4.E: Постулати та принципи квантової механіки (вправи)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 26649

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Рішення для вибору питань можна знайти в Інтернеті.

4.3

Функція повинна бути реальною, невід'ємною, скінченною та певною величиною скрізь.$ψ^*ψ$ Чому?

Рішення: Якщо ми слідуємо інтерпретації Борна хвильових функцій, то$ψ^*ψ$ це щільність ймовірності і, отже, повинні слідувати стандартним властивостям ймовірності, включаючи невід'ємне, кінцеве та певне значення в будь-якій відповідній точці простору хвильової функції. Причому ціле число$ψ^*ψ$ або над усім цим простором має дорівнювати 1.

4.5

Чому наступні функції не прийнятні хвильові функції для 1D частинки в коробці з довжиною$a$ ? $N$ is a normalization constant.

${\psi}=N{\cos \dfrac{n{\pi}x}{L}\ }$
${\psi}=\dfrac{N}{\sin \dfrac{n{\pi}x}{a}\ }$
${\psi}=N{\tan \dfrac{{\pi}x}{a}\ }$

Рішення: Граничні умови, які необхідно виконати:${\psi}\left(0\right)={\psi}\left(a\right)=0$. This does not meet them. Запропонована хвильова функція вибухів до нескінченності при$x=0$ and $x=a$ Тані не визначена для$x=\dfrac{a}{2}$

4.12

Показати, що множини функцій:$\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)$ де$n$ = 1,2,3... є ортонормальними.

Рішення

Нехай

$\psi =\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin \left(\dfrac{n\pi x}{L} \right)$

Тому що$\psi^* = \psi$ і реально, то

\[\int_0^L \psi^*\psi dx = \int_0^L \sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin \left(\dfrac{n\pi x}{L} \right)\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin \left(\dfrac{m\pi x}{L}\right)dx\nonumber \]

здача в оренду$n=m$

\[ \begin{align*} \int_0^L \psi^*\psi dx &= \dfrac{2}{L}\int_0^L \sin \left(\dfrac{n\pi x}{L} \right) \sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)dx \\[4pt] &= \dfrac{2}{L}\int_0^L \sin^2 \left(\dfrac{n\pi x}{L} \right)dx\end{align*}\]

\[\dfrac{2}{L}\int_0^L \sin^2 \left(\dfrac{n\pi x}{L} \right)dx = 1\nonumber \]

здача в оренду$n \neq m$

\[ \begin{align*} \int_0^L \psi^*\psi dx &= \dfrac{2}{L}\int_0^L \sin \left(\dfrac{n\pi x}{L} \right) \sin\left(\dfrac{m\pi x}{L}\right)dx \\[4pt] &=\dfrac{2}{L}\dfrac{1}{2} \int_0^L\left[ \cos \left(\dfrac{(n-m)\pi x}{L} \right) - \cos\left(\dfrac{(n+m)\pi x}{L}\right) \right]dx \\[4pt] &= \dfrac{1}{L} \left[\dfrac{L}{(n-m)\pi} \left[\sin\left(\dfrac{(n-m)\pi L}{L}\right)-\sin\left(\dfrac{(n-m)\pi 0}{L}\right)\right]-\dfrac{L}{(n+m)\pi} \left[\sin\left(\dfrac{(n+m)\pi L}{L}\right)-\sin\left(\dfrac{(n+m)\pi 0}{L}\right)\right]\right] =0 \end{align*}\]

і таким чином$\sqrt{\dfrac{2}{L}}\sin \left(\dfrac{n\pi x}{L}\right)$ (n = 1, 2, 3,...) є ортонормальними.

4.13

Покажіть, що$a\cdot b\cdot c = \sum_{ik} a_i b_i c_k e_k$

\[\sum_{i}a_ie_i\cdot\sum_{j}b_je_j\cdot\sum_{k}c_ke_k=\sum_{ik} a_i b_i c_k e_k\nonumber \]

\[\sum_{i}\sum_{j}a_ib_j(e_i\cdot e_j)\cdot\sum_{k}c_ke_k=\sum_{ik} a_i b_i c_k e_k\nonumber \]

\[e_i \cdot e_j=\delta_{ij}=1\nonumber \]

коли$i=j$

\[\sum_{i}a_ib_i\cdot \sum_{k}c_ke_k=\sum_{ik} a_i b_i c_k e_k\nonumber \]

\[\sum_{ik}a_ib_ic_ke_k=\sum_{ik} a_i b_i c_k e_k\nonumber \]

4.14

Визначте, чи їздять на роботу наступні оператори

\[\hat{B} = \dfrac{d}{dx}\nonumber \]

\[\hat{C} = x^5\nonumber \]

Рішення

Ми повинні вирішити$\left[\hat{B},\hat{C}\right]$, вирішуючи для$\hat{B} \{\hat{C} f(x)\} $ і$\hat{C} \{\hat{B} f(x)\}$ для хвильової функції$f(x)$ і подивитися, чи рівні вони.

\[\hat{B} \{\hat{C} f(x)\} = \hat{B}\{ x^5 f(x) \}= \dfrac{d}{dx} \{ x^5 f(x)\} = 5xf(x) + x^5 f'(x)\nonumber \]

\[\hat{C} \{\hat{B}f(x)\} = \hat{C}\{f'(x)\} = x^5 f'(x)\nonumber \]

так як

\[\left[\hat{B},\hat{C}\right] = 5x f(x) + x^5 f'(x) - x^2f'(x) = 5x f(x) \not= 0\nonumber \]

Два оператори не їздять на роботу.

4.15

Чи комутують наступні комбінації операторів кутового моменту? Покажіть роботу, щоб обґрунтувати відповідь (не пишіть просто «так» або «ні»).

$\textbf{L}_x$і$\textbf{L}_y $
$\textbf{L}_y$і$\textbf{L}_z $
$\textbf{L}_z$і$\textbf{L}_x $

із

\[\textbf{L}_x = -{\rm i}\,\hbar\left(y\,\dfrac{\partial}{\partial z} - z\,\dfrac{\partial} {\partial y}\right) \nonumber \]

\[ \textbf{L}_y = -{\rm i}\,\hbar\left(z\,\dfrac{\partial}{\partial x} - x\,\dfrac{\partial} {\partial z}\right) \nonumber \]

\[ \textbf{L}_z = -{\rm i}\,\hbar\left(x\,\dfrac{\partial}{\partial y} - y\,\dfrac{\partial} {\partial x}\right) \nonumber \]

Оцініть відповідь на частину С на основі шаблону, зібраного з частин A та B; для частини C роботи не потрібно.

Рішення

а.

\[[\textbf{L}_x, \textbf{L}_y] = (y p_z - z p_y)(z p_x - x p_z)\Psi - (z p_x - x p_z)(y p_z - z p_y)\Psi ,\nonumber \]

\[= (z p_x y p_z - z^{2} p_x p_y - x y p_z p_z - x z p_y p_z)\Psi - (y p_z z p_x - y x p_z p_z + z ^{2} p_y p_x + z x p_z p_y)\Psi\nonumber \]

\[[\textbf{L}_x, \textbf{L}_y] = i\hbar \textbf{L}_z ,\nonumber \]

Чи не їздить на роботу, тобто не дорівнює нулю.

[Л х, Л у ] = i л з, [ Л х, Л у] = i Л з, [ Л х, Л у] = i Л з, [Л х, Л у] = i Л з,

б.

\[[\textbf{L}_y, \textbf{L}_z] = (z p_x - x p_z)(x p_y - y p_x)\Psi - (x p_y - y p_x)(z p_x - x p_z)\Psi\nonumber \]

\[= (x p_y z p_x - x^{2} p_y p_z - y z p_x p_x - y x p_z p_x)\Psi - (z p_x x p_y - z y p_x p_x + x ^{2} p_z p_y + x y p_x p_z)\Psi\nonumber \]

\[[\textbf{L}_y, \textbf{L}_z] = i\hbar \textbf{L}_x ,\nonumber \]

Чи не їздить на роботу, тобто не дорівнює нулю.

c Ця частина вимагає лише того, щоб ми помітили обертання змінних та узгодженість формату/рівнянь. При цьому ми краще розуміємо зв'язок між частинами оператора кутового моменту. Наведену нижче роботу не потрібно показувати для кредиту, але це може прояснити речі або зробити рішення зрозумілішим, якщо у вас все ще виникають проблеми з оцінкою та використанням шаблону.

\[[\textbf{L}_z, \textbf{L}_x] = (x p_y - y p_x)(y p_z - z p_y)\Psi - (y p_z - z p_y)(x p_y - y p_x)\Psi\nonumber \]

\[= (y p_z x p_y - y^{2} p_z p_x - z x p_y p_y - z y p_x p_y)\Psi - (x p_y y p_z - x z p_y p_y + y^{2} p_x p_z + y z p_y p_x)\Psi\nonumber \]

\[[\textbf{L}_z, \textbf{L}_x] = i\hbar \textbf{L}_y , \nonumber \]

Чи не їздить на роботу, тобто не дорівнює нулю.

Ці розрахунки показують, що ви можете мати лише один чітко визначений компонент кутового моменту, оскільки принцип невизначеності говорить, що інші не будуть відомі (оскільки вони не їздять на роботу).

4.17

Для двох операторів, щоб їздити на роботу, яке майно повинно володіти? Використовуйте оператори$ \hat{L^2} $ і$ \hat{L_z} $ як приклад, щоб показати, що ця властивість тримає.

Рішення

Комутатори при застосуванні до хвильової функції повинні дорівнювати 0 власної функції.

$ \hat{L^2}\hat{L_z}\psi(x) - \hat{L_z}\hat{L^2}\psi(x) = 0 $

$ \hat{L^2}\hat{L_z} - \hat{L_z}\hat{L^2}\psi(x)= \hat{0}\psi(x) $

$ \hat{L^2}\hat{L_z} - \hat{L_z}\hat{L^2}= 0 $

4.21

Показати, що оператори кутового імпульсу та кінетичної енергії комутують і тому можуть бути виміряні одночасно з довільною точністю.

Рішення

Покажіть, що

\[ [ \hat{K} , \hat{L}] \ = \ 0\nonumber \]

де оператори можуть бути розбиті на 3 складові

\[L_x = -{\rm i}\,\hbar\left(y\,\dfrac{\partial}{\partial z} - z\,\dfrac{\partial} {\partial y}\right) \nonumber \]

\[ L_y = -{\rm i}\,\hbar\left(z\,\dfrac{\partial}{\partial x} - x\,\dfrac{\partial} {\partial z}\right) \nonumber \]

\[ L_z = -{\rm i}\,\hbar\left(x\,\dfrac{\partial}{\partial y} - y\,\dfrac{\partial} {\partial x}\right) \nonumber \]

і$\hat{K_x} \ = \ \dfrac{-\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial ^2}{\partial x^2} $. Те ж саме можна записати для$\hat{K}$ напрямків y і z.

\[ [ \hat{K} , \hat{L} ] = [\hat{K_x},\hat{L_x}] + [\hat{K_y},\hat{L_y}] + [\hat{K_z},\hat{L_z}] \nonumber \]

Для напрямку x

\[ [\hat{K_x} , \hat{L_x}] = \left[ \dfrac{-\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}, -i\hbar \Big( y\dfrac{d}{dz} - z\dfrac{d}{dy} \Big) \Big) \right] \nonumber \]

\[ \dfrac{-\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2}{dx^2} \Big(-i\hbar \Big( y\dfrac{d}{dz} - z\dfrac{d}{dy} \Big) \Big) - -i\hbar \Big( y\dfrac{d}{dz} - z\dfrac{d}{dy} \Big) \Big) \dfrac{-\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2}{dx^2}\nonumber \]

\[ \dfrac{i\hbar^3}{2m} \Big( y\dfrac{d^3}{dx^2 dz} - z\dfrac{d^3}{dx^2 dy} \Big) - \dfrac{i\hbar^3}{2m} \Big( y\dfrac{d^3}{dx^2 dz} - z\dfrac{d^3}{dx^2 dy} \Big) \ = \ 0\nonumber \]

Процес можна повторити для напрямків y та z, і слідуючи тим же крокам, комутації виявляються 0. Тому кінетична енергія і момент імпульсу комутують.

4.22

Покажіть, що оператор позиції та моменту імпульсу комутує. Чи можна вимірювати положення та момент імпульсу одночасно з довільною точністю?

Рішення

По-перше, ми повинні довести, що оператор позиції$\mathbf{\hat{R}} = \mathbf{i}\hat{x} + \mathbf{j}\hat{y} + \mathbf{k}\hat{z}$, і оператор кутового моменту$\mathbf{\hat{L}} = \mathbf{i}\hat{L_x} + \mathbf{j}\hat{L_y} + \mathbf{k}\hat{L_z}$, коммутують.

Для того, щоб довести комутацію,

\[[\mathbf{\hat{R}},\mathbf{\hat{L}}] = [\mathbf{i}\hat{x} + \mathbf{j}\hat{y} + \mathbf{k}\hat{z},\mathbf{i}\hat{L_x} + \mathbf{j}\hat{L_y} + \mathbf{k}\hat{L_z}]\nonumber \]

\[ = \ [\hat{x},\hat{L_x}] \ + \ [\hat{y},\hat{L_y}] \ + \ [\hat{z},\hat{L_z}]\nonumber \]

\[ \ = \ 0\nonumber \]

де ми використовували той факт, що

\[\mathbf{i}\centerdot\mathbf{i} = \mathbf{j}\centerdot\mathbf{j} = \mathbf{k}\centerdot\mathbf{k} = 1\nonumber \]

\[\mathbf{i}\centerdot\mathbf{j} = \mathbf{j}\centerdot\mathbf{k} = \mathbf{k}\centerdot\mathbf{i} = 0\nonumber \]

Тепер, коли ми довели, що два оператори коммутують, зв'язок комутації означає, що положення і загальний кутовий імпульс будь-яких електронів можуть бути виміряні одночасно з довільною точністю.

4.25

Якщо обидва$|Ψ_n \rangle$ і$|Ψ_m \rangle$ задовольняють незалежне від часу рівняння Шредінгера (вони називаються стаціонарними станами)

\[|Ψ_n(x,t) \rangle = Ψ_n(x)e^{-iE_nt/ \hbar}\nonumber \]

\[ | Ψ_m(x,t) \rangle = Ψ_m(x)e^{-iE_mt/ \hbar}\nonumber \]

показати, що будь-яка лінійна суперпозиція двох хвильових функцій

\[|Ψ(x,t) \rangle = c_n | Ψ_n(x,t) \rangle + c_m |Ψ_m(x,t) \rangle \nonumber \]

також задовольняє залежне від часу рівняння Шредінгера.

Рішення

Залежне від часу рівняння Schr ö dinger

\[\hat{H}Ψ(x,t) =iћ ∂Ψ(x,y)/∂t\nonumber \]

Підключіть ψ (x, t) до залежного від часу рівняння.

\[\hat{H}c_nΨ_n(x)e^{-iE_nt/ ћ} + c_mΨ_m(x)e^{-iE_mt/ ћ}= iћ ∂/∂tc_nΨ_n(x)e^{-iE_nt/ ћ} + c_mΨ_m(x)e^{-iE_mt/ ћ}\nonumber \]

\[\hat{H}c_nΨ_n(x)e^{-iE_nt/ ћ} + c_mΨ_m(x)e^{-iE_mt/ ћ}= E_nc_nΨ_n(x)e^{-iE_nt/ ћ}+ E_mc_mΨ_m(x)e^{-iE_mt/ ћ}\nonumber \]

\[∂/т с _н ψ _н (х) е ^{-іе _н т/+} с _м ψ _м (х) е ^{-іЕ _м т/=} - [(I Е _{м с _м} е ^{-іЕ м т/ ψ} _м (х)) /] - [(i Е _{н с _н} е е ^{- іЕ н т/}ψ _n (x)) /]\ nonчисло\]

об'єднати всі константи (крім E) в c _n і c _m

\[iћ [-[(ic_me^{-iE_mt/ ћ}Ψ_m(x))/ћ]-[(ic_ne^-iEnt/ћΨ_n(x))/ћ]]=E_nc_nΨ_n(x)e^{-iE_nt/ ћ}+ E_mc_mΨ_m(x)e^{-iE_mt/ ћ}\nonumber \]

\[Since \hat{H}Ψ(x,t) and iћ ∂Ψ(x,y)/∂t are equal, they satisfy the time-dependent equation. \nonumber \]

4.26

Починаючи з

\[ \langle x \rangle = \int \psi^*(x,t) x \psi(x,t) dx \nonumber \]

і незалежне від часу рівняння Шредінгера демонструють, що

\[\dfrac{d\langle x \rangle }{dt}=\int \psi^* \dfrac{i}{\hbar}(\hat H x- x\hat H)\psi dx \nonumber \]

Враховуючи, що

\[\hat H = \dfrac {-\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2}{dx^2}+V(x)\nonumber \]

показати, що

\[\hat H x- x\hat H = -2 \dfrac {\hbar^2}{2m} \dfrac{d}{dx} = -\dfrac {\hbar^2}{m} \dfrac {i}{\hbar} \hat P_x = -\dfrac {ih}{m}\hat P_x\nonumber \]

4.28

Вивести умову для операторів, що виникає внаслідок примусу власних значень до дійсних зі складними кон'югатами.

Рішення

Починаючи з проблеми з власним значенням, з a$\hat{G}$ як наш оператор, ми визнаємо

\[\hat{G}\psi = \lambda\psi\nonumber \]

Вирішуючи для нашого власне значення, ми повинні помножити на нашу складну сполучену хвильову функцію та інтегрувати обидві сторони, щоб побачити

\[\int\psi^*\hat{G}\psi d\tau = \int\psi^*\lambda\psi d\tau = \lambda\int\psi^*\psi d\tau =\lambda\nonumber \]

Ми можемо повторити цей розрахунок, але зі складним сполученням нашої початкової задачі на власні значення.

\[\hat{G}^*\psi^* = \lambda^*\psi^*\nonumber \]

Розв'язуючи для нашого власне значення, ми множимо$\psi$ та інтегруємо обидві сторони, щоб знайти це

\[\int\psi\hat{G}^*\psi^* d\tau = \int\psi\lambda^*\psi^* d\tau = \lambda^*\int\psi\psi^* d\tau =\lambda\nonumber \]

Оскільки ми$\lambda$ обмежилися бути реальними, обидві проблеми з власним значенням повертають те саме власне значення. Потім ми можемо пов'язати операторну сторону обох рівнянь, щоб знати, що

\[\boxed{\int\psi^*\hat{G}\psi d\tau=\int\psi\hat{G}^*\psi^* d\tau}\nonumber \]

4.31

Доведіть, що оператор позиції є Ерміціан.

Рішення

Ми повинні побачити, чи задовольняє оператор наступну вимогу бути в Ермітіані:

\[\int^\infty_{-\infty} (\hat{A}\psi^*)\psi\,dx = \int^\infty_{-\infty} \psi^*\hat{A}\psi\,dx\nonumber \]

$\hat{X}$Замініть$\hat{A}$ у вищевказане рівняння:

\[\int^\infty_{-\infty} (\hat{A}\psi^*)\psi\,dx = \int^\infty_{-\infty} \psi^*\hat{A}\psi\,dx\nonumber \]

\[\int^\infty_{-\infty} (\hat{X}\psi^*)\psi\,dx = \int^\infty_{-\infty} \psi^*\hat{X}\psi\,dx\nonumber \]

\[\int^\infty_{-\infty} (\hat{X}\psi)^*\psi\,dx = \int^\infty_{-\infty} \psi^*\hat{X}\psi\,dx\nonumber \]

\[\int^\infty_{-\infty} \psi^*\hat{X}^*\psi\,dx = \int^\infty_{-\infty} \psi^*\hat{X}\psi\,dx\nonumber \]

Так як$\hat{X}^* \equiv \hat{X}$:

\[\int^\infty_{-\infty} \psi^*\hat{X}\psi\,dx = \int^\infty_{-\infty} \psi^*\hat{X}\psi\,dx\nonumber \]

Тому Оператором позиції є Ермітіан.

4.31

Доведіть, що оператор імпульсу є Ермітіаном

Рішення

Ерміціан:$\int\psi_{j}^{*}\hat{H}\psi_{i}dx$

Оператор імпульсу:$\hat{P} = -i\hbar \dfrac{d}{dx}$

Спочатку ми почнемо з того, що покажемо вам\[\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{j}(-i\hbar \dfrac{d}{dx})psi_{i}dx\nonumber \]

$\dfrac{d\psi_{i}}{dx} dx = d\psi_{i}$

$\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{j}(-i\hbar \dfrac{d}{dx})psi_{i}dx$= i$\hbar \int_{-\infty}^{\infty} psi_{j} d\psi_{i}$

Використання інтеграції частинами з u =\ psi_ {j} *\ і dv = d\ psi_ {i}

Тепер ми можемо помітити, що для обмеженої частинки твір\ psi_ {j} ^ {*}\ psi_ {i} буде йти до нуля в кожній з кінцевих точок

Отримуємо в кінці$-i\hbar \dfrac{d}{dx}$ =$-i\hbar \dfrac{d}{dx}$ → оператор імпульсу

4.32

Які з наступних операторів є Ермітіан:

$x$,
$d/dx$
$hd^2/dx^2$
$id^2/dx^2$

Рішення

Ермітієвий оператор$\hat{A}$ задовольняє

\[<Ψ^*|A|Ψ> = <Ψ|A^*|Ψ*> \nonumber \]

\[ \int Ψ*xΨdx = \int ΨxΨ*dx\nonumber \]

де$x^* = x$.

$x$Оператор - Ерміт

д/дх

\[\int Ψ* d/dxΨdx\nonumber \]

\[= \int Ψ* dΨ\nonumber \]

Тут ми можемо використовувати Інтеграція частинами\ int vdu = uv +\ int udv з V = * і dv = Dψ

\[= [Ψ*Ψ] - \int ΨdΨ*\nonumber \]

[*ψ] оцінюється при нескінченності, а негативна нескінченність дорівнює 0, через припущення, що ця хвильова функція наближається до 0, оскільки одна поширюється до нескінченності в обох напрямках

\[= -\int Ψd/dxΨ*dx\nonumber \]

Тут ми вставили dx/dx в інтеграл

\[= \int Ψ(-d/dx)Ψ*dx\nonumber \]

d/dx* = d/dx, не -d/dx, тому цей оператор не Ермітіан.

HD ² /дх ²

\[\int Ψ*h(d^2/dx^2)Ψdx\nonumber \]

\[= h\int Ψ*(d^2/dx)Ψ\nonumber \]

Тут ми можемо використовувати Інтеграція частинами\ int vdu = uv +\ int udv з U = * і dv=d (D/DX)

\[= h[Ψ*dΨ/dx] - \int (dΨ/dx)dΨ*\nonumber \]

\[= h[Ψ*dΨ/dx] - \int (dΨ*/dx)dΨ\nonumber \]

[*D/dx] оцінюється на нескінченності, а негативна нескінченність дорівнює 0, через припущення, що ця хвильова функція наближається до 0, оскільки одна поширюється до нескінченності в обох напрямках. Це означає, що D/dx, наприклад, також наближається до 0.

\[= - h\int (dΨ*/dx)dΨ \nonumber \]

Тут ми можемо використовувати Інтеграція частинами\ int vdu = uv +\ int udv з U = D*/DX і DV=Dψ

\[=-h( [ΨdΨ*/dx] - \int Ψd^2Ψ*/dx\nonumber \]

[*D/dx] оцінюється на нескінченності, а негативна нескінченність дорівнює 0, через припущення, що ця хвильова функція наближається до 0, оскільки одна поширюється до нескінченності в обох напрямках. Це означає, що D*/dx, наприклад, також наближається до 0.

\[= h\int Ψ(d^2Ψ*/dx)\nonumber \]

\[= h\int Ψ(d^2Ψ*/dx^2)dx \nonumber \]

\[= \int Ψh(d^2/dx^2)Ψ*dx \nonumber \]

h (d ² /dx ²) * = h (d ² /dx ²), тому цей оператор Ермітіан

ідентифікатор ² /дх ²

\[\int Ψ*i(d^2/dx^2)Ψdx\nonumber \]

\[= i\int Ψ*(d^2/dx)Ψ\nonumber \]

Тут ми можемо використовувати інтеграцію по частинам

\[ \int vdu = uv + \int udv\nonumber \]

з U = * і dv=d (D/dx)

\[= i[Ψ*dΨ/dx] - \int (dΨ/dx)dΨ*\nonumber \]

\[= i[Ψ*dΨ/dx] - \int (dΨ*/dx)dΨ \nonumber \]

\[= - i\int (dΨ*/dx)dΨ \nonumber \]

Тут ми можемо використовувати Інтеграція частинами\ int vdu = uv +\ int udv з U = D*/DX і DV=Dψ

\[=-i( [ΨdΨ*/dx] - \int Ψd^2Ψ*/dx\nonumber \]

[*D/dx] оцінюється на нескінченності, а негативна нескінченність дорівнює 0, через припущення, що ця хвильова функція наближається до 0, оскільки одна поширюється до нескінченності в обох напрямках. Це означає, що D*/dx, наприклад, також наближається до 0.

\[= i\int Ψ(d^2Ψ*/dx)\nonumber \]

\[= i\int Ψ(d^2Ψ*/dx^2)dx \nonumber \]

\[= \int Ψi(d^2/dx^2)Ψ*dx \nonumber \]

\[i(d^2/dx^2)* = -i(d^2/dx^2)\nonumber \]

так що цей оператор НЕ Ермітіан

4.32

Визначте, чи є такі оператори Ермітом і чи вони їздять на роботу:

\[\hat{A}=i \dfrac{d}{dx}\nonumber \]

\[\hat{B}=i \dfrac{d^2}{dx^2}\nonumber \]

Враховуючи, що -$\infty$ <x<$\infty$ і операторні функції добре себе ведуть.

Рішення

Якщо оператор задовольняє цю умову, це Ермітіан.

\[\int_{-\infty}^{\infty} f^*\left(x\right)\hat{A}f\left(x\right)dx=\int_{-\infty}^{\infty} f\left(x\right)\hat{A}f^*\left(x\right)dx\nonumber \]

А)

\[\int_{-\infty}^{\infty} f^*\left(i\dfrac{df}{dx}\right)dx=i\int_{-\infty}^{\infty} f^*\dfrac{df}{dx}dx=i\left([_{-\infty}^{\infty} f^* f]-\int_{-\infty}^{\infty} f\dfrac{df^*}{dx}dx\right)\nonumber \]

\[=-i\int_{-\infty}^{\infty} f\dfrac{df^*}{dx}dx=\int_{-\infty}^{\infty} f\left(-i\dfrac{d}{dx}\right)f^*dx\nonumber \]

\[\int_{-\infty}^{\infty} f\left(i\dfrac{d}{dx}\right)^*f^*dx\nonumber \]

Цей оператор - Ермітіан

Б)

\[\int_{-\infty}^{\infty} f^*\left(i\dfrac{d^2f}{dx^2}\right)dx=[_{-\infty}^{\infty} f^* i\dfrac{df}{dx}]-\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{df^*}{dx}\dfrac{df}{dx}dx\nonumber \]

\[=-i[_{-\infty}^{\infty} f\dfrac{df^*}{dx}]+i\int_{-\infty}^{\infty} f\dfrac{d^2f^*}{dx^2}dx\nonumber \]

\[=-\int_{-\infty}^{\infty} f\dfrac{id^2}{dx^2}^*f^*dx\nonumber \]

Цей оператор не Ермітіан

Якщо оператори їздять на роботу, вони повинні задовольнити цю умову.

\[\hat{A}\hat{B}f=\hat{B}\hat{A}f\nonumber \]

\[\hat{A}\hat{B}f=\dfrac{id}{dx}\left(\dfrac{d^2f}{dx^2}\right)=\dfrac{id^3f}{dx^3}\nonumber \]

\[\hat{B}\hat{A}f=\dfrac{id^2}{dx^2}\left(\dfrac{df}{dx}\right)=\dfrac{id^3f}{dx^3}\nonumber \]

Ця пара операторів їздить на роботу.

4.34

Розглянемо дві хвильові функції $\ psi_1 (x) = A\ sin (k_1x) + B\ cos (k_1x) $і

\[\psi_2(x) = C\sin(k_2x) + D\cos(k_2x)\nonumber \]

З огляду на граничні умови:

\[\psi(0) = 0\nonumber \]

\[\dfrac{d\psi_1}{dx} = \dfrac{d\psi_2}{dx} \;\;\; at x=0\nonumber \]

\[A+B = C, k_1(A-B) = k_2C\nonumber \]

і дано вираз

$R =\ дфрак {B^2} {А^2} $

Вивести найпростіший вираз на$R$ основі термінів з граничних умов, наведених вище.

Рішення

Так як

$ А+Б = С, к_1 (А-Б) = К_2с$,

$ к_1 (А-Б) = к_2 (А+Б) $

$К_1а - К_1б = К_2А + К_2Б$

$ (к_1 - к_2) А = (к_1 + к_2) Б$

Таким чином,

$\ dfrac {B} {A} =\ dfrac {k_1 - k_2} {k_1 + k_2} $

$R =\ dfrac {B^2} {A^2} =\ ліворуч (\ dfrac {B} {A}\ праворуч) ^2=\ ліворуч (\ dfrac {k_1 - k2} {k_1 + k_2}\ праворуч) ^2$

4.34

Частка рухається в полі. На півдорозі через поле проходить лінія, яка представляє потенційну енергію. Зліва від лінії потенційна енергія знаходиться,\[x < 0\nonumber \] а праворуч від лінії потенційна енергія\[x > 0\nonumber \]. Якщо енергія частинки менше, ніж потенційна енергетична лінія, чи буде частинка відображати, коли її енергія більша за висоту потенційного енергетичного бар'єру?

Рішення

Коли\[x <0\nonumber \] рівняння Шредінгера виглядає наступним чином:

\[\dfrac{-\hbar^{2}}{2m}\dfrac{d^2\psi_{1}}{dx^2} = E\psi_{1}\nonumber \]

і рішення цього рівняння таке:

\[\psi_1(x)= Ae^{ik_1x}+Be^{-ik_1x}\nonumber \]

де

\[k_1 = (\dfrac{2mE}{\hbar^2})^{1/2}\nonumber \]

Регіон другий, де$x>0$:

\[-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2\psi_2}{dx^2}+V_0 \psi_2= E\psi_2\nonumber \]

і рішення рівняння таке:

\[\psi_2(x)= Ce^{ik_2x}+ De^{-ik_2x}\nonumber \]

\[k_2= [\dfrac{2m(E-V_0)}{\hbar^2}]^{1/2}\nonumber \]

Зверніть увагу на різницю між двома рівняннями Шредінгера. Рівняння перше не має потенційної енергетичної складової, оскільки воно перед потенційним енергетичним полем, отже, має нульову потенційну енергію. Після потенційного енергетичного поля рівняння Шредінгера має потенційну енергетичну складову, оскільки частинка має потенційну енергію в цей момент.

Коли ви вирішуєте диференціальні розв'язки рівнянь Шредінгера, ви виявите, що сума, яка відбивається назад від частинки лінією, дорівнює величині, яка передається після лінії. Це все, що ми можемо дізнатися за наданою інформацією. Однак якщо ми вирішимо це рішення, коли Енергія частинки більша за потенційну енергетичну лінію і порівняємо диференціальні рішення з усіма чотирма хвильовими функціями, то виявимо, що всі частинки будуть відображені бар'єром.