3.6: Інваріантність поперечного виміру

Last updated
Save as PDF

Page ID: 77436

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

«швидше» не означає «тонше» або «жирніше»

Ракетний корабель здійснює багато поїздок повз спостерігача лабораторії, кожен з яких послідовно більшою швидкістю. Для кожної нової і більшої швидкості ракети лабораторний спостерігач вимірює її довжину, щоб бути коротшою, ніж вона була в поїздці раніше. Це спостережуване скорочення є поздовжнім — уздовж його напрямку руху. Чи вимірює лабораторний спостерігач також стиснення в поперечному вимірі, перпендикулярному напрямку відносного руху? Коротше кажучи, чи вимірюється ракета, щоб стати тоншою, а також коротшою, оскільки вона рухається все швидше і швидше?

Відповідь - Ні. Це підтверджується експериментальним шляхом спостереження за шириною пучків електронів і протонів, що рухаються в високоенергетичних прискорювачах. Це також легко демонструється простими думковими експериментами. ¹

Експеримент з думкою швидкісного поїзда: Повернення до швидкісного залізничного поїзда Ейнштейна видно в кінці (рис.\(\PageIndex{1}\)). Припустимо, спостерігач Earthbound вимірює поїзд, щоб стати тоншим, коли він рухається швидше. Тоді для спостерігача Землі праве і ліве колеса поїзда підійшли б все ближче і ближче один до одного, коли поїзд прискорюється, нарешті зісковзнувши між коліями, щоб спричинити жахливу аварію. На відміну від цього, спостерігач поїзда розглядає себе як у спокої, а колії - як швидкісні у зворотному напрямку. Якщо вона вимірює швидкісні колії, щоб наблизитися до зближення, коли вони рухаються швидше і швидше, колеса поїзда зісковзнуть за межі колій, що також призведе до аварії. Але це абсурд: колеса не можуть опинитися між доріжками та поза доріжками за тих же обставин. Висновок: Висока швидкість призводить до відсутності розміреної зміни поперечних розмірів - не спостерігається витончення або відгодівлі швидких предметів. Залишився висновок, що висока відносна швидкість впливає на виміряні значення поздовжніх розмірів, але не поперечних розмірів: бажане спрощення!

**Малюнок**\(\PageIndex{1}\): Дві можливі альтернативи (обидва неправильні!) якщо рухомий поїзд вимірюється, щоб стиснутися поперечно до його напрямку руху. **«Земляний сюжет»** передбачає, що поїзд з перевищенням швидкості вимірюється як стає тоншим зі збільшенням швидкості. Колеса поїзда зісковзнуть між коліями. **«Ділянка поїзда»** тієї ж обставини передбачає, що рейки перевищення швидкості повинні бути виміряні як зближення. У цьому випадку колеса зісковзнуть за межі доріжок. Але це протиріччя. Тому розділення коліс - і поперечні розміри поїзда і колії - повинні бути інваріантними, однаковими для всіх спостерігачів вільного плавання, що рухаються уздовж колії. (Якщо ви думаєте, що фактичне поперечне скорочення може бути занадто малим, щоб спричинити крах для показаного поїзда, припустімо, що і колеса, і колія є краями ножа; той самий аргумент все ще застосовується.)

Speeding-труби думка експеримент: почати з довгою прямою трубою. Один кінець пофарбуйте шаховим малюнком, а інший кінець смужками. Виріжте і відкиньте середину труби, залишивши тільки пофарбовані кінці. Тепер перекиньте кінці назустріч один одному, при цьому їх циліндричні осі лежать уздовж загальної лінії, паралельної напрямку відносного руху (рис.\(\PageIndex{2}\)). Припустимо, що рухомий об'єкт вимірюється, щоб бути тоншим. Тоді хтось їде по шаховій трубі буде спостерігати за смугастою трубою, щоб пройти всередину її циліндра. Всі спостерігачі - всі, хто дивиться збоку - побачать шаховий візерунок. На відміну від цього, хтось їде по смугастій трубі буде спостерігати за шаховою трубою, щоб пройти всередину його циліндра. При цьому всі спостерігачі побачать смугастий візерунок. Знову ж таки, це абсурд: всі спостерігачі повинні бачити смуги, або всі повинні бачити шахову дошку. Єдиний надійний висновок полягає в тому, що швидкість не має вимірного впливу на поперечні розміри, і сегменти труб будуть стикатися на прямому краю. ²

Просте питання призводить до ще більш фундаментального аргументу проти різниці поперечних розмірів об'єкта, що перевищує швидкість, що спостерігається різними спостерігачами вільного плавання у відносному русі: Про яку вісь відбувається стиснення?

Спробуємо визначити «вісь усадки» паралельно напрямку відносного руху. Чи можемо ми стверджувати, що швидкісна труба стає тоншою, рівномірно стискаючись до «осі усадки», що лежить уздовж її центру? Тоді що відбувається, коли два сегменти труб рухаються по їх довжині, пліч-о-пліч як пара? Кожна труба стискається окремо, що призводить до збільшення прозорого простору між ними? Або комбінація обох труб стискається до лінії посередині між ними, що призводить до зменшення прозорого простору між ними? Чи відрізняється відповідь, якщо одна труба виготовлена зі свинцю, а інша - з паперу? Або якщо одна труба цілком в нашій уяві?

Не існує логічно послідовного способу визначення «осі усадки». Враховуючи напрямок відносного руху двох об'єктів, ми не можемо однозначно виділити «вісь усадки» з нескінченної кількості ліній, що лежать паралельно в цьому напрямку. Для кожного різного вибору осі призводить різний шаблон спотворень. Але це логічно нестерпно. Єдиний вихід - зробити висновок, що поперечної усадки взагалі немає (і, за аналогічним аргументом, немає поперечного розширення).

Вищевказаний аналіз призводить до висновків як про події, так і про об'єкти. Безліч вибухів відбувається по периметру шахової труби. Детальніше: Ці вибухи відбуваються одночасно в цьому шаховому каркасі. Тоді ці події одночасні також в смугастому кадрі. Звідки ми знаємо? Симетрією! Бо припустимо, вибухи не були одночасними в смугастому кадрі. Тоді яка з цих подій відбулася б спочатку в смугастому кадрі? Той, що з правого боку труби або той, що з лівого боку труби? А ось «ліву» і «праву» не можна відрізнити за допомогою будь-якого фізичного впливу: кожна труба циліндрично симетрична. Причому простір однаковий у всіх напрямках - простір ізотропний, так само праворуч, як і ліворуч. ³ Тож ні подія з правого боку, ні подія з лівого боку не можуть бути першими. Вони повинні бути одночасними. Такий же аргумент можна зробити і для подій на «вершині» і «знизу» подіях, розділених тільки поперечним відносним рухом труби, і для кожної іншої пари подій на протилежних сторонам труби. Висновок: Якщо вибухи одночасні в шаховому каркасі, вони також повинні бути одночасними в смугастому каркасі.

**Малюнок**\(\PageIndex{2}\): Два сегменти труб однакового розміру кидаються один до одного вздовж загальної центральної лінії. Що буде, коли вони зустрінуться? Ось дві можливі альтернативи (обидві неправильні»), якщо рухомий об'єкт спостережується зменшуватися поперечно до напрямку руху. Яка труба проходить всередині іншої? Неможливість послідовної відповіді на це питання призводить до висновку, що жодна труба не може бути виміряна для зміни поперечного розміру.

Робимо наступні зведені висновки про розміри, поперечні напрямку відносного руху:

Розміри рухомих об'єктів, поперечних напрямку відносного руху, вимірюються однаковими в лабораторних і ракетних рамах (інваріантність поперечної відстані).

Дві події з поділом тільки поперечні напрямку відносного руху і одночасні в лабораторії або рамі ракети є одночасними в обох.

1 Поперечний розмір однаковий для лабораторних та ракетних спостерігачів

2 Думки експерименти демонструють незмінність поперечної розмірності

3 «Той же час» узгоджено для подій, відокремлених лише поперечним до відносного руху