3.1: Коротка історія закону Ломмеля-Зелігера

Вступ. Використання закону Ломмеля-Зелігера є стійким аспектом планетарної фотометрії. Він має перевагу аналітичної простоти, а також, у багатьох випадках, є відмінним першим наближенням до дифузного відображення. Незважаючи на свої недоліки, зокрема його нездатність відображати ефект опозиції, він все ще дуже використовується сьогодні в таких різноманітних додатках, як інверсія кривої світла (визначення полюсів і форм астероїдів з їх кривих світла (Kaasalainen, 2003)), до прогнозування фотометричних підписів. невирішених кільчастих позасонячних планет (Arnold & Schneider, 2004). Дійсно, саме тема екзопланет нещодавно викликала інтерес до планетарної фотометрії астрономів, які інакше не стосувалися б цього питання.

Тут ми представляємо закон Ломмеля-Зелігера досить докладно і в результаті вказуємо на існування та наслідки підступної помилки, яка просочилася вниз по літературі.

Опис. Закон Ломмеля-Зелігера заснований на простій фізичній моделі дифузного відображення. Як така модель одиночного розсіювання, в якій розсіяння є ізотропним.

Модель передбачає, що світло проникає через поверхню, ослаблюючись експоненціально, як це робить. Тут загасання відноситься до будь-якого процесу, який зменшує яскравість променя світла, і, таким чином, включає розсіювання і поглинання. Кожен елемент об'єму, з яким стикається ослаблений промінь, розсіює частину його ізотропно, тобто однаково у всіх напрямках в\(4π\) стерадиани (уявну сферу, якщо хочете), що оточують його. Таким чином, з цього дифузного розсіяного випромінювання тільки половина спрямована назад до поверхні, і ця фракція буде ще більше ослаблена перед виникненням як дифузне відбите випромінювання.

деривація. Наступна похідна покликана бути більш ілюстративною, ніж повністю суворою, і містить кілька ярликів. Тим не менш, це правильно; для більш надійного та загального доказу див. Розділ 1.

Розглянемо, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\), дифузний відбиває (і передавальний) шар нормальної оптичної товщини\(t\), в якому оптична товщина включає загасання як розсіюванням, так і поглинанням. У задачах такого характеру зручніше працювати в плані оптичної товщини, ніж реальна фізична товщина. Світло, що проходить шлях оптичної товщини\(τ\), послаблюється коефіцієнтом\(e^{-τ}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): На цій діаграмі падаючий промінь, лінія PQ і відбитий промінь не повинні бути в одній площині; уявіть, що одна половина повернута навколо PQ щодо іншої половини. Кут між падаючими і відбитими променями - це (сонячний) фазовий кут,\(α\). Значення\(α\) актуально тільки для анізотропного розсіювання.

Поверхня (τ = 0) опромінюється плоским паралельним пучком щільності\(F\) променистого потоку під кутом падіння\(θ_i\), так що опромінення є\(E = F \cos θ)i\). Нас турбує отримане сяйво в сторону кута відбиття\(θ_r < 90^o\). Тепер давайте\(μ_0 = \cos θ_i\)\(μ = \cos θ_r\) і розглянемо шар між\(τ\) і\(τ + dτ\). Щільність падаючого потоку, яка проникла до цього рівня, є\(Fe^{-τ/μ_0}\).

Таким чином, внесок у дифузне сяйво у напрямку μ за допомогою ізотропного\( \dfrac{\varpi_{0}}{4 \pi} F e^{-\tau / \mu_{0}} \dfrac{d \tau}{\mu}\) розсіювання\(ϖ_0\) є одним розсіюванням альбедо. Це випромінювання буде додатково послаблено фактором,\(e^{-τ/μ}\) перш ніж вийти з поверхні, так що внесок у сяйво в напрямку\(μ\) є

\[d L=\dfrac{\varpi_{0}}{4 \pi} F e^{-\tau / \mu_{0}} \dfrac{d \tau}{\mu} e^{-\tau / \mu}.\]

Зверніть увагу, що\(dL\) це внесок у загальне сяйво від шару, отримане в результаті одного розсіювання. Модель Ломмеля-Зелігера розглядає тільки розсіювання колімованого падаючого світла. Він не враховує розсіювання розсіяного світла, яке пробилося опосередковано в одне і те ж положення, розсіюючись один або кілька разів, тобто не враховує багаторазового розсіювання.

Для планетарної поверхні шар є «напівнескінченним» (\(t = ∞\)), а загальне сяйво в напрямку\(μ\) дорівнює

\[L=\dfrac{\varpi_{0} F}{4 \pi \mu} \times \int_{0}^{\infty} \exp \left[-\tau\left(\dfrac{1}{\mu_{0}}+\dfrac{1}{\mu}\right)\right] d \tau.\]

в результаті чого

\[L=\dfrac{\varpi_{0} F}{4 \pi \mu} \dfrac{\mu_{0} \mu}{\mu+\mu_{0}};\]

і, оскільки опромінення є\(E = Fμ_0\) і\(L = f_r E\), з цього випливає, що функція розподілу двонаправленого відбиття (BRDF), яка визначає правило відбиття Ломмеля -Зелігера, є

\[f_{r}=\dfrac{\varpi_{0}}{4 \pi} \dfrac{1}{\mu+\mu_{0}}.\]

Використання моделі Ломмеля-Зелігера не обмежується планетарними поверхнями. Для шару кінцевої оптичної товщини t, наприклад (exo) планетарного кільця, відбите сяйво дорівнює

\[L_{R}=\dfrac{\varpi_{0} F}{4 \pi \mu} \times \int_{0}^{t} \exp \left[-\tau\left(\dfrac{1}{\mu_{0}}+\dfrac{1}{\mu}\right)\right] d \tau,\]

в результаті чого

\[L_{R}=\dfrac{\varpi_{0}}{4 \pi} \dfrac{1}{\mu+\mu_{0}} \times\left[1-\exp \left\{-t\left(\dfrac{1}{\mu_{0}}+\dfrac{1}{\mu}\right)\right\}\right] \mu_{0} F;\]

і подібними міркуваннями можна визначити сяйво,\(L_T\) що передається через шар (Arnold & Schneider, 2004).

Помилки в літературі. Найдавніша помилка, яку автор зміг виявити, датується 1916 роком у статті про планетарні альбедо (не менше) Генрі Норріса Рассела (Рассел, 1916). У цьому документі BRDF неявно виражається як

\[f_{r}=\dfrac{\gamma}{\mu_{0}+\mu}\]

в якому\(γ\) є постійною. Від цього Рассел виводить спрямовану напівсферичну відбивну здатність (напівсферичне альбедо)

\[\rho\left(\mu_{0}\right)=2 \pi \gamma \quad \times \quad\left[1-\mu_{0} \ln \left(1+1 / \mu_{0}\right)\right],\]

де видно, що вираз у дужках змінюється монотонно від 0,308 (μ ₀ = 1) до одиниці (μ _{0 = 0}); він стверджує, що «Оскільки (ρ) ніколи не може перевищувати одиницю, випливає, що πγ не може бути більше 0,5 ні (Альбедо Бонда) A, ніж 0,409. Звідси планета, для якої (геометричний альбедо) p перевищує 0,25, не може відображати світло у суворій відповідності із законом Ломмеля-Зелігера».

Хоча цей аргумент звучить цілком правдоподібно, він невірний. Хоча це правда\(ρ\), що, як і будь-яке альбедо, не може перевищувати одиницю, у випадку закону Ломмеля-Зелігера він не може перевищувати,\( \dfrac{1}{2}\) і тому\( \dfrac{1}{4 \pi}\) максимальне значення γ не є\( \dfrac{1}{2 \pi}\); значення γ є\( \dfrac{\varpi_{0}}{4 \pi}\). Така помилка може вплинути на розрахунки альбедо за фактом або двома. На жаль, ця помилка відфільтрована в наступних публікаціях, наприклад, Lester, McCall & Tatum (1979), Fairbairn (2002, 2004). Правильні властивості закону Ломмельзелігера узагальнені в таблиці I.

Таблиця I. Властивості закону Ломмеля-Зелігера для поверхонь і сфер. Максимально можливі значення показані в дужках у першому і третьому стовпчиках. pn - нормальне альбедо і q фазовий інтеграл.

властивості поверхонь	Закон про відбиття Ломмеля-Зелігера	Сфери
ф р	\(\dfrac{\varpi_{0}}{4 \pi} \dfrac{1}{\mu_{0}+\mu}\)	q	\(\dfrac{16}{3}(1-\ln 2)\)
ρ (0.5)	\(\dfrac{\varpi_{0}}{2}\left[1-\mu_{0} \ln \left(1+1 / \mu_{0}\right)\right]\)	р (0,125)	\( \dfrac{ \varpi_0}{8}\)
п п (0,125)	\( \dfrac{ \varpi_0}{8}\)	А (0,2046)	\(\dfrac{2}{3} \varpi_{0}(1-\ln 2)\)

Для деяких додатків помилка множника два не має ніякого значення. У випадках, коли мають значення лише відносні величини, так що зміщення є довільним, коефіцієнт зникає в зміщення. Астероїдні профілі кривих світла є такими прикладами.

Посилання

Арнольд, Л. & Шнайдер, J. 2004, A&A, 420, 1153-1162

Ферберн, М.Б. 2002, JRASC, 96, 18

Ферберн, М.Б. 2004, JRASC, 98, 149

Хапке, р. 1981 р., Геофіс Дж. Рез., 86, 3039

Каасалайнен, М. 2003, ЮРАСЦ, 97, 283

Лестер, П.Л., Макколл, М.Л. & Татум, Дж. Б. 1979, JRASC, 73, 233

Рассел, Х.Н., 1916, Пенджей, 43, 173