4.3: Деякі важливі властивості подій

Якщо ми знаємо ймовірності можливих результатів випробування, ми можемо обчислити ймовірності для комбінацій результатів. Ці розрахунки засновані на двох правилах, які ми називаємо законами ймовірності. Якщо розділити результати на вичерпні та взаємовиключні події, закони ймовірності також застосовуються до подій. Оскільки, як ми їх визначаємо, «події» - це більш загальний термін, ніж «результати», ми називаємо їх законом ймовірності альтернативних подій і законом ймовірності складних подій. Ці закони діють до тих пір, поки виконуються три умови. Ми вже обговорювали перші дві з цих умов, які полягають у тому, що результати, можливі в будь-якому індивідуальному дослідженні, повинні бути вичерпними та взаємовиключними. Третя умова полягає в тому, що якщо ми проводимо більше одного випробування, результати повинні бути незалежними; тобто на результат одного випробування не повинні впливати результати інших.

Закони ймовірності ми можемо розглядати як правила для виведення інформації про комбінації подій. Закон ймовірності альтернативних подій поширюється на події, які належать до одного розподілу. Закон ймовірності складних подій застосовується до подій, які можуть виходити з одного або декількох розподілів. Важливий особливий випадок виникає, коли складені події є\(N\) послідовними вибірками заданого розподілу, який ми ідентифікуємо як батьківський розподіл. Якщо випадкова величина є числом, і ми усереднюємо числа, які ми отримуємо від\(N\) послідовних вибірки батьківського розподілу, ці «середні\(N\)» самі по собі складають розподіл. Якщо ми знаємо певні властивості батьківського розподілу, ми можемо обчислити відповідні властивості «розподілу середніх\(N\) значень, отриманих шляхом вибірки батьківського розподілу». Ці розрахунки задаються центральною граничною теоремою, про яку ми розповімо в розділі 3.11.

Загалом, коли ми об'єднуємо події з двох дистрибутивів, ми можемо переглядати результат як подію, яка належить до третього дистрибутива. При першій зустрічі ідея поєднання подій і розподілів може здатися езотеричною. Кілька прикладів служать для того, щоб показати, що те, що ми маємо на увазі, дуже просто.

Оскільки подія - це сукупність результатів, подія відбувається щоразу, коли відбувається будь-який з результатів у наборі. Розділення результатів кидання матриці на «парні результати» та «непарні результати» ілюструє цю ідею. Подія «рівний результат» відбувається всякий раз, коли результат судового розгляду є\(2\),\(4,\) або\(6\). Імовірність події можна обчислити виходячи з ймовірностей базових результатів. Правилом такого розрахунку ми називаємо закон ймовірностей альтернативних подій. (Ми створюємо можливість плутанини тут, тому що ілюструємо ідею альтернативних подій, використовуючи приклад, в якому ми називаємо альтернативи «альтернативними результатами», а не «альтернативними подіями». Потрібно пам'ятати, що «подія» - це більш загальний термін, ніж «результат». Одним з можливих розділів є те, що призначає кожен результат до власної події.) Про ймовірності альтернативних подій ми обговорюємо далі нижче.

Щоб проілюструвати ідею складних подій, розглянемо перший розподіл, який включає «кидання монети» та другий розподіл, який включає «витягування карти з покерної колоди». Перший розподіл має два можливі результати; другий розподіл має\(52\) можливі результати. Якщо ми об'єднаємо ці дистрибутиви, ми створимо третій дистрибутив, який включає «кидання монети та витягування карти з покерної колоди». Третій розподіл має\(104\) можливі результати. Якщо ми знаємо ймовірності результатів першого розподілу та ймовірності результатів другого розподілу, і ці ймовірності незалежні один від одного, ми можемо обчислити ймовірність будь-якого результату, який належить до третього розподілу. Назвемо правило для цього розрахунку закон ймовірності складних подій. Про це ми розповімо далі нижче.

Аналогічна ситуація виникає при розгляді результатів підкидання двох монет. Ми припускаємо, що ми можемо розрізнити дві монети. Називайте їх\(1\) монеткою і монеткою\(2\). Позначаємо голови і хвости для монет\(1\) і\(2\) як\(H_1\)\(T_1\),\(H_2\), і\(T_2\), відповідно. Існує чотири можливі результати в розподілі, який ми називаємо «киданням двох монет:»\(H_1H_2\),\(H_1T_2\),\(T_1H_2\), і\(T_1T_2\). (Якби ми не могли розрізнити монети,\(H_1T_2\) було б те саме, що\(T_1H_2\); було б лише три можливі результати.) Ми можемо розглядати розподіл «кидання двох монет» як комбінацію двох дистрибутивів, які ми можемо назвати «киданням монети\(1\)» та «киданням монети»\(\ 2\). Ми також можемо розглядати розподіл «кидання двох монет» як комбінацію двох розподілів, які ми називаємо «киданням монети вперше» та «киданням монети вдруге». Ми розглядаємо розподіл «кидання двох монет» як еквівалентний розподілу «кидання однієї монети двічі». Це приклад повторних випробувань, що є часто зустрічається типом поширення. Загалом, ми називаємо такий розподіл «розподілом подій із випробування, повтореного N разів», і ми розглядаємо цей розподіл як повністю еквівалентний N одночасних випробувань того ж роду. Глава 19 розглядає розподіл результатів, коли випробування повторюється багато разів. Розуміння властивостей таких розподілів є єдиним найважливішим елементом розуміння теорії статистичної термодинаміки. Центральна гранична теорема пов'язує властивості розподілу повторюваних випробувань з властивостями батьківського розподілу.

Імовірність альтернативних подій

Якщо ми знаємо ймовірність кожного з двох взаємовиключних подій, які належать до вичерпної множини, ймовірність того, що те чи інше з них відбудеться в одному дослідженні, дорівнює сумі індивідуальних ймовірностей. Назвемо незалежні події А і В, і представимо їх ймовірності як\(P(A)\) і\(P(B)\), відповідно. Імовірність того, що одна з цих подій відбувається - це те ж саме, що і ймовірність того, що виникає або A, або B. Ми можемо уявити цю ймовірність як\(P(A\ or\ B)\). Імовірність такого поєднання подій дорівнює сумі:\(P(A)+P(B)\). Тобто,

\[P\left(A\ or\ B\right)=P\left(A\right)+P(B)\]

Вище ми визначаємо Y як подію, що один кидок матриці виникає\(1\) або\(3\). Оскільки кожен з цих результатів є одним з шести, взаємовиключних, однаково ймовірних результатів, ймовірність будь-якого з них\({1}/{6}\):\(P\left(tossing\ a\ 1\right)=P\left(tossing\ a\ 3\right)\)\(={1}/{6}\). З закону ймовірності альтернативних подій ми маємо

\[\begin{align*} P\left(event\ Y\right) &=(tossing\ a\ 1\ or\ tossing\ a\ 3) \\[4pt] &=P\left(tossing\ a\ 1\right)\ or P\left(tossing\ a\ 3\right) \\[4pt] &= {1}/{6}+{1}/{6} \\[4pt] &={2}/{6} \end{align*}\]

Ми визначаємо\(X\) як подію, що один кидок плашки приходить навіть. З закону ймовірності альтернативних подій ми маємо

\[\begin{align*} P\left(event\ X\right) &=P\left(tossing\ 2\ or\ 4\ or\ 6\right) \\[4pt] &=P\left(tossing\ a\ 2\right)+P\left(tossing\ a\ 4\right)+P\left(tossing\ a\ 6\right) \\[4pt] &={3}/{6} \end{align*}\]

Визначаємо\(Z\) як подію, що виникає один кидок\(5\).

\[P\left(event\ Z\right)=P\left(tossing\ a\ 5\right)=1/6\]

Якщо є\(\omega\) самостійні події (позначаються\(E_1,E_2,\dots ,E_i,\dots ,E_{\omega }\)), закон ймовірності альтернативних подій стверджує, що ймовірність того, що одне з цих подій відбудеться в одному дослідженні, є

\[ \begin{align*} P\left(E_1\ or\ E_2\ or\dots E_i\dots or\ E_{\omega }\right) &=P\left(E_1\right)+P\left(E_2\right)+\dots +P\left(E_i\right)+\dots +P\left(E_{\omega }\right) \\[4pt] &=\sum^{\omega }_{i=1} P\left(E_i\right) \end{align*}\]

Якщо ці\(\omega\) незалежні події охоплюють всі можливі результати, сума їх індивідуальних ймовірностей повинна бути єдністю.

Малюнок 1. Простий випадок, який ілюструє закони ймовірності.

Імовірність складних подій

Давайте тепер припустимо, що ми проводимо два судові процеси за обставин, коли подія\(A\) можлива в першому суді, а подія\(B\) можлива в другому. Ми представляємо ймовірності цих подій\(P\left(A\right)\)\(P(B)\) і обумовимо, що вони незалежні один від одного; тобто ймовірність, що\(B\) виникає в другому процесі, не залежить від результату першого судового розгляду. Тоді ймовірність, що\(A\) виникає в першому випробуванні і\(B\) відбувається в другому дослідженні\(P(A\ and\ B)\), дорівнює добутку індивідуальних ймовірностей.

\[P\left(A\ and\ B\right)=P\left(A\right)\times P(B)\]

Щоб проілюструвати це, використовуючи результати кидання штампу, припустимо,\(A\) що подія кидає a\(1\) і подія\(B\) кидає a\(3\). Потім,\(P\left(A\right)={1}/{6}\) і\(P\left(B\right)={1}/{6}\). Імовірність кидання 1 в першому випробуванні та кидання a\(3\) у другому випробуванні

\[\begin{align*} P\left( \text{tossing a 1 first and tossing a 3 second}\right) &=P\left(\text{tossing a 1}\right)\times P\left(\text{tossing a 3}\right) \\[4pt] &={1}/{6}\times {1}/{6} \\[4pt] &={1}/{36} \end{align*}\]

Якщо ми хочемо ймовірність отримати один\(1\) і один з\(3\) двох кидок, ми повинні додати до цього ймовірність кидання\(3\) першого і\(1\) другого.

Якщо є\(\omega\) самостійні події (позначаються\(E_1,E_2,\dots ,E_i,\dots ,E_{\omega }\)), закон ймовірності складних подій стверджує, що ймовірність того, що\(E_1\) відбудеться в першому випробуванні, і\(E_2\) відбудеться в другому випробуванні і т.д., є

\[\begin{align*} P\left(E_1\ and\ E_2\ and\dots E_i\dots and\ E_{\omega }\right) &=P\left(E_1\right)\times P\left(E_2\right)\times \dots \times P\left(E_i\right)\times \dots \times P\left(E_{\omega }\right)\\[4pt] &=\prod^{\omega }_{i=1}{P(E_i)} \end{align*}\]