3.E: однакові закони для всіх (вправи)

ПРАКТИКА

3-1 відносність і плавання

Ідея тут полягає в тому, щоб проілюструвати, наскільки чудовою є незмінність швидкості світла (швидкість світла однакова у всіх фреймах вільного плавання), контрастуючи з випадком плавця, який пробивається через воду.

Світло проходить через простір\(3 \times 10^{8}\) зі швидкістю метрів/секунду, а плавець проходить через воду зі швидкістю 1 метр/секунду. «Але як інакше може бути різниця?» один спочатку запитує себе.

Для світлового спалаху спуститися вниз довжиною 30-метровий космічний корабель і назад знову бере

\ [\ почати {вирівняний}
\ текст {час} & =(\ текст {відстань})/(\ текст {швидкість})\\
&= 2\ раз (30\ текст {метри})/\ ліворуч (3\ раз 10^ {8}\ текст {метри}/\ текст {другий}\ вправо)\\
&= 2\ раз 10^ {-7}\ текст {другий}
\ кінець {вирівняний}\]

як вимірюється в космічному кораблі, незалежно від того, чи стоїть корабель на космодромі або масштабується повз нього на високій швидкості.

Перевірте, наскільки різна історія для плавця оранки вздовж на 1 метр/секунду по відношенню до води.

1. Скільки часу їй потрібно, щоб сплисти вниз по довжині 30-метрового басейну і назад знову?
2. Скільки часу їй потрібно, щоб плавати з поплавка,\(A\) щоб поплавати\(B\) і назад знову, коли два плавають\(B\),\(A\) і, все ще 30 метрів один від одного, але зараз буксируються через озеро на\(1 / 3\) метр/секунду?
   Дискусія: Коли плавець плаває в тому ж напрямку, в якому буксируються поплавці, яка у неї швидкість щодо поплавців? І наскільки велика відстань, яку вона повинна пройти, виражена в «рамці відліку» поплавців? Так скільки часу потрібно, щоб подорожувати цією ногою її поїздки? Потім розглянемо ті ж три питання для зворотної поїздки.
3. Чи правда, що загальний час від\(A\) до\(B\) і назад не залежить від системи відліку («стаціонарні» кінці басейну проти рухомих поплавців)?
4. Висловити в найчистішому, чіткому, найгострішому формулюванні одного речення ви можете різницю між тим, що відбувається для плавця, і тим, що відбувається для легкого спалаху.

3-2 Ейнштейн головоломка

Коли Альберт Ейнштейн був хлопчиком 16 років, він роздумував над наступною головоломкою: Бігун дивиться на себе в дзеркалі, яке вона тримає на відстані витягнутої руки перед собою. Якщо вона біжить майже зі швидкістю світла, чи зможе вона бачити себе в дзеркалі? Проаналізуйте це питання за допомогою принципу відносності.

3-3 побудова годинників

Для вимірювання часу ми не зробили різниці між весняні годинники, кварцові кришталеві годинники, біологічні годинники (старіння), атомні годинники, радіоактивні годинники та годинник, в яких тикаючий елемент - це імпульс світла, що підстрибує назад і вперед між двома дзеркалами (див. Малюнок). Нехай усі ці годинники будуть налаштовані лабораторним спостерігачем, щоб вони працювали з тією ж швидкістю, коли в стані спокою в лабораторії. Тепер нехай годинник все м'яко розганяються до високої швидкості в ракеті, яка потім вимикає свої двигуни. Зробіть простий, але вагомий аргумент, що спостерігач ракети з вільним плаванням також вимірюватиме ці різні годинники, щоб працювати з тією ж швидкістю, що і один з одним. Чи випливає, що (загальна) тактова частота цих годин, виміряних спостерігачем ракети, така ж, як їх (загальна) швидкість, виміряна лабораторним спостерігачем, коли вони проходять повз у ракеті?

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Цей дводзеркальний «годинник» посилає на очний спалах після спалаху, кожен відокремлений від наступного на 1 метр часу руху світла. Світлий спалах (представлений зірочкою) відскакує вперед і назад між паралельними дзеркалами, відокремленими один від одного на\(0.5\) метр відстані. Срібне покриття правого дзеркала не відображає ідеально: воно пропускає 1 відсоток світла до ока кожного разу, коли світловий імпульс б'є його. Отже, око отримує імпульс світла кожен метр світлового часу.

3-4 Принцип відносності

Дві перекриваються рамки з вільним плаванням знаходяться в рівномірному відносному русі. У наступному списку відзначте «так» величини, які обов'язково повинні бути такими ж, як виміряні в двох кадрах. Позначте «ні» величини, які не обов'язково збігаються з вимірюваними в двох кадрах.

1. час, необхідний для того, щоб світло пройшов один метр відстані у вакуумі
2. проміжок часу між двома подіями
3. кінетична енергія електрона
4. значення маси електрона
5. значення магнітного поля в заданій точці
6. відстань між двома подіями
7. будова молекули ДНК
8. часова швидкість зміни імпульсу нейтрона

3-5 багато непотужних ракет

У лабораторному кадрі подія 1 відбувається в\(x=0\) світлових роках,\(t=0\) роках. Подія 2 відбувається в\(x=6\) світлових роках,\(t=10\) роках. У всіх рамах ракет подія 1 також відбувається в позиції 0 світлових років і часу 0 років. \(y\)- і\(z\) -координати обох подій дорівнюють нулю в обох кадрах.

1. У рамі\(A\) ракети подія 2 відбувається на час\(t^{\prime}=\) 14 років. В якій позиції\(x^{\prime}\) відбудеться подія 2 в цьому кадрі?
2. У рамі\(B\) ракети подія 2 відбувається в позиції\(x^{\prime \prime}\)\(=5\) світлових років. В який час\(t^{\prime \prime}\) відбудеться подія 2 в цьому кадрі?
3. Наскільки швидко повинен\(C\) рухатися кадр ракети, якщо події 1 і 2 відбуваються в одному місці в цій рамі ракети?
4. Який час між подіями 1 і 2 у ракетному кадрі\(C\) частини\(c\)?

3-6 вниз з відносністю!

Містер Ван Дам - розумна і розумна людина зі знанням фізики середньої школи. Він має наступні заперечення до теорії відносності. Відповідайте на кожне із заперечень пана Ван Дама рішуче, не критикуючи його. Якщо ви хочете, ви можете представити єдиний пов'язаний рахунок того, як і чому людина рухається до відносності, в якому всі ці заперечення відповідають.

1. «Спостерігач А каже, що годинник Б йде повільно, а спостерігач B каже, що годинник А йде повільно. Це логічне протиріччя. Тому слід відмовитися від відносності».
2. «Спостерігач А каже, що лічильні палички B стискаються вздовж напрямку відносного руху, а спостерігач B каже, що метрові палички А скорочуються. Це логічне протиріччя. Тому слід відмовитися від відносності».
3. «Відносність навіть не має унікального способу визначення просторових і часових координат для миттєвого положення об'єкта. Лабораторні та ракетні спостерігачі зазвичай записують різні координати для цієї позиції та часу. Тому все, що говорить відносність про швидкість об'єкта (а значить, і про його рух), не має сенсу».
4. «Відносність постулює, що світло рухається зі стандартною швидкістю незалежно від кадру вільного плавання, з якого вимірюється його прогрес. Цей постулат, безумовно, неправильний. Будь-хто зі здоровим глуздом знає, що пересування з великою швидкістю у напрямку відступаючого світлового імпульсу зменшить швидкість, з якою пульс відступає. Отже спалах світла не може мати однакову швидкість для спостерігачів у відносному русі. З цим відхиленням основного постулату вся відносність руйнується».
5. «Немає жодного експериментального тесту результатів спеціальної відносності».
6. «Відносність не пропонує жодного способу описати подію без координат - і ніяк не говорити про координати, не звертаючись до тієї чи іншої конкретної системи відліку. Однак фізичні події мають існування незалежно від усього вибору координат і всього вибору системи відліку. Отже, відносність - з її координатами та рамками відліку - не може надати дійсного опису цих подій».
7. «Відносність стурбована тим, як ми спостерігаємо речі, а не те, що насправді відбувається. Отже, це не наукова теорія, оскільки наука має справу з реальністю».

ПРОБЛЕМИ

3-7 Космічна війна

Дві ракети однакової довжини спокою проходять «головою на» на релятивістських швидкостях, як показано на малюнку (зліва). Спостерігач\(o\) має гармату в хвості її ракети, спрямовану перпендикулярно напрямку відносного руху (центру). Вона стріляє з пістолета, коли точки\(a\) і\(a^{\prime}\) збігаються. У її кадрі інший ракетний корабель Лоренц уклав контракт. Тому\(o\) очікує, що її куля пропустить іншу ракету. Але в кадрі іншого спостерігача\(o^{\prime}\) це ракетний корабель\(o\), який вимірюється як Лоренц контрактний (праворуч). Тому коли точки\(a\) і\(a^{\prime}\) збігаються, спостерігач\(o^{\prime}\) повинен спостерігати попадання.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Зліва: Два ракетних корабля, що проходять на великій швидкості. Центр: У кадрі про одного чекає куля, випущена, коли збігається з a', щоб пропустити інший корабель. Праворуч: У кадрі o 'один очікує, що куля випустила, коли збігається з a', щоб вразити інший корабель.

Куля насправді б'є або пропускає? Визначте нещільність мови, яка використовується для постановки проблеми та помилки на одному малюнку. Покажіть, що ваш аргумент відповідає результатам Парадоксу поїзда (Розділ 3.4).

3-8\(\breve{C}\) еренков випромінювання

Не спостерігалося, що частинка рухається швидше, ніж швидкість світла у вакуумі. Однак були помічені частинки, які рухаються в матеріальному середовищі швидше, ніж швидкість світла в цьому середовищі. Коли заряджена частинка рухається через середовище швидше, ніж світло рухається в цьому середовищі, вона випромінює когерентне світло в конусі, вісь якого лежить уздовж шляху частинки. (Зверніть увагу на грубу схожість з хвилями, створеними моторним човном, що розганяється по спокійній воді, і більш точну схожість з «конусом звукового стріли», створеного надзвуковим літаком.) Це називається\(\breve{C}\) еренкова радіацією (російська\(\breve{C}\) вимовляється як «ч»). \(v\)Дозволяти бути швидкість частинки в середовищі і\(v_{\text {light }}\) бути швидкість світла в середовищі.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): перша цифра. Розрахунок кута\(\breve{C}\) еренков\(\phi\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Використання випромінювання\(\breve{C}\) еренкова для непрямого виявлення нейтрино в глибокому підводному детекторі мюонів і нейтрино (DUMAND) в 30 кілометрах від Keahole Point на острові Гаваї. Нейтрино не мають електричного заряду і їх маса, якщо така є, поки що уникла виявлення (Box 8-1). Нейтрино вкрай слабо взаємодіють з речовиною, проходячи через Землю практично без зіткнень. Дійсно, масив детекторів DUMAND вибирає для аналізу тільки нейтрино, які виходять вгору через Землю. Таким чином Земля сама діє як щит для усунення всіх інших частинок космічних променів.

Які можливі джерела цих нейтрино? Теорія передбачає випромінювання дуже високоенергетичних {більше 10 ¹² електрон-вольт) нейтрино з матерії, що занурюється до чорної діри. Чорні діри можуть бути джерелами енергії для надяскравих галактичних ядер, а для квазарів — малих, далеких, загадкових об'єктів, що сяють світлом сотень галактик (Розділ 9.8). Інформація про умови глибоко всередині цих астрономічних структур може передаватися нейтрино, коли вони пробивають Землю і рухаються вгору через масив детекторів DUMAND.

У рідкісному випадку нейтрино, що рухається через океан, врізається в один з кварків, що складають протон або нейтрон в, скажімо, кисневому ядрі у воді, створюючи сплеск частинок. Всі ці частинки швидко поглинаються навколишньою водою, крім стійкого негативно зарядженого мюона, в 201 рази перевищує масу електрона (так іноді називають «жировим електроном»). Цей мюон проходить через воду в тому ж напрямку, що і створив його нейтрино і зі швидкістю більшою, ніж у світла у воді, випромінюючи таким чином\(\breve{C}\) еренков випромінювання. Випромінювання\(\breve{C}\) еренкова виявляється фотомультиплікаторними трубками в масиві, закріпленому на дні океану.

Фотомультиплікатори нанизані по 9 вертикальних кабелів, 8 кабелів, розташованих по колу діаметром 100 метрів на дні океану, дев'ятий кабель піднімається з центру кола. Кожен кабель має довжину 335 метрів і вміщує 24 скляні сфери, розташовані на відстані 10 метрів один від одного на вершині 230 метрів його довжини. На дні немає ніяких детекторів, немає лічильників, щоб уникнути будь-якої хмари відкладень з дна. Над дном вода настільки прозора, а модемні фотодетектори настільки чутливі, що\(\breve{C}\) еренков випромінювання можна виявити з мюона, який проходить в межах 40 метрів від детектора.

Фотомультиплікатори в скляних сферах виявляють\(\breve{C}\) еренков випромінювання від проходять мюонів, передаючи цей сигнал через підводні оптичні волокна комп'ютерам на сусідньому острові Гаваї. Комп'ютери вибирають для вивчення лише ті події, в яких (1) кілька оптичних датчиків виявляють сплески, які знаходяться (2) в межах 40 метрів або близько того від прямої лінії, (3) розміщені у часі, щоб показати, що частинка рухається по суті зі швидкістю світла у вакуумі, і (4) від частинки, що рухається вгору через вода. Система гідроакустичних маяків та гідрофонів відстежує місця розташування фотомультиплікаторів, як струни коливаються з повільними океанськими течіями. В результаті напрямок руху вихідного нейтрино може бути зафіксовано з точністю до одного градуса.

Об'єкт DUMAND призначений для створення нової карти неба джерел нейтрино, щоб доповнити наші знання про небеса, поки що отримані в першу чергу з електромагнітного спектра (радіо, інфрачервоний, оптичний, ультрафіолетовий. Рентген, гамма-промінь).

1. З цієї інформації використовуйте першу цифру, щоб показати, що напівкут\(\phi\), світлового конуса задається виразом
   \[\cos \phi=v_{\text {light }} / v \nonumber\]
2. Розглянемо пластик з торговою назвою Lucite, для якого\(v_{\text {light }}=2 / 3 .\) Яку мінімальну швидкість може мати заряджена частка, якщо вона виробляє\(\breve{C}\) еренков випромінювання в Lucite? Який максимальний кут,\(\phi\) при якому\(\breve{C}\) еренков випромінювання може вироблятися в Lucite? Вимірювання кута забезпечує хороший спосіб вимірювання швидкості частинки.
3. У воді швидкість світла приблизно\(v_{\text {light }}=0.75\). Дайте відповідь на питання частини б для випадку з водою. Дивіться другий малюнок для застосування\(\breve{C}\) еренкова випромінювання у воді.

3-9 аберація зоряного світла

Зірка лежить у напрямку, як правило, перпендикулярному напрямку руху Землі навколо Сонця. Через рух Землі зірка здається, що спостерігач Землі лежить в дещо іншому напрямку, ніж здавалося б спостерігачеві в спокої відносно Сонця. Цей ефект називається аберацією. Використовуючи діаграму, знайдіть цю явну різницю напрямку.

Малюнок\(\PageIndex{5}\): Аерація зоряного світла. Чи не масштабувати.

1. Знайдіть тригонометричний вираз для кута аберації,\(\psi\) показаного на малюнку.
2. Оцініть свій вираз, використовуючи швидкість Землі навколо Сонця,\(v_{\text {Earth conv }}\) = 30 кілометрів/секунду.Знайдіть відповідь в радіанах і в секундах дуги. (Один градус дорівнює 60 хвилин дуги; одна хвилина дорівнює 60 секунд дуги.) Цю зміну видимого положення можна виявити за допомогою чутливого обладнання.
3. Нерелятивістська відповідь на цю задачу - відповідь з використанням нерелятивістської фізики - це загар\(\psi= v_{\text {Earth }}\) метрів/метр). Чи вважаєте ви, що експериментальна різниця між релятивістськими та нерелятивістськими відповідями на зоряну аберацію, що спостерігається з Землі, може бути основою вирішального експерименту для вирішення правильності двох теорій?
   Дискусія: Звичайно, ми не можемо піднятися з Землі і подивитися зірку з кадру Сонця. Але Земля змінює напрямок кожні півроку (щодо чого?) , Таким чином, світло від «поперечної зірки», розглянутої в, скажімо, липні буде зміщений через удвічі більший кут аберації, розрахований в частині b порівняно зі світлом від тієї ж зірки в січні. Нове питання: Оскільки фон зірок позаду спостережуваної також зміщується через аберацію, як взагалі можна виміряти ефект?
4. Ракета на орбіті навколо Землі раптово змінює свою швидкість від ve ry малої частки швидкості світла по відношенню до Сонця, рухаючись в тому ж напрямку, що і Земля рухається навколо Сонця.\(v=0.5\) В якому напрямку ракета космонавт тепер побачить зірку частин a і b?

3-10 розширюється Всесвіт

Малюнок\(\PageIndex{6}\): Розрахунок часу\(\Delta t_{\text {reception }}\) між надходженням до спостерігача послідовних спалахів від відступаючого випромінювача. Світло рухається на один метр відстані за один метр часу, тому лінії, що показують рух світла, нахиляються\(\pm 45^{\circ}\) від вертикалі.

1. Гігантська бомба вибухає в іншому порожньому просторі. Який характер руху одного фрагмента щодо іншого? І як можна виявити цей відносний рух?
   Обговорення: Уявіть собі кожен фрагмент, оснащений маяком, який видає спалахи світла через регулярні, відомі проміжки\(\Delta \tau\) часу, виміряні у власній системі відліку (належний час!). Знаючи цей інтервал між спалахами, який метод виявлення може використовувати спостерігач на одному фрагменті для визначення швидкості\(v\) - щодо неї - будь-якого іншого фрагмента? Припустимо, що вона використовує, роблячи це визначення, (1) відомий належний час\(\Delta \tau\) між спалахами та\((2)\) час\(\Delta t_{\text {reception }}\) між приходом послідовних спалахів у її положення. (Це не дорівнює часу\(\Delta t\) в її кадрі між випромінюванням двох спалахів від відступаючого випромінювача; див. Рис.) Вивести формулу для з\(v\) точки зору належного проміжку часу\(\Delta \tau\) і\(\Delta t_{\text {reception. }}\) Як виміряна швидкість спаду залежатиме від відстані від власного фрагмента до фрагмента, на який дивиться? Підказка: У будь-який момент часу в будь-якому заданому кадрі фрагменти, очевидно, переміщуються відстані в цьому кадрі від точки вибуху, які прямо пропорційні їх швидкості в цьому кадрі.
2. Як можна використовувати спостереження за світлом від зірок, щоб перевірити, що Всесвіт розширюється? Дискусія: Атоми в гарячих зірках виділяють світло різних частот, характерних для цих атомів («спектральні лінії»). Спостережуваний період світла в кожній спектральній лінії від зоряного світла можна виміряти на Землі. За схемою спектральних ліній можна визначити вид атома, що випромінює світло. Потім той самий тип атома може бути збуджений в лабораторії, щоб випромінювати світло під час спокою, і належний період світла в будь-якій спектральній лінії може бути виміряний. Використовуйте результати частини а, щоб описати, як спостережуваний період світла в одній спектральній лінії від зоряного світла можна порівняти з належним періодом світла в тій же спектральній лінії від атомів, що знаходяться в спокої в лабораторії, щоб дати швидкість спаду зірки, яка випромінює світло. Це спостерігається зміна періоду через швидкість джерела називається доплерівським зрушенням. (Більш детальне лікування доплерівського зсуву див. Вправи для глав 5 і 8.) Якщо Всесвіт почався в гігантському вибуху, то як повинні спостережувані швидкості спаду різних зірок на різних відстанях порівнюватися один з одним? Уповільнення під час розширення - гравітаційним притяганням чи іншим способом - тут слід знехтувати, але розглядається в більш повних лікуваннях.
3. Найяскравіші стійко сяючі об'єкти на небесах називаються квазарами, що розшифровується як «квазізоряні об'єкти». Один квазар випромінює більш ніж в 100 разів більше світла всієї нашої галактики. Одним з можливих джерел енергії квазара є гравітаційна енергія, що виділяється при падінні матеріалу в чорну діру (Розділ 9.8). Оскільки вони настільки яскраві, квазари можна спостерігати на великих відстанях. Станом на 1991 рік найбільший спостерігається квазарний червоний зсув\(\Delta t_{\text {reception }} / \Delta \tau\) має значення 5,9. Згідно з теорією цієї вправи, яка швидкість спаду цього квазара, як частка швидкості світла?

3-11 закон додавання швидкостей

У космічному автобусі куля стріляє вперед зі швидкістю світла\(3 / 4\), виміряною мандрівниками в автобусі. Космічний автобус рухається вперед зі швидкістю\(3 / 4\) світла, виміряною спостерігачами Землі. Як швидко куля рухається, як вимірюють спостерігачі Землі: в\(3 / 4+3 / 4=6 / 4=1.5\) рази перевищує швидкість світла? Ні! Чому б і ні? Тому що (1) спеціальна відносність передбачає, що ніщо не може подорожувати швидше, ніж світло, і (2) сотні мільйонів доларів були витрачені на прискорення частинок («куль») до максимально швидкої швидкості, не виявляючи жодної частинки, яка рухається швидше, ніж світло у вакуумі. Тоді де недолік в нашому додаванні швидкостей? А який правильний закон складання швидкостей? На ці питання відповідають в цій вправі.

1. Спочатку використовуйте спостерігачі Землі для запису рухів космічного автобуса (довжина,\(L\) виміряна в рамці Землі, швидкість\(v_{\text {rel}}\)) і смуги кулі (швидкість\(v_{\text {bullet}}\)). Куля починається в задній частині автобуса. Щоб дати йому деяку конкуренцію, нехай світло спалах (швидкість\(=\) 1) гонки куля з задньої частини автобуса до передньої частини. Світловий спалах виграє, звичайно, вчасно діставшись до передньої частини автобуса\(t_{\text {forward }}\). А також\(t_{\text {forward }}\) дорівнює відстані, яке проїжджає світло в цей час. Показати, що ця відстань (виміряна в рамці Землі) дорівнює довжині автобуса плюс відстань, яку автобус проїжджає за той же час:
   \[t_{\text {forward }}=L+v_{\text {rel }} t_{\text {forward }} \text { or } t_{\text {forward }}=\frac{L}{1-v_{\text {rel }}} \label{1} \]
2. Для того, щоб потерти свою перевагу над кулею, світловий спалах відбивається від передньої частини автобуса і рухається назад до тих пір, поки, через додатковий час\(t_{\text {backward }}\), не приєднається до ударної кулі вперед. Ця зустріч відбувається поруч із сидінням, зайнятим Фредом, який сидить на відстані\(f L\) позаду передньої частини автобуса, де\(f\) знаходиться частка довжини автобуса\(L\). Покажіть, що для цього відрізка поїздки відстань, виміряну Землею,\(t_{\text {backward }}\) пройдену світловим спалахом, також може бути виражена як
   \[\begin{align} t_{\text {backward }} &=f L-v_{\text {rel }} t_{\text {backward }} && \text{or} \nonumber  \label{2} \\[4pt] t_{\text {backward }} &=\frac{f L}{1+v_{\text {rel }}} \end{align} \nonumber\]
3. Світловий спалах рухався вперед, а потім назад по відношенню до Землі. Яка чиста відстань вперед покривається світловим спалахом в той момент, коли вона знову приєднується до кулі? Прирівняйте це до відстані вперед, переміщеної кулею (на швидкості\(v_{\text {bullet}}\)), щоб отримати рівняння
   \[v_{\text {bullet }}\left(t_{\text {forward }}+t_{\text {backward }}\right)=t_{\text {forward }}-t_{\text {backward }} \nonumber\]
   або
   \[\left(1+v_{\text {bullet}}\right) \ t_{\text {backward }}=\left(1-v_{\text {bullet}}\right) \ t_{\text {forward }} \label{3}\]
4. Що нам потрібно? Ми хочемо співвідношення між швидкістю кулі,\(v_{\text {bullet }}\) виміряною в рамці Землі, і швидкістю кулі, називаємо його\(v_{\text {bullet }}^{\prime}\) (з простим), як вимірюється в кадрі космічного автобуса. Часи, наведені в частках a, b і c, не приносять користі для цього. Гірше того, ми вже знаємо, що час між подіями, як правило, відрізняється, як вимірюється в кадрі космічного автобуса, ніж часи між тими ж подіями, виміряними в кадрі Землі. Так що позбудьтеся цих часів! Більше того, довжина самого\(L\) космічного автобуса, яка вимірюється в рамці Землі, буде відрізнятися від довжини спокою, виміряної в рамці шини (Розділ 3.5). Так що позбудьтеся\(L\) також. Рівняння\(\eqref{1}\), (3.E.2), і\(\eqref{3}\) можуть розглядатися як три рівняння в трьох невідомих\(t_{\text {forward }}, t_{\text {backward }}\), і\(L\). замінити рівняння для часу\(\eqref{1}\) і (3.E.2) в рівняння\(\eqref{3}\). Пощастило нам: Символ\(L\) скасовується з результату. Показати, що цей результат можна записати
   \[f=\frac{\left(1-v_{\text {bullet }}\right)}{\left(1+v_{\text {bullet }}\right)} \frac{\left(1+v_{\text {rel }}\right)}{\left(1-v_{\text {rel }}\right)} \label{4}\]
5. Тепер повторіть розробку частин a через d для рамки космобуса, щодо якої космобус має свою довжину спокою,\(L^{\prime}\) а куля має швидкість\(v_{\text {bullet }}^{\prime}\) (обидва з простими числами). Покажіть, що результат:
   \[f=\frac{\left(1-v_{\text {bullet }}^{\prime}\right)}{\left(1+v_{\text {bullet }}^{\prime}\right)} \label{5}\]
   Обговорення: Замість того, щоб наполегливо працювати, працюйте розумно! Чому б не використати старі рівняння\(\eqref{1}\) через\(\eqref{4}\) для кадру космобуса? Тому що\(v_{\text {rel }}\) в кадрі космобуса немає відносної швидкості; космобус знаходиться в стані спокою у власному кадрі! Немає проблем: Встановити\(v_{\text {rel }}=0\) рівняння\(\eqref{4}\), замінити\(v_{\text {bullet }}\) на\(v_{\text {bullet }}^{\prime}\) і отримати рівняння\(\eqref{5}\) безпосередньо з рівняння\(\eqref{4}\). Якщо це занадто великий крок, проведіть виведення з самого початку в кадрі космобуса.
6. Чи два дроби\(f\) в рівняннях\(\eqref{4}\) і\(\eqref{5}\) мають однакове значення? У\(\eqref{4}\) рівнянні число\(f\) знаходить місце Фреда в автобусі як частку від загальної довжини автобуса в рамці Землі. У\(\eqref{5}\) рівнянні число\(f\) знаходить місце Фреда в автобусі як частку від загальної довжини автобуса в рамі автобуса. Але ця фракція повинна бути однаковою: Фред не може бути на півдорозі назад у рамці Землі і, скажімо, три чверті шляху назад у кадрі космобуса. Зрівняйте два вирази для\(f\) заданих у рівняннях\(\eqref{4}\)\(\eqref{5}\) і вирішіть для\(v_{\text {bullet }}\) отримання Закону додавання швидкостей:
   \[v_{\text {bullet }}=\frac{v_{\text {bullet }}^{\prime}+v_{\text {rel }}}{1+v_{\text {bullet }}^{\prime} v_{\text {rel }}} \label{6}\]
7. Дослідіть деякі наслідки Закону додавання швидкостей.
   1. Експрес-автобус на Землі рухається зі швидкістю 108 кілометрів/годину (приблизно 67 миль/год або 30 метрів в секунду). Куля рухається вперед зі швидкістю 600 метрів/секунду по відношенню до автобуса. Які значення\(v_{\text {rel}}\) і\(v_{\text {bullet}}^{\prime}\) в метрах/метр? Яке значення їх добутку в знаменнику рівняння\(\eqref{6}\)? Чи збільшує цей твір швидкостей значення знаменника значно над значенням одиниці? Тому яку приблизну форму\(\eqref{6}\) приймає рівняння для повсякденних швидкостей? Це форма, яку ви очікуєте від свого досвіду?
   2. Проаналізуйте приклад, з якого почалася ця вправа: Швидкість кулі по відношенню до\(v_{\text {bullet }}^{\prime}=3 / 4 ;\) швидкості космобуса по відношенню до Землі\(v_{\text {rel }}=3 / 4\). Яку швидкість кулі вимірюють спостерігачі Землі?
   3. \(v_{\text {bullet }}^{\prime}=1\). Бо\(v_{\text {rel }}=\)\(3 / 4\), з якою швидкістю рухається цей світловий спалах, як вимірюється в рамці Землі? Це те, що ви очікуєте від принципу відносності?
   4. Припустимо, світловий спалах запускається з передньої частини автобуса, спрямованого в бік задньої частини\(\left(v_{\text {bullet }}^{\prime}=-1\right)\). Яка швидкість цього світлового спалаху вимірюється в рамці Землі? Це те, що ви очікуєте від принципу відносності?

Довідка: Девід Мермін, Американський фізичний журнал, том 51, сторінки 1130-1131 (1983).

3-12 Експеримент Майкельсона-Морлі

1. Літак рухається зі швидкістю повітря\(c\) (а не швидкістю світла) з точки\(A\) в точку\(B\) на Землі. \(A\)жорсткий вітер швидкості\(v\) дме з\(B\) боку\(A\). (Тільки в цій вправі символ\(v\) позначає швидкість у звичайних одиницях, наприклад метрах/секунду.) Покажіть, що час для поїздки в обидва кінці від\(A\) до\(B\) і назад за цих\(A\) обставин більший на коефіцієнт,\(1 /\left(1-v^{2} / c^{2}\right)\) ніж відповідний час поїздки в обидва кінці в нерухомому повітрі. Парадокс: Вітер допомагає на одній нозі польоту, а також перешкоджає на іншій. Чому, отже, час в обидва кінці не такий же при наявності вітру, як у нерухомому повітрі? Наведіть просту фізичну причину цієї різниці. Що відбувається, коли швидкість вітру майже дорівнює швидкості літака?
2. Той же літак тепер здійснює кругову поїздку між\(A\) і\(C\). Відстань між\(A\) і\(C\) таке ж, як і відстань від\(A\) до\(B\), але лінія від\(A\) до\(C\) перпендикулярна лінії від\(A\) до \(B\), Щоб при переміщенні між\(C\) літаком\(A\) і літаком літав поперек вітру. Покажіть, що час в обидва кінці між цими\(C\) обставинами\(A\) і за цих обставин більший в рази\(1 /\left(1-v^{2} / \tau^{2}\right)^{1 / 2}\), ніж відповідний час в обидва кінці в нерухомому повітрі.
3. Два літака з однаковою швидкістю повітря\(c\) починаються з\(A\) одного і того ж часу. Один подорожує від\(A\) до\(B\) і назад\(A\), летячи спочатку проти, а потім з вітром (швидкість вітру\(v\)). Інший подорожує від\(A\) до\(C\) і назад\(A\), летячи через вітер. Хто з них приїде додому першим, і яка буде різниця у часі їх прибуття? Використовуючи перші два члени біноміальної теореми,
   \[(1+z)^{n} \approx 1+n z \quad \text { for }|z|<<1 \nonumber\]
   показати, що якщо\(v<<c\), то приблизний вираз для цієї різниці в часі\(L\) є\(\Delta t \approx(L / 2 c)(v / c)^{2}\), де відстань між \(A\)і\(B\) (і між\(A\) і\(C\)).
4. Повітряна станція Південного полюса - це депо постачання дослідницьких хатин на колі радіусом 300 кілометрів, зосереджене на повітряній станції. Щопонеділка багато літаків постачання стартують одночасно зі станції і літають радіально у всіх напрямках на одній висоті. Кожен літак скидає припаси та пошту до однієї з дослідницьких хатин і летить прямо додому. Fussbudget з секундоміром стоїть на пагорбі з видом на повітряну станцію. Вона зауважує, що літаки не всі повертаються одночасно. Ця невідповідність дивує її, тому що вона знає з ретельного вимірювання, що
   (1) відстань від повітряної станції до кожної дослідницької хатини однакова,
   (2) кожен літак летить з тією ж швидкістю повітря, як і будь-який інший літак - 300 кілометрів/година-і
   (3) кожен літак подорожує по прямій лінії над землею від станції до хатини і назад.
   Fussbudget остаточно вирішує, що розбіжність обумовлена вітром на великій висоті, на якій літають літаки. Своїм секундоміром вона вимірює час від повернення першого літака до повернення останнього літака, щоб становити 4 секунди. Яка швидкість вітру на тій висоті, де літають літаки? Що може сказати Фуссбюджет про напрямок цього вітру?
5. У своєму знаменитому експерименті Майкельсон і Морлі намагалися виявити так званий ефірний дрейф - рух Землі через «ефір», щодо якого світло повинен був мати швидкість\(c\). Вони порівняли час в обидва кінці, щоб світло проїхав однакові відстані паралельно і перпендикулярно напрямку руху Землі навколо Сонця. Вони відбивали світло вперед і назад між майже паралельними дзеркалами. (Це відповідало б частині,\(\mathrm{c}\) якби кожен літак здійснював повторні поїздки туди й назад.) Таким чином, вони змогли використовувати загальну довжину в обидва кінці 22 метри для кожного шляху. Якщо «ефір» знаходиться в спокої по відношенню до Сонця, і якщо Земля рухається зі швидкістю\(30 \times 10^{3}\) метрів/секунду на своєму шляху навколо Сонця, яка приблизна різниця в часі повернення між світловими спалахами, які випромінюються одночасно і рухаються по двох перпендикулярних шляхах? Навіть з інструментами сьогоднішнього дня різниця, передбачена гіпотезою дрейфу ефіру, була б занадто малою для безпосереднього вимірювання, і замість цього використовувався наступний метод.
6. Оригінальний інтерферометр Майкельсона-Морлі наведений на малюнку. Майже монохроматичне світло (світло однієї частоти) надходить через об'єктив при\(a\). Деяка частина світла відбивається наполовину посрібленим дзеркалом на,\(b\) а решта світла продовжується до\(d\). Обидва промені відбиваються вперед і назад, поки не досягнуть дзеркал\(e\) і\(e_{1}\) відповідно, де кожен промінь відбивається назад на себе і повторно простежує свій шлях до дзеркала\(b\). У дзеркала\(b\) частини кожного променя об'єднуються, щоб увійти в телескоп\(f\) разом. Прозорий шматок скла при\(c\), тих же розмірів, що і напівпосріблене дзеркало\(b\), вставляється так, щоб обидва променя проходили однакову кількість разів (три рази) через цю товщину скла на шляху до телескопа\(f\). Припустимо, що перпендикулярні довжини шляху точно рівні і прилад знаходиться в стані спокою по відношенню до ефіру. Тоді монохроматичне світло від двох шляхів, які залишають дзеркало\(b\) в деякій відносній фазі, повернеться до дзеркала\(b\) в тій же фазі. За цих обставин хвилі, що надходять у телескоп,\(f\) додадуть гребінь до гребеня, і зображення в цьому телескопі буде яскравим. З іншого боку, якщо один з променів був затриманий час, відповідний половині періоду світла, то він прибуде до дзеркала через\(b\) півперіоду і хвилі, що надходять у телескоп, скасуються (гребінь до корита), тому зображення в телескопі буде темним. Якщо один промінь затримується на час, відповідний одному цілому періоду, зображення телескопа буде яскравим і так далі. Який час відповідає одному періоду світла? Майкельсон і Морлі використовували натрієве світло довжиною хвилі 589 нанометрів (один\(10^{-9}\) нанометр дорівнює метру). Використовуйте рівняння\(f \lambda=c\) і\(f=1 / T\) які стосуються частоти\(f\), періоду\(T\)\(\lambda\), довжини хвилі та швидкості\(c\) електромагнітної хвилі. Покажіть, що один період світла натрію відповідає приблизно\(2 \times 10^{-15}\) секундам.
   Тепер немає можливості «вимкнути» передбачуваний дрейф ефіру, налаштувати апарат, а потім знову включити передбачуваний дрейф ефіру. Замість цього Майкельсон і Морлі плавали свій інтерферометр у пулі ртуті і повільно обертали його навколо свого центру, як запис фонографа, спостерігаючи за зображенням у телескопі (див. Малюнок). Таким чином, якщо світло затримується на будь-якому шляху, коли прилад орієнтований в певному напрямку, світло на іншому шляху буде затримуватися на ту ж кількість часу, коли прилад повернувся на 90 градусів. Отже, загальна зміна часу затримки між двома шляхами, що спостерігаються при обертанні інтерферометра, повинна бути вдвічі більшою різницею, розрахованою за допомогою виразу, отриманого частково\(c\). За допомогою уточнень цього методу Майкельсон і Морлі змогли показати, що зміна часу між двома шляхами при обертанні інструменту відповідала менш ніж одній сотій частині зсуву від одного темного зображення в телескопі до наступного темного зображення. Покажіть, що цей результат передбачає, що рух ефіру на поверхні Землі - якщо він взагалі існує - становить менше однієї шостої швидкості Землі на її орбіті. Щоб виключити можливість того, що ефір протікає повз Сонця з тією ж швидкістю, що і Земля рухалася своєю орбітою, вони повторювали експеримент з інтервалом у три місяці, завжди з негативними результатами.

   

   Малюнок\(\PageIndex{7}\): Інтерферометр Майкельсона-Морлі встановлений на обертовій мармуровій плиті.

7. Дискусійне питання: Чи експеримент Майкельсона Морлі сам по собі спростовує теорію про те, що світло поширюється через ефір? Чи можна модифікувати теорію ефіру, щоб погодитися з результатами цього експерименту? Як? Який подальший експеримент можна використовувати для перевірки модифікованої теорії?

Довідка: А.А. Мікельсон та Е.У. Морлі, Американський науковий журнал, том 134, сторінки 333-345 (1887).

3-13 експеримент Кеннеді-Торндайка

Примітка: Частина d цієї вправи використовує елементарне обчислення.

Експеримент Майкельсона - Морлі був розроблений для виявлення будь-якого руху Землі щодо гіпотетичної рідини - ефіру - середовища, в якій світло повинен був рухатися з характерною швидкістю\(c\). Такого відносного руху землі і ефіру не виявлено. Частково в результаті цього експерименту поняття ефіру з тих пір було відкинуто. У сучасному уявленні світло не вимагає середовища для своєї передачі. Яке значення має негативний результат експерименту Майкельсона-Морлі для нас, які не вірять в ефірну теорію поширення світла? Просто так:
(1) Швидкість світла в обидва кінці, виміряна на землі, однакова в кожному напрямку - швидкість світла ізотропна.
(2) Швидкість світла є ізотропною не тільки тоді, коли Земля рухається в одному напрямку навколо Сонця в, скажімо, січні (назвіть Землю цим рухом «лабораторним кадром»), але і коли Земля рухається в протилежному напрямку навколо Сонця через півроку, в липні (назвіть Землю цим рухом «ракетою») .
(3) Узагальнення цього результату до будь-якої пари інерційних кадрів у відносному русі міститься в твердженні: Швидкість світла в обидва кінці є ізотропною як в лабораторному кадрі, так і в рамі ракети.
Цей результат залишає важливе питання без відповіді: чи має швидкість світла в обидва кінці - яка є ізотропною як в лабораторних, так і в рамах ракет - також має однакове числове значення в лабораторних та ракетних рамах? Припущення про те, що ця швидкість має однакове числове значення в обох кадрах, зіграло центральну роль в демонстрації інваріантності інтервалу (розділ 3.7). Але чи справедливо це припущення?

Малюнок\(\PageIndex{8}\): Принципова схема апарату, використовуваного для експерименту Кеннеді- Торндайка. Частини інтерферометра були позначені літерами, відповідними тим, які використовуються при описі інтерферометра Майкельсона-Морлі (Вправа 3-12). Експертні наставники пішли на багато часу, щоб забезпечити оптичну та механічну стабільність свого апарату. Інтерферометр встановлений на пластині з кварцу, яка дуже мало змінює розмір при зміні темпери. Інтерферометр укладений у вакуумну сорочку, щоб зміни атмосферного тиску не змінювали ефективну довжину оптичного шляху плечей інтерферометра (дещо різна швидкість світла при різному атмосферному тиску). Внутрішня вакуумна сорочка оточена зовнішньою водяною сорочкою, в якій вода утримується при температурі, яка змінюється менше\(\pm\) 0,001 градуса Цельсія. Весь апарат, показаний на малюнку, укладений в невелику темну кімнату (не показану) підтримується при постійній температурі в межах декількох сотих градуса. Маленька темна кімната, в свою чергу, укладена в більшу темну кімнату, температура якої постійна в межах декількох десятих градуса. Про загальні розміри апарату можна судити з того, що різниця в довжині двох плечей інтерферометра (довжина eb в порівнянні з довжиною e ₁ b) становить 16 сантиметрів.

1. Експеримент з перевірки припущення про рівність швидкості світла в обох інерційних кадрах у відносному русі був проведений в 1932 році Роєм Кеннеді та Едвардом М. Торндайком. В експерименті використовується інтерферометр з плечами нерівної довжини (див. Малюнок). Припустимо, що одна рука інтерферометра\(\Delta l\) довша за іншу руку. Покажіть, що спалах світла, що надходить в апарат, займе час\(2 \Delta l / c\) довше, щоб завершити поїздку в обидва кінці уздовж довшої руки, ніж уздовж коротшої руки. Різниця в довжині,\(\Delta l\) яку використовували Кеннеді і Торндайк, становила приблизно 16 сантиметрів. Яка приблизна різниця в часі для поїздки в обидва кінці світлового спалаху по альтернативних шляхах?
2. Замість імпульсу світла Кеннеді і Торндайк використовували безперервне монохроматичне світло періоду\(T=1.820 \times 10^{-15}\) секунд (\((\lambda=546.1\)\(=546.1 \times 10^{-9}\)нанометри) від джерела ртуті. Світло, яке проходить довшу руку інтерферометра, повернеться приблизно на скільки періодів\(n\) пізніше, ніж світло, яке проходить коротшу руку? Якщо в реальному експерименті кількість періодів є цілим числом, об'єднане світло з двох рук додасть (від гребеня до гребеня), і поле зору, яке видно через телескоп, буде яскравим. На відміну від цього, якщо в реальному експерименті кількість періодів є половиною цілого числа, возз'єднане світло з двох рук скасується (від гребеня до корита), а поле зору телескопа буде темним.
3. Земля продовжує свій шлях навколо Сонця. Через півроку Земля змінила напрямок своєї швидкості щодо нерухомих зірок. У цій новій системі відліку буде швидкість світла в обидва кінці мати таке ж числове значення\(c\), як у вихідній системі відліку? Можна переписати відповідь на частину b для вихідної системи відліку у вигляді,
   \[c=(2 / n)(\Delta l / T) \nonumber \]
   де\(\Delta l\) різниця в довжині між двома плечами інтерферометра,\(T\) це час протягом одного періоду атомне джерело світла, і\(n\) це кількість періодів, які проходять між поверненням світла на коротший шлях і поверненням світла на довший шлях. Припустимо, що коли Земля обертається навколо Сонця, не спостерігається зсуву в полі зору телескопа від, скажімо, світла до темного. Це означає, що\(n\) спостерігається постійне. Що б цей гіпотетичний результат розповів про числове\(c\) значення швидкості світла? Вкажіть стандарти відстані і часу, що використовуються при визначенні цього результату, як вони фігурують в рівнянні. Кварц має найбільшу стабільність розмірності будь-якого відомого матеріалу. Стандарти атомного часу виявилися найбільш надійними механізмами збереження часу, пов'язані з землею.
4. Для того, щоб провести наш експеримент, викладений у попередніх параграфах, Кеннеді та Торндайку довелося б тримати свій інтерферометр ідеально працює протягом півроку, безперервно обслуговуючи поле зору через телескоп. Безперебійна робота протягом такого довгого часу була нездійсненною. Фактична тривалість їх спостережень варіювалася від восьми днів до місяця. Таких періодів спостереження було кілька при тримісячних часових розлуках. За даними, отриманими в ці періоди, Кеннеді та Торндайк змогли оцінити, що протягом одного шестимісячного спостереження кількість\(n\) періодів відносної затримки буде змінюватися менше, ніж\(3 / 1000\) частка одного періоду. Візьміть диференціал рівняння частково,\(\mathbf{c}\) щоб знайти найбільшу дробову зміну\(d c / c\) швидкості світла в обидва кінці між двома кадрами, узгоджене з цим розрахунковим зміною в\(n\) (кадр 1 - «лабораторний» кадр - і рамка 2 - «ракета» рамковий - знаходиться в даному аналізі саму Землю в два різних пори року, з відносною швидкістю в два рази перевищує швидкість Землі на її орбіті:\(2 \times 30\) кілометри/секунду).

Історична примітка: На момент експерименту Майкельсона Морлі в 1887 році ніхто не був готовий до думки, що фізика - включаючи швидкість світла - однакова в кожній інерційній системі відліку. Відповідно до сьогоднішньої стандартної інтерпретації Ейнштейна здається очевидним, що експерименти Майкельсона-Морлі та Кеннеді-Торндайка повинні дати нульові результати. Однак, коли Кеннеді та Торндайк провели свої вимірювання в 1932 році, дві альтернативи теорії Ейнштейна були відкриті для розгляду (позначені тут як теорія\(A\) та теорія\(B\)). Обидва\(A\) і B припускали стару ідею абсолютного простору, або «ефіру», в якому світло має швидкість\(c\). І A, і B пояснили зсув нульової бахроми в експерименті Майкельсона Морлі тим, що вся матерія, яка рухається зі швидкістю\(v\) (вираженою у частці швидкості світла) щодо «абсолютного простору», зазнає усадки його космічних розмірів у напрямку руху до нового довжина, що дорівнює\(\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}\) старій довжині («гіпотеза скорочення Лоренца-Фіца Джеральда»). Дві теорії відрізнялися щодо впливу «руху через абсолютний простір» на швидкість роботи годинника. Теорія А сказав: Ніякого ефекту. Теорія B говорила, що стандартний секундний годинник, що рухається через абсолютний простір зі швидкістю,\(v\) має час між тиками\(\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}\) секунд. У теорії B відношення\(\Delta l / T\) в рівнянні частково не\(b\) буде впливати на швидкість годинника, а експеримент Кеннеді-Торндайка дасть нульовий результат, як спостерігалося («складне пояснення простого ефекту»). У теорії А відношення\(\Delta l / T\) в рівнянні буде помножено\(\left(1-v_{1}^{2}\right)^{1 / 2}\) на коефіцієнт в той час року, коли «швидкість Землі щодо абсолютного простору» дорівнює\(v_{1}\) і множиться\(\left(1-v_{2}^{2}\right)^{1 / 2}\) на час року, коли ця швидкість дорівнює \(v_{2}\). Таким чином, смуги повинні зміщуватися з однієї пори року\(\left(v_{1}=v_{\text {orbital }}+v_{\text {Sun }}\right)\) в іншу пору року,\(\left(v_{2}=v_{\text {orbital }}-v_{\text {Sun }}\right)\) якщо випадково Сонце не довелося мати «нульову швидкість щодо абсолютного простору» - аварія, оцінена настільки малоймовірною, щоб не дати прийнятного пояснення спостережуваного нулю. ефект. Таким чином, експеримент Кеннеді-Торндайка виключив теорію A (лише скорочення довжини), але дозволив теорію B (скорочення довжини плюс скорочення часу) - а також дозволив набагато простішу теорію Ейнштейна еквівалентності всіх інерційних систем відліку.

«Чутливість» експерименту Кеннеді-Торндайка залежить від розглянутої теорії. У контексті\(A\) теорії спостереження встановили верхню межу близько 15 кілометрів на секунду до «швидкості Сонця через абсолютний простір» (чутливість повідомляється в роботі Кеннеді-Торндайка). У контексті теорії Ейнштейна спостереження говорять про те, що швидкість світла в обидва кінці має однакову чисельну величину - в межах похибки близько 3 метрів/секунду - в інерційних системах відліку, що мають відносну швидкість 60 кілометрів/секунду.

Довідка: Кеннеді та Е.М. Торндайк, Фізичний огляд, том 42, сторінки 400-418 (1932).

3-14 речей, які рухаються швидше, ніж світло

Чи можуть «речі» або «повідомлення» рухатися швидше світла? Чи дійсно відносність говорить «Ні» цій можливості? Вивчіть ці питання далі, використовуючи наведені нижче приклади.

1. Парадокс ножиць. Дуже довгий прямий стрижень, нахилений під кутом\(\theta\) до\(x\) -осі, рухається вниз з рівномірною швидкістю,\(v_{\text {rod }}\) як показано на малюнку. Знайти швидкість\(v_{A}\) точки перетину нижнього\(A\) краю палиці з\(x\) -віссю. Чи може ця швидкість бути більше швидкості світла? Якщо так, то для яких значень кута\(\theta\) і чи\(v_{\text {rod }}\) відбувається це? Чи\(A\) можна використовувати рух точки перетину для передачі повідомлення швидше, ніж світло від когось на початку до когось далеко на\(x\) осі?

   

   Малюнок\(\PageIndex{8}\): Чи може точка перетину A рухатися зі швидкістю,\(v_{A}\)  більшою за швидкість світла?

2. Передача молоткового імпульсу. Припустимо, той же стрижень спочатку знаходиться в стані спокою в лабораторії з точкою перетину спочатку у початку. Область стрижня, зосереджена у початку, різко наноситься удару молотка вниз. Точка перетину рухається вправо. Чи може цей рух точки перетину використовуватися для передачі повідомлення швидше, ніж швидкість світла?
3. Прожектор Messenger? Дуже потужний прожектор швидко обертається таким чином, що його промінь змітає плоску площину. Спостерігачі\(A\) і\(B\) знаходяться в стані спокою в літаку і на однаковій відстані від прожектора, але не поруч один з одним. Наскільки далеко від прожектора повинен\(A\) і\(B\) знаходитися для того, щоб промінь прожектора змітався від\(A\) до\(B\) швидше, ніж світловий сигнал міг проїхати від\(A\) до\(B\)? Перш ніж вони зайняли свої позиції, двом спостерігачам дали наступну інструкцію:
   До\(A\): «Коли ви бачите прожекторний промінь, стріляйте кулею»\(B\).
   До\(B\): «Коли ви бачите прожекторний промінь, качка, тому що\(A\) вистрілив кулю в вас».
   За цих обставин чи попереджувальне повідомлення подорожувало від А до Б зі швидкістю швидше, ніж у світла?
4. Швидкість запису осцилографа. Виробник осцилографа стверджує, що швидкість запису (швидкість, з якою яскрава пляма рухається по екрану), що перевищує швидкість світла. Чи можливо це?

3-15 в чотири рази більше швидкості світла?

Ми дивимося на захід через Сполучені Штати і бачимо ракету, що наближається до нас зі швидкістю світла в чотири рази.

Примітка

Як це може бути, так як ніщо не рухається швидше світла?

Ми не говорили, що ракета рухається швидше, ніж світло; ми сказали лише, що бачимо, як вона рухається швидше, ніж світло.

Ось що відбувається: Ракета пролітає під мостом Золоті Ворота в Сан-Франциско, випромінюючи спалах світла, який освітлює ракету, міст та околиці. \(\Delta t\)Пізніше ракета нитки арки шлюзу в Сент-Луїсі, що вшановує початкову точку для критих вагонів. Арка і набережна річки Міссісіпі затоплюються другим спалахом світла. Верхня цифра - це наочне резюме вимірювань з нашої континентальної решітки годинників, знятих в цей момент.

Тепер ракета продовжується до нас, коли ми стоїмо в Нью-Йорку. Центральна фігура підсумовує дані, прийняті, коли перший спалах збирається увійти в наше око. Спалах 1 показує нам ракету, що проходить під мостом Золоті Ворота. Через мить спалах 2 показує нам ракету, що проходить через арку шлюзу.

1. Відповідайте на наступні питання, використовуючи символи з перших двох фігур. Зображення, перенесені двома спалахами, показують ракету, наскільки далеко один від одного в космосі? Який проміжок часу між нашим прийомом цих двох зображень? Тому яку видиму швидкість наближається ракети ми бачимо? Для якої швидкості\(v\) ракети видима швидкість наближення дорівнює в чотири рази швидкості світла? Для якої швидкості ракети ми бачимо, що наближається ракета рухається зі швидкістю світла в 99 разів?
2. Наш друг у Сан-Франциско глибоко розчарований. Дивлячись на схід, вона бачить відступаючу ракету, що рухається з менш ніж половиною швидкості світла (нижня цифра). Вона кричить: «Хто з нас помиляється?» «Ні один». - відповідаємо ми. «Якою б високою не була швидкість\(v\) ракети, ви ніколи не побачите, як вона рухається безпосередньо від вас зі швидкістю, що перевищує половину швидкості світла».
   Використовуйте нижню фігуру, щоб вивести вираз для видимої швидкості спаду ракети. Коли ми в Нью-Йорку бачимо, що ракета наближається в чотири рази більше швидкості світла, з якою швидкістю наш друг Сан-Франциско бачить, як вона віддаляється від неї? Коли ми бачимо, що швидша ракета наближається зі швидкістю світла в 99 разів, яку швидкість спаду вона бачить?

Малюнок\(\PageIndex{10}\): Верх: Ракета спрямована на схід, показана в той момент, коли вона проходить під аркою шлюзу в Сент-Луїсі і випромінює спалах 2. Ракета переслідує спалах 1, випущений раніше, коли вона проходила під мостом Золоті Ворота в Сан-Франциско. Центр: Два зображення, що несуть спалахи, знаходяться близько один до одного, тому вони швидко потрапляють в око. Це створює глядачеві візуальне враження, що ракета перемістилася з Сан-Франциско в Сент-Луїс за дуже короткий час. Внизу: Ракета прямувала на схід, показана в той момент, коли вона наближається до Емпайр-Стейт-Білдінг в Нью-Йорку і випромінює спалах 3. Коли ракета віддаляється від глядача, відстань руху ракети додається до поділу між спалахами. Це збільшує батьківський час між спалахами, створюючи глядачеві враження, що ракета рухалася з Сент-Луїса в Нью-Йорк з менш ніж половиною швидкості світла.

3-16 надсвітове розширення квазара 3C273?

Найпотужнішими джерелами енергії, які ми знаємо або уявляємо або бачимо у всьому Всесвіті, є так звані квазізоряні об'єкти, або квазари, зоряні джерела світла, розташовані на відстані мільярдів світлових років. Незважаючи на те, що він набагато менший за будь-яку галактику, типовий квазар вдається випустити більше, ніж у 100 разів більше енергії, ніж наш власний Чумацький Шлях, зі своїми сотнями мільярдів зірок. Квазари, неперевершені по блиску і віддаленості, ми вважаємо сьогодні маяками небес.

Однією з основних проблем, пов'язаних з квазарами, є те, що деякі складаються з двох або більше компонентів, які, здається, відокремлюються один від одного з відносною швидкістю, більшою за швидкість світла («надсвітлова» швидкість). Одна теорія, яка допомагає пояснити цей ефект, зображує квазар як ядро, яке викидає струмінь плазми з релятивістською швидкістю. Порушення або нестабільності в такому струмені з'являються у вигляді дискретних «вузлів» плазми. Рух та випромінювання світла від вузла можуть пояснювати його очевидну швидкість, більшу, ніж світло, як показано на першому малюнку.

Малюнок\(\PageIndex{11}\): перша цифра. Зліва: Яскравий «вузол» плазми, викинутої з квазара на великій швидкості,\(\mathrm{v}\) випромінює перший спалах світла у бік Землі. Праворуч: Вузол випромінює другий спалах світла до Землі\(\Delta \mathrm{t}\) через час. Цей час\(\Delta \mathrm{t}\) вимірюється локально біля вузла, використовуючи пов'язану з Землею решітку стрижнів і годинників (бар! бар!).

1. На першому малюнку показані дві спрямовані на Землю світлові спалахи, що випромінюються з смугастого вузла. Час між викидами вимірюється локально біля вузла, використовуючи пов'язану з Землею решітку стрижнів і годинників.\(\Delta t\) Звичайно, показання годинника на цій частині решітки, пов'язаної із Землею, недоступні нам на Землі; тому ми не можемо вимірювати\(\Delta t\) безпосередньо. Швидше, ми бачимо часовий розрив між прибуттями двох спалахів на Землю. З малюнка покажіть, що це видиме Землею поділ часу\(\Delta t_{\text {seen }}\) дається виразом
   \[\Delta t_{\text {seen }}=\Delta t(1-v \cos \theta) \nonumber\]
2. У нас є ще одна інвалідність у перегляді вузла з Землі. Ми не бачимо руху вузла до нас, тільки видимий рух вузла через наше поле зору. Знайдіть вираз для цього поперечного руху (називайте його\(\Delta x_{\text {seen }}\)) між випромінюваннями двох світлових спалахів в терміні\(\Delta t\).
3. Тепер розрахуйте швидкість\(v_{\text {seen }}^{x}\) руху вузла вправо, як видно на Землі. Показати, що результат
   \[v_{\text {seen }}^{x}=\frac{\Delta x_{\text {seen }}}{\Delta t_{\text {seen }}}=\frac{v \sin \theta}{1-v \cos \theta} \nonumber\]
4. Яке значення має,\(v_{\text {seen }}^{x}\) коли вузол випромінюється в напрямку саме до Землі? коли він випромінюється перпендикулярно цьому напрямку? Знайдіть вираз, що дає діапазон кутів\(v_{\text {seen }}^{x}\),\(\theta\) для яких більше швидкості світла. Для\(\theta=45\) градусів, який діапазон швидкостей вузлів\(v\) такий,\(v_{\text {seen }}^{x}\) що більше, ніж швидкість світла?
5. Якщо ви знаєте числення, знайдіть вираз для кута,\(\theta_{\max }\) при якому\(v_{\text {seen }}^{x}\) має своє максимальне значення для заданої швидкості вузла\(v\). Показати, що цей кут задовольняє рівнянню\(\cos \theta_{\max }=v\). Незалежно від того, отримуєте ви цей результат чи ні, використовуйте його, щоб показати, що максимальна видима поперечна швидкість розглядається як
   \[v_{\text {seen, } \max }^{x}=\frac{v}{\left(1-v^{2}\right)^{1 / 2}} \nonumber\]
6. Яка ця максимальна поперечна швидкість спостерігається на Землі, коли\(v=0.99\)?
7. На другому малюнку показана картина радіовипромінювання від квазара\(3 C 273\). Зменшений період випромінювання від цього джерела (Вправа 3-10) показує, що він знаходиться приблизно в\(2.6 \times 10^{9}\) світлових роках від Землі. Вторинне джерело, мабуть, віддаляється від центрального квазара. Зробіть власні виміри по фігурі. Поєднайте це з даними з підпису малюнка, щоб показати, що видима швидкість поділу перевищує швидкість світла в 9 разів.
   Примітка: Станом на 1990 рік очевидний рух більшої швидкості («надлюмінний») спостерігався приблизно в 25 різних джерелах.

Малюнок\(\PageIndex{12}\): друга цифра. Контурні лінії радіовипромінювання з квазара 3С273 показують яскравий «вузол» плазми, мабуть, віддаляється від нього зі швидкістю, більшою за швидкість світла. Час кожного зображення задається як календарний рік і десятковий дріб. Горизонтальні поділи шкали знаходяться в одиницях 2 milli дугових секунд. (1 milli дугового другого\(=10^{-3} / 3600\) ступеня\(=4.85 \times 10^{-9}\) радіана)

Посилання: Аналіз та перша фігура, адаптована з Деніз Габузди, Американський фізичний журнал, Том 55, сторінки 214-215 (1987). Друга фігура та дані взяті з Т. Дж. Пірсон, С.К. Унвін, М. Х. Коен, Р.П. Лінфілд, А.С. Редхед, Г.А. Seielstad, Р.С. Саймон, і Р.К. Уокер, Природа, Том 290, сторінки 365-368 (2 квітня 1981).

3-17 Скорочення або обертання?

Куб в стані спокою в рамі ракети має ребро довжиною 1 метр в цій рамці. У лабораторному кадрі куб Лоренца стискається в напрямку руху, як показано на малюнку. Визначте це стиснення Лоренца, наприклад, з місць розташування чотирьох годин у спокої та синхронізованої в лабораторії решітки, з якою чотири кути куба, збігаються\(E, F, G\)\(H\), коли всі чотири годинники читають один і той же час. Цей гратчастий вимір виключає часові відставання в подорожі світла з різних кутів куба.

Тепер за іншою процедурою спостереження! Встаньте в лабораторну рамку і подивіться на куб одним оком, як куб проходить над головою. Те, що хтось бачить у будь-який час, - це світло, яке потрапляє в око в той час, навіть якщо воно залишало різні кути куба в різний час. Отже, те, що бачить візуально, може бути не таким, як те, що спостерігається за допомогою решітки годинників. Якщо куб дивитися знизу, то відстань\(G O\) дорівнює відстані\(H O\), так світло, що йде\(G\) і\(H\) одночасно буде надходити\(O\) одночасно. Отже, коли хтось побачить куб над головою, ви побачите стиснення Лоренца нижнього краю.

1. Світло від\(E\) того, що надходить\(O\) одночасно зі світлом, від\(G\) доведеться піти\(E\) раніше, ніж світло\(G\) зліва\(G\). Наскільки раніше? Як далеко куб перемістився за цей час? Яке значення відстані\(x\) в правому верхньому малюнку?
2. Припустимо, око інтерпретує проекцію на фігурах як обертання куба, який не стискається Лоренцем. Знайдіть вираз для кута видимого\(\phi\) повороту цього нескороченого куба. Інтерпретувати цей вираз для двох граничних випадків швидкості куба в лабораторному кадрі:\(v \rightarrow 0\) і\(v \rightarrow 1\).
3. Дискусійне питання: Чи є слово «дійсно» відповідним словом у наступних цитатах?
   (1) Спостерігач, який використовує ракетну решітку годинника, каже: «Стаціонарний куб насправді ні обертається, ні стискається».
   (2) Хтось, хто їде в ракеті, хто дивиться на нерухомий куб, погоджується: «Куб насправді ні обертається, ні стискається».
   (3) Спостерігач, який використовує лабораторну решітку годинника, каже: «Прохідний куб дійсно Лоренц скоротився, але не обертається».
   (4) Хтось, хто стоїть у лабораторному кадрі, дивлячись на прохідний куб, каже: «Куб дійсно обертається, але Лоренц не скоротився».
   Що можна по праву сказати - у реченні або двох - щоб змусити кожного спостерігача вважати розумним, щоб інші спостерігачі прийшли до різних висновків?
4. Аналіз частин b і c передбачає, що зоровий спостерігач дивиться одним оком і не має глибинного сприйняття. Як куб, що проходить над головою, буде сприйматися глядачем при точному сприйнятті глибини?

Малюнок\(\PageIndex{13}\): Ліворуч: Положення ока візуального спостерігача спостерігає за кубом, що проходить над головою. Справа вгорі: Те, що бачить візуальний спостерігач, коли вона дивиться знизу. Справа внизу: Як візуальний спостерігач може інтерпретувати проекцію другої фігури.

Довідка: Для більш повного розгляду цієї теми див. Едвін Тейлор, Вступна механіка (Джон Уайлі та сини, Нью-Йорк, 1963), сторінки 346-360.