13.1: Цикл Карно

На початку 19 століття парові машини стали грати все більш важливу роль у промисловості та транспорті. Однак систематичний набір теорій перетворення теплової енергії в рушійну силу паровими двигунами поки не розроблено. Ніколя Леонард Саді Карно (1796-1832), французький військовий інженер, опублікував Роздуми про рушійну силу вогню в 1824 році. У книзі запропоновано узагальнену теорію теплових двигунів, а також ідеалізовану модель термодинамічної системи для теплового двигуна, яка нині відома як цикл Карно. Карно розробив основу другого закону термодинаміки, і його часто описують як «Батько термодинаміки».

Цикл Карно

Цикл Карно складається з наступних чотирьох процесів:

1. Реверсивний процес ізотермічного розширення газу. У цьому процесі ідеальний газ в системі поглинає\(q_{in}\) кількість тепла від джерела тепла при високій температурі\(T_{high}\), розширюється і дійсно працює на навколишнє середовище.
2. Реверсивний процес розширення адіабатичного газу. У цьому процесі система теплоізолюється. Газ продовжує розширюватися і робити роботу над навколишнім середовищем, через що система охолоджується до більш низької температури\(T_{low}\).
3. Реверсивний процес стиснення ізотермічного газу. У цьому процесі оточення роблять роботу з газом на\(T_{low}\), і викликає втрату тепла,\(q_{out}\).
4. Реверсивний процес стиснення адіабатичного газу. У цьому процесі система теплоізолюється. Оточення продовжують робити роботу з газом, що призводить до підвищення температури назад до\(T_{high}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Ідеальна газопоршнева модель циклу Карно. (CC BY 4.0; Дісен Хоу через коледж Надії)

P-V Діаграма

P-V діаграма циклу Карно показана на рис\(\PageIndex{2}\). В ізотермічних процесах I і III, ΔU = 0, оскільки ΔT=0. При адіабатичних процесах II і IV q=0. Робота, теплота, ΔU і ΔH кожного процесу в циклі Карно зведені в табл\(\PageIndex{1}\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): P-V діаграма циклу Карно.

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Робота, теплота, ΔU і ΔH на P-V діаграмі циклу Карно.

Процес	ш	q	ΔU	ΔH
Я	\(-nRT_{high}\ln\left(\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\right)\)	\(nRT_{high}\ln\left(\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\right)\)	0	0
II	\(n\bar{C_{v}}(T_{low}-T_{high})\)	0	\(n\bar{C_{v}}(T_{low}-T_{high})\)	\(n\bar{C_{p}}(T_{low}-T_{high})\)
III	\(-nRT_{low}\ln\left(\dfrac{V_{4}}{V_{3}}\right)\)	\(nRT_{low}\ln\left(\dfrac{V_{4}}{V_{3}}\right)\)	0	0
IV	\(n\bar{C_{v}}(T_{high}-T_{low})\)	0	\(n\bar{C_{v}}(T_{hight}-T_{low})\)	\(n\bar{C_{p}}(T_{high}-T_{low})\)
Повний цикл	\(-nRT_{high}\ln\left(\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\right)-nRT_{low}\ln\left(\dfrac{V_{4}}{V_{3}}\right)\)	\(nRT_{high}\ln\left(\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\right)+nRT_{low}\ln\left(\dfrac{V_{4}}{V_{3}}\right)\)	0	0

T-S Діаграма

Діаграма Т-S циклу Карно показана на рис\(\PageIndex{3}\). В ізотермічних процесах I і III, ΔT=0. У адіабатичних процесах II та IV, ΔS=0, оскільки dq=0. ΔT і ΔS кожного процесу в циклі Карно наведено в табл\(\PageIndex{2}\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Діаграма T-S циклу Карно. (CC BY 4.0; Дісен Хоу через коледж Надії)

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Робота, теплота та ΔU на діаграмі T-S циклу Карно.

Процес	ΔT	ΔS
Я	0	\(-nR\ln\left(\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\right)\)
II	\(T_{low}-T_{high}\)	0
III	0	\(-nR\ln\left(\dfrac{V_{4}}{V_{3}}\right)\)
IV	\(T_{high}-T_{low}\)	0
Повний цикл	0	0

Ефективність

Цикл Карно є найбільш ефективним двигуном з можливих, виходячи з припущення про відсутність випадкових марнотратних процесів, таких як тертя, і припущення відсутності провідності тепла між різними частинами двигуна при різних температурах. ККД двигуна Карно визначається як відношення вихідної енергії до вхідної енергії.

\[\begin{align*} \text{efficiency} &=\dfrac{\text{net work done by heat engine}}{\text{heat absorbed by heat engine}} =\dfrac{-w_{sys}}{q_{high}} \\[4pt] &=\dfrac{nRT_{high}\ln\left(\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\right)+nRT_{low}\ln \left(\dfrac{V_{4}}{V_{3}}\right)}{nRT_{high}\ln\left(\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\right)} \end{align*}\]

Оскільки процеси II (2-3) і IV (4-1) є адіабатичними,

\[\left(\dfrac{T_{2}}{T_{3}}\right)^{C_{V}/R}=\dfrac{V_{3}}{V_{2}}\]

і

\[\left(\dfrac{T_{1}}{T_{4}}\right)^{C_{V}/R}=\dfrac{V_{4}}{V_{1}}\]

А так як Т ₁ = Т ₂ і Т ₃ = Т ₄,

\[\dfrac{V_{3}}{V_{4}}=\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\]

Тому,

\[\text{efficiency}=\dfrac{nRT_{high}\ln\left(\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\right)-nRT_{low}\ln\left(\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\right)}{nRT_{high}\ln\left(\dfrac{V_{2}}{V_{1}}\right)}\]

\[\boxed{\text{efficiency}=\dfrac{T_{high}-T_{low}}{T_{high}}}\]

Резюме

Цикл Карно має максимально можливий ККД двигуна (хоча інші цикли мають однаковий ККД), виходячи з припущення відсутності випадкових марнотратних процесів, таких як тертя, і припущення відсутності провідності тепла між різними частинами двигуна при різних температурах.

Проблеми

1. Ви зараз експлуатуєте двигун Карно з 40% ККД, який відводить тепло в радіатор при 298 К. Якщо ви хочете збільшити ККД двигуна до 65%, до якої температури довелося б підняти тепловий резервуар?
2. Двигун Карно поглинув 1,0 кДж тепла при 300 К, а в кінці циклу вичерпав 400 Дж тепла. Яка температура в кінці циклу?
3. Внутрішній обігрівач, що працює за циклом Карно, прогріває будинок зі швидкістю 30 кДж/с для підтримки температури в приміщенні на рівні 72 ºF. Яка потужність працює обігрівача, якщо зовнішня температура 30 ºF?

Посилання

1. Гольдштейн, М.Дж. Едук. , 1980, 57, 114-116
2. Бадер, М.Дж. Едук. , 1973, 50, 834
3. Людер В.Ф. Хім Дж. Едук. , 1944, 21, 600-601
4. Солтер, К.Дж. Едук. , 2000, 77, 1027-1030