Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

3.8: Інваріантність інтервалу для всіх фреймів із вільним плаванням

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    77412

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    супер-ракетний спостерігач приєднується до угоди

    Інтервал між двома подіями має однакове значення для всіх можливих відносних швидкостей перекриття фреймів із вільним плаванням. Як приклад цього твердження розглянемо третю раму з вільним поплавком, що рухається з різною швидкістю по відношенню до лабораторної рами - швидкість, відмінна від швидкості рами ракети.

    Ми тепер вимірюємо ті ж події випромінювання і прийому від «супер-ракети кадру», що рухається швидше ракети (але не швидше світла!) уздовж лінії між подіями\(E\) і\(R\) (рис. 3.7.2, сюжет суперракети). Для зручності влаштовуємо, що еталонний годинник цього кадру також збігаються з еталонними годинами двох інших кадрів на заході\(E\). 1

    Події\(E\) і\(R\) відбуваються в одному і тому ж місці в рамі ракети. Між цими двома подіями суперракета рухається вправо по відношенню до ракети. В результаті спостерігач суперракети фіксує подію\(R\) як відбувається зліва від події емісії. Як далеко ліворуч? Це залежить від відносної швидкості суперракети кадру.

    Супер-ракета не супер-розмір; скоріше вона має супер-швидкість. Налаштовуємо цю супер-швидкість так, щоб прийом відбувався на 20 метрів зліва від випромінювання для спостерігача суперракети. Тоді спалах світла, який піднімається вертикально в ракеті, повинен пройти ті ж 3 метри вгору в суперракеті, але також на 10 метрів вліво, коли вона нахиляється до дзеркала. Звідси відстань, яку він проходить до дзеркала в надракетному кадрі, дорівнює довжині гіпотенузи,\(10.44\) метрів:

    \[\begin{align*} (3 \text { meters})^{2}+(10 \text { meters})^{2} &=9 \text { meters}^{2}+100 \text { meters}^{2}=109 \text { meters}^{2} \\ &=(10.44 \text { meters})^{2} \end{align*}\]

    Він повинен проїхати ще\(10.44\) метри, коли він нахиляється вниз і вліво до події прийому. Загальна пройдена відстань дорівнює\(20.88\) метрам. Звідси випливає, що загальний проміжок часу між\(E\) і\(R\) дорівнює\(20.88\) метрам часу руху світла для суперракети спостерігача.

    Швидкість надракети дуже висока. Як результат, розділення простору між випромінюванням і прийомом дуже велике. Але тоді поділ часу теж дуже великий. Більш того, величина часового поділу ідеально підібрана під розмір поділу простору. Як наслідок, конкретна величина, рівна різниці їх квадратів, має значення (6 метрів) 2, незалежно від того, наскільки великим може бути поділ простору та поділ часу окремо. Для суперракетного каркаса:

    \[\begin{align*} (20.88 \text { meters})^{2}-(20 \text { meters})^{2} &=436 \text { meters}^{2}-400 \text { meters}^{2}=36 \text { meters}^{2} \\ &=(6 \text { meters})^{2} \end{align*}\]

    Незважаючи на різницю розділення простору, що спостерігається в трьох кадрах\((0\) метрів для ракети, 8 метрів для лабораторії, 20 метрів для надракети) і різниці в часі поділу (6 метрів для ракети, 10 метрів для лабораторії,\(20.88\) лічильники для супер-ракета), інтервал між двома подіями має однакове значення для всіх трьох спостерігачів:

    Загалом:\(( \text {time separation})^{2}-( \text { space separation})^{2}=( \text { interval})^{2}\)

    Рама ракети:\((6 \text { meters})^{2}-(0 \text { meters})^{2}=(6 \text { meters})^{2}\)

    Лабораторний каркас:\((10 \text { meters})^{2}-(8 \text { meters})^{2}=(6 \text { meters})^{2}\)

    Супер-ракета кадру:\((20.88 \text { meters})^{2}-(20 \text { meters})^{2}=(6 \text { meters})^{2}\)

    fig-ch01_patchfile_01.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): (повторюється). Лабораторний сюжет шляху світлового спалаху.

    Спостерігач лабораторії відстежує час між спалахом та його прийомом як 10 метрів, у загальній розбіжності з 6 метрами часового інтервалу, який він фігурує між цими двома подіями. Спостерігач в суперракетному кадрі відзначає ще більшу невідповідність,\(20.88\) метри її часу проти 6 метрів часового інтервалу. Тільки для спостерігача ракети годинник узгоджується з інтервалом. Чому? Тому що тільки вона бачить прийом на тому ж місці, що і емісію.

    Інваріантність інтервалу можна побачити з першого погляду на рис\(\PageIndex{1}\). Гіпотенуза першого прямокутного трикутника має довжину, рівну половині часового поділу між\(E\) і\(R\). Його основа має довжину, рівну половині поділу простору. Сказати, що (поділ часу) 2 - (розділення простору) 2 має стандартне значення, а отже, стверджувати, що (половина поділу часу) 2 - (половина поділу простору) 2 має стандартне значення, просто сказати, що висота цього права трикутник має фіксовану величину\((3\) метрів на схемі) для ракети і всіх надракетних кадрів, незалежно від того, наскільки швидко вони рухаються. І ця висота має довжину, рівну половині інтервалу між цими двома подіями. 2

    Приклад\(\PageIndex{1}\): The K+ Meson

    Промінь (нестійких)\(K^{+}\) мезонів, що рухається зі швидкістю\(v=0.868\), проходить через два лічильника на відстані 9 метрів один від одного. Частинки зазнають незначних втрат швидкості та енергії при проходженні через лічильники швидкості та енергії при проходженні через лічильники, але дають електричні імпульси, які можна підрахувати. Перший лічильник записує 1000 імпульсів (1000 проходять частинок); другий записує 250 підрахунків (250 проходять частинок). Це зниження виникає практично повністю від розпаду частинок в польоті. Визначте період напіврозпаду\(K^{+}\)  мезона у власному кадрі спокою.

    Рішення

    Нестабільні частинки різного роду розпадаються з різною швидкістю. За визначенням, період напіврозпаду нестійких частинок конкретного виду вимірює час часток наручного годинника, протягом якого - в середньому - половина частинок розпадається. Половина інших частинок розпадається в додатковий проміжок часу, рівний тому ж періоду напіврозпаду, і так далі. При цьому одна чверть\(K^{+}\) частинок залишається після переходу від зустрічного до лічильника. Тому частинки, які виживають, переживають проходження двох періодів напіврозпаду між лічильником і лічильником. Ми робимо інтервал між цими двома уривками, цими двома подіями, центром нашої уваги, тому що він має те саме значення в лабораторному кадрі, де ми робимо наші вимірювання, як це робиться у вільному обсязі представницької частинки.

    Ключовий камінь аргументу, що встановлює інваріантність інтервалу між двома подіями для всіх фреймів з вільним плаванням? Принцип відносності, згідно з яким немає різниці в законі фізики між одним вільним плаваючим кадром і іншим. Цей принцип показував тут двома дуже різними способами. По-перше, було сказано, що відстані під прямим кутом до напрямку відносного руху реєструються однаковою величиною в лабораторному каркасі і рамі ракети (розділ 3.6). В іншому випадку один кадр можна було б відрізнити від іншого як той, що має менші перпендикулярні відстані. 3

    По-друге, Принцип відносності вимагав, щоб швидкість світла була такою ж в лабораторному кадрі, як і в рамі ракети. Швидкість однакова, той факт, що шлях переміщення світла в лабораторному кадрі (гіпотенуза двох трикутників) довший, ніж простий шлях в обидва кінці в рамі ракети (висоти цих двох трикутників: вгору 3 метри і знову вниз) безпосередньо передбачає більш тривалий час в лабораторному кадрі, ніж в раму ракети.

    Коротше кажучи, один елементарний трикутник на малюнку\(\PageIndex{1}\) відображає чотири великі ідеї, які лежать в основі всієї особливої відносності: інваріантність перпендикулярної відстані, інваріантність швидкості світла, залежність поділу простору та часу від рамки відліку та інваріантність інтервалу.

    1 Супер-ракета: однаковий інтервал між подіями

    2 Інваріантність інтервалу від інваріантності поперечної розмірності

    3 Основи інваріантності інтервалу: принцип відносності