Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

10.1: Точні диференціали

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    24443

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Загалом, якщо диференціал може бути виражений як

    \[ df(x,y) = X\,dx + Y\,dy\]

    диференціал буде точним диференціалом, якщо він слідує за відношенням Ейлера

    \[\left( \dfrac{\partial X}{\partial y} \right)_x = \left( \dfrac{\partial Y}{\partial x} \right)_y \label{euler}\]

    Для того щоб проілюструвати це поняття, розглянемо\(P(\overline{V}, T)\) використання ідеального закону газу.

    \[P= \dfrac{RT}{\overline{V}}\]

    Загальний диференціал\(P\) може бути записаний

    \[ dP = \left( - \dfrac{RT}{\overline{V}^2} \right) dV + \left( \dfrac{R}{\overline{V}} \right) dT \label{Eq10}\]

    Приклад\(\PageIndex{1}\): Відносини Ейлера

    Чи відповідає рівняння\ ref {Eq10} відношення Ейлера (Рівняння\ ref {euler})?

    Рішення

    Давайте підтвердимо!

    \[ \begin{align*} \left[ \dfrac{1}{\partial T} \left( - \dfrac{RT}{\overline{V}^2} \right) \right]_\overline{V} &\stackrel{?}{=} \left[ \dfrac{1}{\partial \overline{V}} \left( \dfrac{R}{\overline{V}} \right) \right]_T \\[4pt] \left( - \dfrac{R}{\overline{V}^2} \right) &\stackrel{\checkmark }{=} \left( - \dfrac{R}{\overline{V}^2} \right) \end{align*} \]

    \(dP\)є, по суті, точним диференціалом.

    Диференціали всіх термодинамічних функцій, які є функціями стану, будуть точними. Тепло та робота, які є функціями шляху, не є точними диференціалами\(dw\) і замість\(dq\) них називаються неточними диференціалами.

    Автори та атрибуція