4.2: Квантові оператори представляють класичні змінні
- Page ID
- 26656
- Зрозумійте, як принцип відповідності стверджує, що унікальний квантовий оператор існує для кожного класичного спостережуваного.
- Розпізнайте кілька часто використовуваних квантових операторів
Спостережувана - це динамічна змінна системи, яку можна експериментально виміряти (наприклад, положення, імпульс та кінетична енергія). У системах, керованих класичною механікою, це реальна функція (ніколи не складна), однак у квантовій фізиці кожна спостережувана в квантовій механіці представлена незалежним оператором, який використовується для отримання фізичної інформації про спостережуване з хвильової функції. Це загальний принцип квантової механіки, що існує оператор для кожного фізичного спостережуваного. Для спостережуваної, яка представлена в класичній фізиці функцією\(Q(x,p)\), відповідним оператором є\(Q(\hat{x},\hat{p})\).
Для кожної спостережуваної властивості системи існує відповідний квантово-механічний оператор. Це часто називають принципом листування.
Класичні динамічні змінні, такі як\(x\) і\(p\), представлені в квантовій механіці лінійними операторами, які діють на хвильову функцію. Оператором положення частинки в трьох вимірах є просто набір координат\(x\), і\(y\)\(z\), який записується у вигляді вектора,\(r\):
\[ \begin{align} \vec{r} &= (x , y , z ) \\[4pt] &= x \vec {i} + y \vec {j} + z \vec {k} \label {4.2.1} \end{align} \]
Оператором для складової лінійного імпульсу є
\[ \hat {p} _x = -i \hbar \dfrac {\partial}{\partial x} \label {4.2.2} \]
і оператор кінетичної енергії в одному вимірі
\[ \hat {T} _x = \left ( -\dfrac {\hbar ^2}{2m} \right ) \dfrac {\partial ^2}{\partial x^2} \label {4.2.3} \]
і в трьох вимірах
\[ \hat {p} = -i \hbar \nabla \label {4.2.4} \]
і
\[ \hat {T} = \left ( -\dfrac {\hbar ^2}{2m} \right ) \nabla ^2 \label {4.2.5} \]
Оператор загальної енергії називається гамільтонівським оператором\(\hat{H}\) і складається з оператора кінетичної енергії плюс оператор потенційної енергії.
\[\hat {H} = - \frac {\hbar ^2}{2m} \nabla ^2 + \hat {V} (x, y , z ) \label{3-22} \]
Гамільтонівський оператор названий на честь ірландського математика Вільяма Гамільтона і походить від його формулювання класичної механіки, яка базується на загальній енергії:
\[\hat{H} = \hat{T} + \hat{V} \nonumber \]
а не другий закон Ньютона,
\[\vec{F} = m\vec{a} \nonumber \]
У багатьох випадках розглядається лише кінетична енергія частинок і електростатична або кулонівська потенційна енергія, обумовлена їх зарядами, але загалом у гамільтоніана з'являються всі терміни, що сприяють енергії. Ці додаткові терміни враховують такі речі, як зовнішні електричні та магнітні поля та магнітні взаємодії внаслідок магнітних моментів частинок та їх руху.
| Ім'я | Спостережуваний символ | Символ оператора | Операція |
|---|---|---|---|
| Позиція (в 1D) | \(x\) | \(\hat{X}\) | Помножити на\(x\) |
| Позиція (в 3D) | \(\vec{r}\) | \(\hat{R}\) | Помножити на\(\vec{r}\) |
| Імпульс (в 1D) | \(p_{x}\) | \(\hat{P_{x}}\) | -\(\imath \hbar \dfrac{d}{dx}\) |
| Імпульс (в 3D) | \(\vec{p}\) | \(\hat{P}\) |
-\(\imath \hbar \left[ \hat{i}\ \dfrac{d}{dx} + \hat{j} \dfrac{d}{dy} + \hat{k} \dfrac{d}{dz}\right]\)
|
| Кінетична енергія (в 1D) | \(T_{x}\) | \(\hat{T_{x}}\) | \(\dfrac{-\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2}{dx^2}\) |
| Кінетична енергія (в 3D) | \(T\) | \(\hat{T}\) |
\(\dfrac{-\hbar^2}{2m} \left[\dfrac{d^{2}}{dx^{2}} + \dfrac{d^2}{dy^2} + \dfrac{d^2}{dz^2} \right]\) Які можна спростити до \(\dfrac{- \hbar^2}{2m}\)\(\bigtriangledown^{2}\) |
| Потенційна енергія (в 1D) | \(V(x)\) | \(\hat{V}(x)\) | Помножити на\(V(x)\) |
| Потенційна енергія (в 3D) | \(V(x,y,z)\) | \(\hat{V}(x,y,z)\) | Помножити на\(V(x,y,z)\) |
| Загальна енергія | \(E\) | \(\hat{E}\) | \(\dfrac{- \hbar^{2}}{2m} \nabla^2 + V(x,y,z)\) |
| Кутовий момент (компонент осі х) | \(L_{x}\) | \(\hat{L_{x}}\) | -\(\imath \hbar \left[ y \dfrac{d}{dz} - z \dfrac{d}{dy}\right]\) |
| Кутовий момент (компонент осі y) | \(L_{y}\) | \(\hat{L_{y}}\) | -\(\imath \hbar \left[ z \dfrac{d}{dx} - x \dfrac{d}{dz}\right]\) |
| Кутовий момент (компонент осі z) | \(L_{z}\) | \(\hat{L_{z}}\) | -\(\imath \hbar \left[ x \dfrac{d}{dy} - y \dfrac{d}{dx}\right]\) |