3.7: Доведено інваріантність інтервалу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77422

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

лабораторні та ракетні спостерігачі домовляються про щось важливе

Принцип відносності має головний наслідок. Він вимагає, щоб просторово-часовий інтервал мав те саме значення, яке вимірюється спостерігачами у кожному перекривається кадрі вільного плавання; коротко кажучи, він вимагає «інваріантності інтервалу». ¹ Доказ? План атаки: Визначте поділ в просторі і поділ в часі між двома подіями,\(E\) і\(R\), в рамі ракети. Потім визначте зовсім різні проміжні та часові поділи між тими ж двома подіями, що вимірюються у вільному плаваючому лабораторному кадрі. Тоді шукайте - і знайдіть - те, що є інваріантним. Він є «інтервалом». Тепер про деталі (фігурки\(\PageIndex{1}\) і\(\PageIndex{2}\)).

Подія, яку\(E\) ми приймаємо як еталонна подія, випромінювання спалаху світла від центральної лабораторії та еталонних годинників ракет, оскільки вони збігаються в нуль часу (Розділ 2.6). Шляхи цієї спалаху відстежуються за допомогою годинника запису в решітці ракети. Їдемо з ракетою, оглядаємо ту частину спалаху, яка летить прямо «вгору» на 3 метри до дзеркала. Там він відбивається прямо вниз до фотоприймача, розташованого на нашому контрольному годиннику ракети, де він приймається і записується. Акт прийому являє собою другу подію, яку ми розглядаємо. Ця подія\(R\), знаходиться на початку ракетного космічного простору, в тому ж місці, що і подія викиду\(E\). Тому для спостерігача ракети розділення простору між подією\(E\) і подією\(R\) дорівнює нулю.

Яке часове розмежування між подіями\(E\) і\(R\) в рамі ракети? Світло рухається на 3 метри до дзеркала і 3 метри знову вниз, загалом відстань 6 метрів. При «стандартній» швидкості світла 1 метр відстані на метр світлового часу, спалах займає загалом 6 метрів часу для завершення поїздки в обидва кінці. Підсумовуючи, для спостерігача ракети подія прийому\(R\), відокремлена від події викиду\(E\), нульовими метрами в просторі та 6 метрів у часі.

Які проміжні та часові поділи подій\(E\) і\(R\) виміряні у вільному плавучому лабораторному кадрі? Як вимірюється в лабораторії, ракета рухається з великою швидкістю вправо (рисунки\(\PageIndex{1}\) і\(\PageIndex{2}\)). Ракета йде так швидко, що проста вгору-вниз доріжка світла в рамі ракети з'являється в лабораторії, щоб мати профіль намету, з його правого кута - місце прийому світла - 8 метрів праворуч від початкової точки.

Ділянка шляху спалаху, як записано в лабораторному кадрі. — **Малюнок\(\PageIndex{1}\): Графік шляху спалаху, записаний в лабораторному кадрі**. Час прогресує знизу вгору: Добре розпочато: спалах (представлений у вигляді зірочки) був випущений (подія\(\mathrm{E}\)) з рухомого ракетного годинника (показаного у вигляді кола), який збігся з лабораторним годинником (показано у вигляді квадрата). **Досягнення дзеркала** та **домашньої розтяжки**: Спалах досягає дзеркала і відбивається від нього. Дзеркало рухається разом з годинником ракети. **Готово**: спалах приймається (подія R) назад на той же ракетний годинник, який перемістився в лабораторному кадрі, щоб збігатися з другим лабораторним годинником. \(\PageIndex{2}\)На малюнку показана траєкторія одного спалаху в трьох різних кадрах вільного плавання.

Коли відбувається подія прийому, проходити\(R\), як прописані в лабораторному кадрі? Відзначимо, що він виникає в момент 6 метрів в рамі ракети. Все, що ми знаємо про повсякденні події, спонукає нас сказати: «Чому, очевидно, це відбувається через 6 метрів часу і в лабораторному кадрі». Але ні. Більш обов'язковими, ніж упереджені очікування, є вимоги Принципу відносності. Серед цих вимог жоден з них не займає вище цього: швидкість світла має стандартне значення 1 метр відстані за 1 метр часу руху світла в кожному кадрі вільного плавання.

Малюнок\(\PageIndex{3}\) пробиває нас в око з цією точкою: Світловий спалах рухається далі, як записано в лабораторному кадрі, ніж записано в рамі ракети. Перпендикулярна «висота» дзеркала від лінії, по якій рухається контрольний годинник ракети, має таке ж значення в лабораторному кадрі, як і в рамі ракети незалежно від того, наскільки швидко ракета рухається, - як показано в розділі 3.6. Тому на своєму похилому шляху до дзеркала і від нього спалах повинен охоплювати більшу відстань в лабораторному кадрі, ніж у рамі ракети. Більше пройденої відстані означає більше часу, необхідного при «стандартній» швидкості світла. ² Робимо висновок, що час між подіями\(E\) і\(R\) більше в лабораторному кадрі, ніж в рамі ракети - приголомшливий результат, який стояв фізика на вухо при першому запропонованому. Виходу немає.

У лабораторному кадрі спалах повинен йти «вгору» на 3 метри, як і раніше, і «вниз» знову на 3 метри. Але крім того, він повинен пройти 8 метрів вправо: 4 метри вправо, піднімаючись, щоб вдарити дзеркало, і ще 4 метри вправо, знову падаючи на рецептор. Теорема Піфагора, застосована до правильних трикутників малюнка\(\PageIndex{3}\), говорить нам, що кожна похила ніжка поїздки має довжину 5 метрів:

\[(3 \text { meters })^{2}+(4 \text { meters })^{2}=(5 \text { meters })^{2} \nonumber\]

**Малюнок\(\PageIndex{1}\)**: Графіки шляху в просторі відбитого спалаху світла, виміряного в трьох різних кадрах, що показують подію\(\mathrm{E}\), випромінювання спалаху та подію\(\mathrm{R}\), її прийом після відображення. Квадрати, кола і трикутники являють собою ґратчароботи запису годин в лабораторних, ракетних і надракетних кадрах відповідно. Рама суперракети рухається вправо по відношенню до ракети, і з такою відносною швидкістю, що подія прийому\(\mathrm{R}\), відбувається зліва від події викиду\(\mathrm{E}\), як вимірюється в надракетному кадрі. Дзеркало, що відбиває, закріплено в ракеті, звідси з'являється переміщення зліва направо в лабораторії і справа наліво в надракеті.

**Малюнок**\(\PageIndex{1}\): **Лабораторний сюжет шляху світлового спалаху**. Спалах піднімається на 3 метри, в той час як він рухається вправо на 4 метри. Потім він падає на 3 метри, коли рухається додаткові 4 метри вправо. З теореми Піфагора загальна довжина шляху спалаху дорівнює 5 метрам плюс 5 метрів або 10 метрів. Тому 10 метрів світлового часу - це поділ у часі між подією випромінювання\(\mathrm{E}\) та подією прийому\(\mathrm{R}\), виміряною в лабораторному кадрі.

При цьому загальна довжина поїздки дорівнює 10 метрам, безумовно більше довжини поїздки туди і назад, 6 метрів, як це спостерігається в рамі ракети. Більше того, світло може охоплювати цю похилу та більшу відстань лише за стандартною швидкістю 1 метр відстані за 1 метр часу легкої подорожі. Тому не уникнути сказати, що час прийому, зафіксований в лабораторному кадрі, дорівнює 10 метрам. Таким чином, існує велика різниця між тим, що записано в двох кадрах (рис.\(\PageIndex{2}\), Лабораторний сюжет і Ракетний сюжет): поділ у часі та просторі між\(E\) випромінюванням імпульсу світла та його прийомом\(R\) після відображення.

Незважаючи на різницю в поділі простору між подіями\(E\)\(R\) та різниця у часі між цими подіями, виміряними в лабораторних та ракетних кадрах, існує міра їх поділу, яка має однакове значення для обох спостерігачів. Це інтервал, обчислений з різниці квадратів поділу часу і простору (табл.\(\PageIndex{1}\)). Для обох спостерігачів інтервал має значення 6 метрів. Інтервал є інваріантом між кадрами з вільним плаванням.

Тут слід побачити два центральних результату, один - дисперсія, інший - інваріантність. Спочатку ми виявляємо, що зазвичай немає і не може бути абсолютної різниці в часі між двома подіями. Різниця в часі залежить від нашого вибору фрейму free float, який інерційний кадр ми використовуємо для запису подій. Не існує такого поняття, як просте поняття універсального і абсолютного поділу в часі.

По-друге, незважаючи на дисперсію між лабораторним кадром і рамою ракети у значеннях, записаних для поділу часу та простору окремо, різниця між подіями: Немає абсолютного часу, але інваріантних інтервальних квадратів цих поділів ідентична, тобто інваріантна щодо вибору опорний кадр. Різниця квадратів, отриманих таким чином, визначає квадрат інтервалу. Сам інваріантний інтервал має значення 6 метрів в даному прикладі. ³

**Таблиця**\(\PageIndex{1}\): Розрахунок просторово-часового інтервалу з ракетно-лабораторних вимірювань
	Вимірювання ракети	Лабораторні вимірювання
Час від випромінювання спалаху до її прийому	6 метрів	10 метрів
Відстань від точки випромінювання спалаху до точки її прийому	0 метрів	8 метрів
Квадрат часу	36 (метрів) ²	100 (метрів) ²
Квадратна відстань і віднімання	- 0 (метрів) ²	- 64 (метрів) ²
Результат віднімання	= 36 (метрів) ²	= 36 (метрів) ²
Це квадрат якого виміру?	6 метрів	6 метрів

Примітка

Зверніть увагу на однаковий просторово-часовий інтервал як для ракетних, так і лабораторних вимірювань.

1 Принцип відносності призводить до інваріантності просторово-часового інтервалу

2 Більша відстань подорожі для світлового спалаху: довший час!

3 Між подіями: Немає абсолютного часу, але інваріантний інтервал