловий спалах від сонячної плями, віддаляючись від ракети на стандартній швидкості одиниці. Однак ці годинники фіксують, що Земля лежить дуже близько до Сонця (скорочення відстані Лоренца) і що Земля спрямовується до ракети майже зі швидкістю світла. Тому світло не подорожує далеко, щоб дістатися до Землі в цій рамі ракети; і це не займає багато часу. Для ракети, що рухається довільно близько до швидкості світла, ця відстань між$A$ і$E$ наближається до нуля, і так само час Світло спалаху простежує світловий конус в просторово-часовій діаграмі

що завгодно в евклідовій геометрії. У евклідовій геометрії неможливо, щоб відстань$A G$ між двома точками дорівнювала нулю, якщо всі три поділи (на північ, схід та вгору) не дорівнюють нулю. На відміну від цього, інтервал$A G$ між двома подіями може зникати навіть тоді, коли поділ у просторі та поділ у часі окремо досить великі. Рівняння (6-3) описує поділ між світлоподібними подіями, але тепер поділ у просторі може відображатися у двох або трьох вимірах простору, а також в одному часовому вимірі. Відстань в просторі завжди позитивна.

Цікаво змалювати на відповідній карті локації всіх подій,,$G, G_{1}, G_{2}$$G_{3}, \ldots$, які можуть бути пов'язані з однією заданою$A$ подією єдиним розтікаючим імпульсом світла. Кожна така майбутня подія має відстань у просторі від$A$ ідентичного його затримки в часі після$A$. Тільки так він може задовольнити вимогу$(6-3)$ щодо нульового інтервалу. Для нього:

(Майбутній час щодо$A$)$=+$ (відстань у просторі від$A$) [світлоподібний інтервал] (6-4)

Не менш цікаво відображати - і на одній і тій же схемі - всі події$\mathrm{H}, \mathrm{H}_{1}$,$\mathrm{H}_{2}, \mathrm{H}_{3}, \ldots$. які можуть посилати світловий імпульс на$\mathrm{A}$. Кожна така подія відповідає умові

(минулий час відносно$A$)$=-($ відстань у просторі від$A) \quad$ [для світлоподібного інтервалу] (6-5)

Обидва ці рівняння задовольняють рівнянню величини.$(6-3) .$

На малюнку 6-4 ми пригнічуємо відображення третього простору виміру в інтересах простоти. Ми обмежуємо увагу майбутніми подіями$G, G_{1}, G_{2}, \ldots$ та минулими подіями$H, H_{1}$,$H_{2}, \ldots$ які лежать на площині північ - півден/схід-захід у космосі. Спалах, що випромінюється від події,$A$ розширюється як коло на цій космічній площині. Коли він поширюється від події$A$, це коло світла простежує конус, що відкривається вгору в просторово-часовій карті Рисунок$6-4$. Це називається майбутнім світловим конусом події$A$. Конус, що відкривається вниз, простежує історію вхідного кругового імпульсу випромінювання настільки ідеально сфокусованого, що він сходиться до події$A$, руйнуючись точно$A$ при події в нульовий час. Цей конус, що відкривається вниз, має назву минулий світловий конус події А. Всі події$G, G_{1}$,$G_{2}, \ldots$. лежать на майбутньому світловому конусі події$A$, всі події$H, H_{1}, H_{2}, \ldots$ на його минулому світловому конусі.

Численні, оскільки події можуть бути, що лежать на світловому конусі, як правило, є багато інших, яких немає! Подивіться, наприклад, на всі події, які відбуваються на 7 метрів часу пізніше нульового часу події$A$. На карті простору-часу ці події визначають площину на 7 метрів над$t=0$ площиною, в якій$A$ лежить подія, і паралельно цій площині. Світловий конус перетинає цю площину по колу (коло на цій карті; сфера на карті повного простору часу з трьома просторовими розмірами). Подія на площині потрапляє в ту чи іншу з трьох категорій, щодо події$A$, відповідно до того, як вона лежить всередині кола (як це робиться на$B$ малюнку 6-4), на ньому (як це робиться$G$), або поза ним (як це робиться$D$).

Світловий конус унікальний для геометрії Лоренца. Це надає природі структуру, що перевищує будь-яку силу евклідової геометрії. Світловий конус робить більше, ніж поділ подій на одній площині на категорії. Він класифікує кожну подію, скрізь у просторовомучасі, на ту чи іншу з п'яти різних категорій відповідно до причинно-наслідкового зв'язку, що подія несе до обраної події$A$:

зображення

ЦИФРА 6-4. Світловий конус як розділ у просторовому часі; перспективна тривимірна просторово-часова карта, що показує схід, північ та часові місця подій, що відбуваються на плоскій площині в просторі. Події$\mathrm{G}, \mathrm{G}_{1}, \mathrm{G}_{2}$, і$\mathrm{G}_{3}$ знаходяться на майбутньому світловому конусі$\mathrm{A} ;$ подій$\mathrm{H}, \mathrm{H}_{1}, \mathrm{H}_{2}$, і$\mathrm{H}_{3}$ знаходяться на його минулому світловому конусі. Див. Також рисунок 6-5.

Чи може матеріальна частка, що виділяється при$A$ впливати на те, що буде відбуватися$B$? Якщо так, то$B$ лежить всередині майбутнього світлового конуса$A$ і утворює схожу на час пару з подією$A$.
Чи може світловий промінь, випромінюваний при$A$ впливати - не маючи часу на те, що буде відбуватися$G$?

Причина і наслідок збережені

Якщо так, то блищить майбутній світловий конус$A$ і утворює світлоподібну пару з подією

світловий конус$A$.

Чи не може ефект, що виробляється при$A$ впливати на те, що відбувається в$D$?

Якщо так,$D$ лежить поза майбутнім і минулим світловими конусами$A$ і утворює космічну пару з подією$A .$ Це лежить в абсолюті в іншому місці$A .$

Чи може матеріальна частка, що виділяється при,$J$ впливати на те, що відбувається$A$?

Якщо так, то$J$ лежить всередині минулого світлового конуса$A$ і утворює схожу на час пару з подією$A$.

Чи може світловий промінь, випромінюваний при$H$ впливати - не шкодуючи часу - що відбувається на$A$?

Якщо так, то$H$ лежить на минулому світловому конусі$A$ і утворює світлоподібну пару з подією А.

Природа виявляє причинно-наслідкову структуру поза баченням евклідової геометрії. Причинно-наслідковий зв'язок між подією$B$ та іншою подією$A$ потрапляє в одну або 182 РОЗДІЛ 6 РЕГІОНІВ ПРОСТОРУ-ЧАСУ
зображення

ЦИФРА 6-5. Вибуховане подання регіонів, в які події простору-часу розпадаються при класифікації щодо обраної$\mathrm{A}$ події. інші з п'яти категорій вибираються світловим конусом$A$. Цей світловий конус та ці категорії існують у простору-часі зовсім окрім будь-яких вимірювань простору та часу, які можуть бути використані для їх опису. Нульовий інтервал між подіями в одному кадрі з вільним плаванням означає нульовий інтервал між тими самими подіями в кожному перекривається кадрі з вільним плаванням Світловий конус - це світловий конус - це світловий конус!

Подія А відображається у початку кожної карти простору-часу в цьому розділі. Що такого особливого в події$A$?

Немає нічого особливого про подію$A$! 'Навпаки, ми не захопили повну історію причинно-наслідкової структури простору-часу, поки для кожної події$A\left(A_{1}, A_{2}, A_{3},\right.$,$\therefore$ Ми класифікували кожну іншу подію$B\left(B_{1}, B_{2}, B_{3}, \ldots\right.$) у відповідну категорію - timelike! легкоподібний! космічний! - стосовно цієї події.

На малюнку 6-5 підсумовуються відносини між обраною подією$A$ і всіма іншими подіями простору-часу.

1 Інтервал узагальнений до трьох просторових вимірів

2 Світловий спалах простежує світловий конус у діаграмі простору-часу

3 Причина і наслідок, збережені світловим конусом