4.5: Власні функції операторів ортогональні
- Page ID
- 26658
- Розуміти властивості ермітієвого оператора та пов'язані з ними власні стани
- Визнайте, що всі експериментальні спостереження отримані ермітовими операторами
При розгляді квантово-механічного опису частинки в коробці виявлено дві важливі властивості квантових механічних систем. Ми побачили, що власні функції гамільтонового оператора ортогональні, а також побачили, що положення і імпульс частинки точно визначити не вдалося. Зараз ми вивчаємо загальність цих уявлень, констатуючи та доводячи деякі фундаментальні теореми. Ці теореми використовують ермітівську властивість квантових механічних операторів, які відповідають спостережуваним, про що обговорюється в першу чергу.
Ермітові оператори
Оскільки власні значення квантового механічного оператора відповідають вимірюваним величинам, власні значення повинні бути дійсними, а отже, квантово-механічний оператор повинен бути Ермітом. Щоб довести це, ми починаємо з приміщення, яке\(ψ\) і\(φ\) є функціями,\(\int d\tau\) являє собою інтеграцію по всіх координатах, а оператор\(\hat {A}\) Ермітіан за визначенням if
\[ \int \psi ^* \hat {A} \psi \,d\tau = \int (\hat {A} ^* \psi ^* ) \psi \,d\tau \label {4-37} \]
Це рівняння означає, що складний кон'югат\(\hat {A}\) може працювати на,\(ψ^*\) щоб отримати той же результат після інтеграції, що і\(\hat {A}\) працює на\(φ\), з подальшою інтеграцією. Щоб довести, що квантово-механічний оператор\(\hat {A}\) є Ермітіаном, розглянемо рівняння власного значення та його комплексний спряжений.
\[\hat {A} \psi = a \psi \label {4-38} \]
\[\hat {A}^* \psi ^* = a^* \psi ^* = a \psi ^* \label {4-39} \]
Зверніть увагу, що\(a^* = a\) тому, що власне значення є реальним. Помножте рівняння\(\ref{4-38}\) і\(\ref{4-39}\) зліва на\(ψ^*\) і\(ψ\), відповідно, і інтегруйте по всьому діапазону всіх координат. Зверніть увагу,\(ψ\) що нормалізується. Результати:
\[ \int \psi ^* \hat {A} \psi \,d\tau = a \int \psi ^* \psi \,d\tau = a \label {4-40} \]
\[ \int \psi \hat {A}^* \psi ^* \,d \tau = a \int \psi \psi ^* \,d\tau = a \label {4-41} \]
Оскільки обидва інтеграли рівні\(a\), вони повинні бути еквівалентними.
\[ \int \psi ^* \hat {A} \psi \,d\tau = \int \psi \hat {A}^* \psi ^* \,d\tau \label {4-42} \]
Оператор, що діє на функцію,
\[\hat {A}^* \int \psi ^* \hat {A} \psi \,d\tau = \int \psi \hat {A} ^* \psi ^* \,d\tau_* \nonumber \]
виробляє нову функцію. Оскільки функції комутують, Рівняння\(\ref{4-42}\) можна переписати як
\[ \int \psi ^* \hat {A} \psi d\tau = \int (\hat {A}^*\psi ^*) \psi d\tau \label{4-43} \]
Це рівність означає, що\(\hat {A}\) є Ермітіан.
Власні функції оператора Ерміта ортогональні, якщо вони мають різні власні значення.
Завдяки цій теоремі ми можемо легко ідентифікувати ортогональні функції без необхідності інтегрувати або проводити аналіз на основі симетрії чи інших міркувань.
\(ψ\)і\(φ\) є двома власними функціями оператора â з дійсними власними значеннями\(a_1\) і\(a_2\), відповідно. Так як власні значення дійсні,\(a_1^* = a_1\) і\(a_2^* = a_2\).
\[\hat {A} \psi = a_1 \psi \nonumber \]
\[\hat {A}^* \psi ^* = a_2 \psi ^* \nonumber \]
Перше рівняння помножте на,\(φ^*\) а друге на\(ψ\) і інтегруйте.
\[\int \psi ^* \hat {A} \psi \,d\tau = a_1 \int \psi ^* \psi \,d\tau \nonumber \]
\[\int \psi \hat {A}^* \psi ^* \,d\tau = a_2 \int \psi \psi ^* \,d\tau \label {4-45} \]
Відніміть два рівняння в Рівнянні\ ref {4-45} для отримання
\[\int \psi ^*\hat {A} \psi \,d\tau - \int \psi \hat {A} ^* \psi ^* \,d\tau = (a_1 - a_2) \int \psi ^* \psi \,d\tau \label {4-46} \]
Ліва сторона рівняння\ ref {4-46} дорівнює нулю, оскільки\(\hat {A}\) це ермітієвий вихід
\[ 0 = (a_1 - a_2 ) \int \psi ^* \psi \, d\tau \label {4-47} \]
Якщо\(a_1\) і\(a_2\) в Equation\ ref {4-47} не рівні, то інтеграл повинен дорівнювати нулю. Цей результат доводить, що невироджені власні функції одного оператора є ортогональними.
\(\square\)
Дві хвильові функції,\(\psi_1(x)\) і\(\psi_2(x)\), як кажуть, ортогональні, якщо
\[\int_{-\infty}^{\infty}\psi_1^\ast \psi_2 \,dx = 0. \label{4.5.1} \]
Розглянемо два власних\(\psi_a(x)\) стани\(\hat{A}\), і\(\psi_{a'}(x)\), які відповідають двом різним власним значенням\(a\) і\(a'\), відповідно. Таким чином,
\[A\psi_a = a \psi_a \label{4.5.2} \]
\[A\psi_a' = a' \psi_a' \label{4.5.3} \]
Помноживши комплексний сполучений першого рівняння на\(\psi_{a'}(x)\), а другого рівняння на\(\psi^*_{a'}(x)\), а потім інтегруючи по всьому\(x\), отримаємо
\[ \int_{-\infty}^\infty (A \psi_a)^\ast \psi_{a'} dx = a \int_{-\infty}^\infty\psi_a^\ast \psi_{a'} dx, \label{ 4.5.4} \]
\[ \int_{-\infty}^\infty \psi_a^\ast (A \psi_{a'}) dx = a' \int_{-\infty}^{\infty}\psi_a^\ast \psi_{a'} dx. \label{4.5.5} \]
Однак від\(\ref{4-46}\) Рівняння ліві сторони вищевказаних двох рівнянь рівні. Отже, ми можемо написати
\[(a-a') \int_{-\infty}^\infty\psi_a^\ast \psi_{a'} dx = 0. \nonumber \]
За припущенням\(a \neq a'\), поступаючись
\[\int_{-\infty}^\infty\psi_a^\ast \psi_{a'} dx = 0. \nonumber \]
Іншими словами, власні стани ермітового оператора, що відповідають різним власним значенням, автоматично ортогональні.
Власні значення операторів, пов'язаних з експериментальними вимірами, є реальними.
Намалюйте графіки та використовуйте їх, щоб показати, що хвильові функції частинок у коробці для\(\psi(n = 2)\) та\(\psi(n = 3)\) ортогональні один до одного.
Рішення
Дві хвильові функції PIB якісно схожі при побудові
Ці хвильові функції ортогональні, коли
\[\int_{-\infty}^{\infty} \psi(n=2) \psi(n=3) dx =0 \nonumber \]
і коли хвильові функції PIB підставляються, цей інтеграл стає
\[\begin{align*} \int_0^L \sqrt{\dfrac{2}{L}} \sin \left( \dfrac{2n}{L}x \right) \sqrt{\dfrac{2}{L}} \sin \left( \dfrac{2n}{L}x \right) dx &= ? \\[4pt] \dfrac{2}{L} \int_0^L \sin \left( \dfrac{2}{L}x \right) \sin \left( \dfrac{3}{L}x \right) &= ? \end{align*} \nonumber \]
Ми можемо розширити integrand, використовуючи тригонометричні ідентичності, щоб допомогти вирішити інтеграл, але легше скористатися симетрією integrand, зокрема,\(\psi(n=2)\) хвильова функція парна (сині криві на малюнку вище) і\(\psi(n=3)\) непарна (фіолетова крива). Їх добуток (парний раз непарний) - непарна функція, а інтеграл над непарною функцією дорівнює нулю. Тому\(\psi(n=2)\) і\(\psi(n=3)\) хвильові функції ортогональні.
Це можна повторювати нескінченну кількість разів, щоб підтвердити, що весь набір хвильових функцій PIB взаємно ортогональні, як гарантує теорема ортогональності.
Ортогональність вироджених власних станів
Розглянемо два власних\(\psi_a\) стани\(\hat{A}\), і\(\psi'_a\), які відповідають одному і тому ж власному значенню,\(a\). Такі власні стани називаються виродженими. Наведений вище доказ ортогональності різних власних станів не вдається для вироджених власних станів. Однак зауважте, що будь-яка лінійна комбінація\(\psi_a\) і також\(\psi'_a\) є власним станом,\(\hat{A}\) відповідним власному значенню\(a\). Таким чином, навіть якщо\(\psi_a\) і не\(\psi'_a\) є ортогональними, ми завжди можемо вибрати дві лінійні комбінації цих власних станів, які є ортогональними. Наприклад, якщо\(\psi_a\) і правильно\(\psi'_a\) нормалізовані, ми можемо визначити інтеграл перекриття
\[S= \int_{-\infty}^\infty \psi_a^\ast \psi_a' dx ,\label{ 4.5.10} \]
Легко продемонструвати (але не тут), що
\[\psi_a'' = \frac{\vert S\vert}{\sqrt{1-\vert S\vert^2}}\left(\psi_a - S^{-1} \psi_a'\right) \label{4.5.11} \]
є правильно нормованим власним станом\(\hat{A}\), відповідним власному значенню\(a\), яке є ортогональним до\(\psi_a\). Просто узагальнити вищевказаний аргумент до трьох або більше вироджених власних станів. Звідси робимо висновок, що власні стани ермітієвого оператора є або можуть бути обрані взаємно ортогональними.
Вироджені власні функції не є автоматично ортогональними, але можуть бути зроблені так математично за допомогою Ортогоналізації Грама-Шмідта.
Вищевказана теорема стверджує, що якщо власні значення двох власнихфункцій однакові, то функції говорять як вироджені і можуть утворюватися лінійні комбінації вироджених функцій, які будуть ортогональними один одному. Оскільки дві власні функції мають однакові власні значення, лінійна комбінація також буде власною функцією з однаковим власним значенням. Доказ цієї теореми показує нам один із способів отримання ортогональних вироджених функцій.
Якщо\(\psi_a\) і\(\psi'_a\) вироджені, але не ортогональні, ми можемо визначити нову складену хвильову функцію,\(\psi_a'' = \psi'_a - S\psi_a\) де\(S\) є інтеграл перекриття:
\[S= \langle \psi_a | \psi'_a \rangle \nonumber \]
то\(\psi_a\) і\(\psi_a'' \) буде ортогональним.
\[\begin{align*} \langle \psi_a | \psi_a'' \rangle &= \langle \psi_a | \psi'_a - S\psi_a \rangle \\[4pt] &= \cancelto{S}{\langle \psi_a | \psi'_a \rangle} - S \cancelto{1}{\langle \psi_a |\psi_a \rangle} \\[4pt] &= S - S =0 \end{align*} \nonumber \]
\(\square\)
Знайти\(N\), що нормалізує\(\psi\) якщо\(\psi = N(φ_1 − Sφ_2)\) де\(φ_1\) і\(φ_2\) нормалізуються хвильові функції і\(S\) є їх інтегралом перекриття.
\[S= \langle φ_1 | φ_2 \rangle \nonumber \]
- Відповідь
-
Пам'ятайте, що для нормалізації довільної хвильової функції ми знаходимо константу\(N\) таку, що\(\langle \psi | \psi \rangle = 1\). Це прирівнюється до наступної процедури:
\[ \begin{align*} \langle\psi | \psi\rangle =\left\langle N\left(φ_{1} - Sφ_{2}\right) | N\left(φ_{1} - Sφ_{2}\right)\right\rangle &= 1 \\[4pt] N^2\left\langle \left(φ_{1} - Sφ_{2}\right) | \left(φ_{1}-Sφ_{2}\right)\right\rangle &=1 \\[4pt] N^2 \left[ \cancelto{1}{\langle φ_{1}|φ_{1}\rangle} - S \cancelto{S}{\langle φ_{2}|φ_{1}\rangle} - S \cancelto{S}{\langle φ_{1}|φ_{2}\rangle} + S^2 \cancelto{1}{\langle φ_{2}| φ_{2}\rangle} \right] &= 1 \\[4pt] N^2(1 - S^2 \cancel{-S^2} + \cancel{S^2})&=1 \\[4pt] N^2(1-S^2) &= 1 \end{align*} \nonumber \]
тому
\[N = \dfrac{1}{\sqrt{1-S^2}} \nonumber \]
Зроблено висновок, що власні стани операторів є або можуть бути обрані взаємно ортогональними.
\[ \int \psi'_a^* \psi_a d\tau \nonumber \]
то\(\psi_a\) і\(Φ\) буде ортогональним.
\[ \begin{align*} \int \psi_A^* Φ d\tau &= \int \psi_a^* (\psi'_a - S \psi_a ) d\tau \\[4pt] &= \int \psi_a^* \psi'_a d\tau - S \int \psi_a^*\psi_a d\tau \\[4pt] &= S - S = 0 \end{align*} \nonumber \]