4.4: Залежне від часу рівняння Шредінгера
- Page ID
- 26650
- Визнайте відмінності між залежними від часу та незалежними від часу рівняннями Шредінгера
- Розрізняти стаціонарні та нестаціонарні хвильові функції
Існує два «смаки» рівнянь Шредінгера: залежні від часу та незалежні від часу версії. Хоча залежне від часу рівняння Шредінгера передбачає, що хвильові функції можуть утворювати стоячі хвилі (звані стаціонарними станами), що якщо класифікувати та зрозуміти, то стає легше вирішити залежне від часу рівняння Шредінгера для будь-якого стану. Стаціонарні стани також можуть бути описані незалежним від часу рівнянням Шредінгера (використовується лише тоді, коли гамільтоніан явно не залежить від часу). Однак слід зазначити, що розв'язки незалежного від часу рівняння Шредінгера все ще мають часові залежності.
Залежні від часу хвильові функції
Нагадаємо, що незалежне від часу рівняння Шредінгера
\[\hat{H}\psi (x)=E\psi (x) \label{4.4.1} \]
дає дозволені енергії і відповідні хвильові функції. Однак це не говорить нам про те, як система розвивається з часом. Здавалося б, чогось не вистачає, так як, врешті-решт, класична механіка підказує нам, як еволюціонують позиції і швидкості класичної системи в часі. Часова залежність задається розв'язанням другого закону Ньютона
\[m\dfrac{d^2 x}{dt^2}=F(x) \label{4.4.2} \]
Але де ж\(t\) в квантовій механіці? Перш за все, що має розвиватися в часі? Відповідь полягає в тому, що хвильова функція (і пов'язана з нею щільність ймовірності) повинна розвиватися. Отже, припустимо, що ми готуємо систему\(t=0\) відповідно до певної щільності ймовірності,\(p(x,0)\) пов'язаної з\(\Psi (x,0)\) амплітудою
\[p(x,0) =|\Psi (x,0)|^2 \label{4.4.3} \]
Як буде\(\Psi (x,0)\) виглядати ця початкова амплітуда\(t\) пізніше? Відзначимо, до речі, що\(\Psi (x,0)\) зовсім необов'язково має бути одне з власнихстанів\(\psi_n (x)\). Щоб вирішити цю проблему, ми посилаємося на залежне від часу рівняння Шредінгера, яке говорить нам, як\(\Psi (x,t)\) буде розвиватися, починаючи з початкової умови\(\Psi (x,0)\):
\[\hat{H}\Psi (x,t)=i\hbar\dfrac{\partial}{\partial t}\Psi (x,t) \label{4.4.4} \]
Важливо знати, як це працює фізично і коли достатньо працювати з незалежною від часу версією рівняння Шредінгера (Equation\ ref {4.4.1}).
Часова залежність хвильових функцій регулюється залежним від часу рівнянням Шредінгера (рівняння\(\ref{4.4.4}\)).
Стаціонарні стани
Припустимо, що нам пощастило вибрати
\[\Psi (x,0) =\psi_n (x) \nonumber \]
з відповідною щільністю ймовірності
\[ p(x,0) =|\psi_n (x)|^2 \label{4.4.5} \]
Ми покажемо, що
\[\Psi (x,t) =\psi_n (x)e^{-iE_n t/\hbar} \label{4.4.5A} \]
З залежного від часу рівняння Шредінгера
\[\begin{align*}\dfrac{d\Psi}{dt} &= \psi_n (x) \left ( \dfrac{-iE_n}{\hbar} \right ) e^{-iE_n t/\hbar} \\[4pt] i\hbar \dfrac{d\Psi }{dt} &= E_n \psi_n (x) e^{-iE_n t/\hbar} \end{align*} \label{4.4.6} \]
Аналогічно
\[\begin{align*} \hat{H}\Psi (x,t) &=e^{-iE_n t/\hbar}\hat{H}\psi_n (x) \\[4pt] &=e^{-iE_n t/\hbar}E_n \psi_n (x) \label{4.4.7} \end{align*} \]
Звідси\(\psi_n (x) exp(-iE_n t/\hbar)\) satisfies the залежне від часу рівняння Шредінгера (рівняння\(\ref{4.4.4}\)).
Розглянемо щільність ймовірності для цієї хвильової функції:\(p(x,t)=|\Psi (x,t)|^2\)
\[\begin{align*}p(x,t) &= \left [ \psi_n (x) e^{iE_n t/\hbar} \right ] \left [ \psi_n (x)e^{-iE_n t/\hbar} \right ] \\[4pt] &= \psi_{n}^{2}(x)e^{iE_n t/\hbar}e^{-iE_n t/\hbar}\\[4pt] &= |\psi_n (x)|^2 =p(x,0)\end{align*} \label{4.4.8} \]
ймовірність не змінюється в часі і з цієї причини,\(\psi_n (x)\) називається стаціонарним станом. В такому стані енергія залишається закріпленою на чітко визначеному значенні\(E_n\).
нестаціонарні стани
Припустимо, однак, що ми вибрали\(\Psi (x,0)\) якесь довільне лінійне поєднання двох найнижчих енергетичних станів:
\[\Psi (x,0) =a\psi_1 (x)+b\psi_2 (x) \label{4.4.9} \]
наприклад
\[\Psi (x,0) =\dfrac{1}{\sqrt{2}}[\psi_1 (x)+\psi_2 (x)] \label{4.4.10} \]
як в попередньому прикладі. Потім щільність ймовірності в часі\(t\)
\[p(x,t) = |\Psi (x,t)|^2 \neq p(x,0) \label{4.4.11} \]
Щоб така суміш була можливою, в системі має бути достатня кількість енергії, щоб була певна ймовірність вимірювання частинки в збудженому стані.
Нарешті, припустимо, ми починаємо зі стану
\[\Psi (x,0)=\dfrac{1}{\sqrt{2}} [\psi_1 (x) + \psi_2 (x)] \nonumber \]
і ми дозволяємо цьому стану розвиватися з часом. У будь-який момент часу стан\(\Psi (x,t)\) буде якоюсь сумішшю\(\psi_1 (x)\) і\(\psi_2 (x)\), і ця суміш з часом змінюється. Тепер, в якомусь конкретному випадку в часі\(t\), ми вимірюємо енергію і отримуємо значення\(E_1\). Який стан системи відразу після того, як проводиться вимір? Як тільки ми зробимо вимірювання, то ми з 100% впевненістю знаємо, що енергія є\(E_1\). З наведеного вище обговорення існує лише одна можливість для стану системи, і це має бути хвильова функція\(\psi_1 (x)\), оскільки в цьому стані ми зі 100% впевненістю знаємо, що енергія є\(E_1\). Значить, відразу після вимірювання повинен бути стан\(\psi_1 (x)\), а значить, через вимірювання\(\psi_2 (x)\) випадає будь-яка подальша залежність від, і за весь час після цього ніякої залежності від\(\psi_2 (x)\). Отже, будь-яке подальше вимірювання енергії дало б значення\(E_1\) зі 100% впевненістю. Це переривчасте зміна квантового стану системи в результаті вимірювання відоме як колапс хвильової функції. Ідея про те, що еволюція системи може змінитися в результаті вимірювання, є однією з тем, яка в даний час обговорюється серед квантових теоретиків.
Той факт, що вимірювання квантової системи змінює свою еволюцію часу, означає, що експериментатор тепер пов'язаний з квантовою системою. Цей ефект спостерігача означає, що акт спостереження впливатиме на спостережуване явище. У класичній механіці такої муфти не існує. Класична система буде розвиватися відповідно до законів руху Ньютона незалежно від того, спостерігаємо ми її чи ні. Це невірно для квантових систем. Сам акт спостереження за системою змінює те, як вона розвивається в часі.
Іншим способом, просто спостерігаючи за системою, ми її змінюємо!