4.2: Результати, події та ймовірність

Також потрібно представити думку про те, що функція, яка успішно моделює результати минулих експериментів, може бути використана для прогнозування деяких характеристик майбутніх результатів.

Ми міркуємо наступним чином: Ми маємо результати малювання багатьох зразків випадкової величини з деякого розподілу. Ми припускаємо, що знайдено математичне уявлення, яке адекватно узагальнює результати цього досвіду. Якщо основний розподіл - фізична система в наукових програмах - залишиться незмінним, ми очікуємо, що довга серія майбутніх результатів призведе до по суті того ж математичного представлення. Якщо 25% багатьох попередніх результатів мали певну характеристику, ми очікуємо, що 25% великої кількості майбутніх випробувань матимуть таку ж характеристику. Ми також говоримо, що є один шанс у чотирьох, що наступний індивідуальний результат матиме цю характеристику; коли ми говоримо це, ми маємо на увазі, що 25% великої кількості майбутніх випробувань матимуть цю характеристику, і наступне випробування має такий же хороший шанс, як і будь-який інший бути серед тих, хто робить. Імовірність того, що результат відбудеться в майбутньому, дорівнює частоті, з якою цей результат відбувся в минулому.

Враховуючи розподіл, можливі результати повинні бути взаємовиключними; у будь-якому даному дослідженні випадкова величина може мати лише одне з можливих значень. Отже, дискретний розподіл повністю описується, коли вказується ймовірність кожного з його результатів. Багато розподілів складаються з скінченної множини N взаємовиключних можливих результатів. Якщо кожен з цих результатів однаково вірогідний, ймовірність того, що ми будемо спостерігати якийсь конкретний результат у наступному дослідженні, є\(1/N\).

Нам часто зручно групувати набір можливих результатів у підмножини таким чином, щоб кожен результат був у одній і тільки одній з підмножин. Ми говоримо, що такі призначення результатів підмножинам є вичерпними, оскільки кожен можливий результат присвоюється певній підмножині; ми говоримо, що такі призначення є взаємовиключними, оскільки жоден результат не належить до більш ніж однієї підмножини. Ми називаємо кожну таку підмножину подією. Коли ми поділяємо можливі результати на вичерпні та взаємовиключні події, ми можемо сказати те ж саме про ймовірності подій, що ми можемо сказати про ймовірності результатів. У наших обговореннях термін «події» завжди стосуватиметься вичерпного та взаємовиключного поділу можливих результатів. Розмежування результатів і подій просто дає нам деякі мовні конвенції, які дозволяють нам створювати альтернативні групування одного і того ж набору реальних спостережень.

Припустимо, що ми визначаємо певну подію, щоб бути підмножиною результатів, які ми позначаємо як U. Якщо у великій кількості випробувань частка результатів, які належать до цієї підмножини, є F, ми говоримо, що ймовірність F, що результат наступного судового розгляду буде належати цій події. Щоб висловити це в більш математичних позначеннях, пишемо\(P\left(U\right)=F\). Коли ми це робимо, ми маємо на увазі, що частка великої кількості майбутніх випробувань, які належать до цієї підмножини, буде F, і наступний судовий процес має такий же хороший шанс, як і будь-який інший, бути серед тих, хто робить. У вибірці, що містить M спостережень, найкращим прогнозом, який ми можемо зробити щодо кількості випадків U\(M\times P(U)\), є, і ми називаємо це очікуваною кількістю випадків U у вибірці розміром M.

Ідея групування спостережень реального світу в результати або події легко запам'ятати, якщо мати на увазі приклад кидання плашки. Плашка має шість граней, які позначені крапками 1, 2, 3, 4, 5 або 6. Точки відрізняють одне обличчя від іншого. На будь-якому заданому киданні одна грань плашки повинна приземлитися зверху. Тому існує шість можливих результатів. Оскільки кожне обличчя має такий же хороший шанс, як і будь-яке інше на посадку зверху, шість можливих результатів однаково вірогідні. Імовірність будь-якого даного результату є\({1}/{6}\). Якщо ми запитаємо про ймовірність того, що наступний кидок призведе до того, що одна з парних облич приземлиться зверху, ми запитуємо про ймовірність події - події, що наступний кидок матиме характеристику того, що парне обличчя приземляється зверху. Назвемо цю подію\(X\). Тобто, подія\(X\) відбувається, якщо результатом є 2, a 4 або a 6. Це три з шести однаково ймовірних результатів. Очевидно, ймовірність цієї події є\({3}/{6}={1}/{2}\).

Визначивши подію\(X\) як ймовірність парного результату, ми все ще маємо кілька альтернативних способів призначити непарні результати подіям. Одним із завдань було б сказати, що всі результати непарних чисел належать до другої події - події, що результат непарний. Події «парний результат» і «непарний результат» є вичерпними і взаємовиключними. Ми могли б створити ще один набір подій, призначивши результати 1 і 3 події\(Y\), а результат 5 - події\(Z\). Події\(X\)\(Y\), а також\(Z\) є вичерпними і взаємовиключними.

У нас є велика широта в тому, як ми призначаємо можливі результати подіям. Якщо це відповідає нашим цілям, ми можемо створити безліч різних вичерпних і взаємовиключних розділів результатів даного розподілу. Ми вимагаємо, щоб кожен поділ результатів на події був вичерпним і взаємовиключним, тому що ми хочемо застосовувати закони ймовірності до подій.