4.1: Wavefunction визначає стан системи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 26662

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Введемо перший постулат квантової механіки
Розпізнавати неприпустимі категорії хвилевих функцій

У класичній механіці конфігурація або стан системи задається точкою\(( x , p )\) в просторі координат і моментів. Це визначає все інше в системі повністю детермінованим способом, оскільки будь-який спостережуваний,\(Q\) який можна виразити так, як\(Q ( x , p )\) можна знайти, і будь-яке, що не може, не має значення. І все ж, як ми бачили з дифракцією електронів, неможливо дізнатися як положення, так і імпульс електрона точно в кожній точці по траєкторії. Це математично виражається як відомий принцип невизначеності позиції-імпульсу. Отже, вказати стан по\(( x , p )\) в класичній механіці явно не вийде в квантовій механіці. Так що ж визначає стан квантової системи? Ось тут і приходить перший Постулат квантової механіки.

Постулат I

Стан системи повністю задається\(\psi\). всіма можливими відомостями про систему можна знайти в хвильової функції.\(\psi\).

Властивості квантової механічної системи визначаються хвильовою функцією\(\psi(r,t)\), яка залежить від просторових координат системи і часу,\(r\) і\(t\). Для однієї системи частинок,\(r\) це набір координат цієї частинки\(r = (x_1, y_1, z_1)\). Для більш ніж однієї частинки,\(r\) використовується для представлення повного набору координат\(r = (x_1, y_1, z_1, x_2, y_2, z_2,\dots x_n, y_n, z_n)\). Оскільки стан системи визначається її властивостями,\(\psi\) визначає або ідентифікує стан і іноді називається функцією стану, а не хвильовою функцією.

Що\(\psi\) означає? На це найкраще відповісти з точки зору щільності ймовірності\(P(x)\), яка визначає ймовірність (щільність) того, що об'єкт у стані\(ψ ( x )\) буде знайдений в положенні\(x\) (інтерпретація Борна).

\[ \begin{align} P ( x ) &= ψ^*(x)ψ(x) \\[4pt] &= |ψ(x)| ^2 \label{norm} \end{align} \]

Отже, для дійсних (наприклад, добре поводяться) хвильових функцій нормована ймовірність у рівнянні\(\ref{norm}\) має значення так, що інтеграл у всьому просторі дорівнює 1.

\[\int_{-\infty}^\infty \psi^*(x)\psi(x)\;dx=1 \label{4.1.1} \]

Рівняння\ ref {4.1.1} означає, що шанс знайти частинку 100% десь у всьому просторі (наприклад, десь між\(-\infty\) і\(+\infty\)). Кажуть, що хвильова функція може бути інтегрована в квадрат, якщо Equation\ ref {4.1.1} може бути задоволений (так що інтерпретація Борна повинна бути застосована).

Визначення: Квадратні Інтегровані функції

Комплекснозначна функція\(f(x)\), є квадратно-інтегровною функцією, якщо інтеграл квадрата абсолютного значення скінченний.

\[\int_{-\infty}^\infty f^*(x) f(x)\;dx < \infty \nonumber \]

Щоб це було правдою, інтеграли позитивної та негативної частин дійсної та уявної частин обох\(f(x)\) повинні бути скінченними.

Розглянемо цей набір прикладів докладніше на малюнку Template:index. Перша\(ψ_1\) хвильова функція різко досягла максимуму при певному значенні\(x\), і щільність ймовірності, будучи її квадратом, також є піком там. Це хвильова функція для частинки, добре локалізованої в положенні, заданому центром піку, оскільки щільність ймовірності там висока, а ширина піку мала, тому невизначеність у положенні дуже мала.

Рисунок Template:index: Приклади хороших хвильових функцій\(\psi(x)\),, (червоний, верхній) і відповідної щільності ймовірності\(P(x)\),,, (синій, нижній).

Друга хвильова функція\(ψ_2\) має той же піковий профіль, але зміщений в інший центр положення. Всі властивості першої хвильової функції утримуються тут теж, так що це просто описує частку, яка добре локалізована в цьому іншому положенні. Третя і четверта хвильові функції\(ψ_3\) і\(ψ_4\) відповідно виглядають як синусоїди різних просторових періодів. Хвильові функції насправді складні форми

\[ψ ( x ) = Ne^{ikx} \nonumber \]

тому тільки реальна частина будується на малюнку Template:index. Зверніть увагу, що навіть незважаючи на те\(k\), що періоди коливальних хвильових функцій різні,

\[ \begin{align*} P(x) &= ψ^*(x)ψ(x) \\[4pt] &= | e^{ikx} |^2 \\[4pt] &= N^2\left(e^{-ikx}\right) \left(e^{ikx}\right) \\[4pt] &= N^2 \end{align*} \nonumber \]

для всіх\(k\), тому відповідні щільності ймовірності\(P(x)\), однакові за винятком константи нормалізації (Equation\(\ref{norm}\)). Ми бачили раніше, що не має великого сенсу думати про синусоїдальну хвилю як локалізовану в якомусь місці. Дійсно, позиції для цих двох хвильових функцій неправильно визначені, тому вони погано локалізовані, і невизначеність в положенні велика в кожному конкретному випадку. Це принцип невизначеності Гейзенберга в дії.

Погано поводяться (недійсні) хвильові функції

Інтерпретація Борна в Рівнянні\(\ref{norm}\) означає, що багато хвильових функцій, які були б прийнятними математичними розв'язками рівняння Schr ö dinger, є неприйнятними через їх наслідки для фізичних властивостей системи. . Щоб задовольнити цю інтерпретацію, хвильові функції повинні бути:

одиничний цінний,
безперервний, і
скінченний.

Ці аспекти означають, що дійсна хвильова функція повинна бути один-на-один, вона не може мати невизначений нахил і не може йти до\(-\infty\) або\(+\infty\). Наприклад, хвильова функція не повинна бути нескінченною в будь-якій кінцевій області. Якщо вона є, то інтеграл в Рівнянні\(\ref{4.1.1}\) дорівнює нескінченності. Це означає, що частка, описана такою хвильовою функцією, має нульову ймовірність бути де завгодно, де хвильова функція не нескінченна, але, безумовно, буде знайдена у всіх точках, де хвильова функція нескінченна.

4.1.2.svg — Рисунок Template:index: Ця функція є неприпустимою хвильовою функцією, оскільки амплітуда збирається до нескінченності над областю (в даному випадку серединою). (CC BY-NC; Перейти через LibreTexts)

Інтерпретація Борна також робить неприйнятними розв'язки рівняння Шредінгера, для якого в будь-якій точці\(|ψ(x)|^2\) має більше одного значення. Це свідчить про те, що існувало кілька різних ймовірностей знаходження частинки в цій точці, що явно абсурдно. Вимога про те, що квадратний модуль хвильової функції повинен бути однозначним, зазвичай має на увазі, що сама хвильова функція повинна бути однозначною. Функція на малюнку Template:index порушує цю вимогу. Сірі лінії вказують на область, де хвильова функція є багатозначною.

4.1.3.свг — Рисунок Template:index: Ця функція є неприпустимою хвильовою функцією, оскільки вона не є належною функцією (тобто не один до одного). (CC BY-NC; Перейти через LibreTexts)

Подальші обмеження виникають через те, що хвильова функція повинна задовольняти рівнянню Шредінгера, яке є диференціальним рівнянням другого порядку. Це означає, що друга похідна функції повинна існувати, що означає, що перша похідна хвильової функції повинна існувати (інакше друга похідна також не визначена, і хвильова функція не може бути розв'язком рівняння Шредінгера). Функції на рисунку Template:index також неприйнятні з цих причин.

4.1.4-1.свг — Рисунок Template:index: Ці функції є некоректними хвильовими функціями. (ліворуч) Перша похідна функції дає свій градієнт у заданій точці, і, таким чином, вона існує до тих пір, поки функція є безперервною - тільки якщо є розрив функції, є точка, в якій її першої похідної не існує. (праворуч) Друга похідна цієї хвильової функції є переривчастою в зазначеній точці, де градієнт лінії змінюється більш ніж на 180º. На практиці ця вимога може бути дещо гнучким, особливо якщо потенційна енергія системи показує швидкі зміни з відстанню. (CC BY-NC; Перейти через LibreTexts)

4.1.4-2.свг — Рисунок Template:index: Ці функції є некоректними хвильовими функціями. (ліворуч) Перша похідна функції дає свій градієнт у заданій точці, і, таким чином, вона існує до тих пір, поки функція є безперервною - тільки якщо є розрив функції, є точка, в якій її першої похідної не існує. (праворуч) Друга похідна цієї хвильової функції є переривчастою в зазначеній точці, де градієнт лінії змінюється більш ніж на 180º. На практиці ця вимога може бути дещо гнучким, особливо якщо потенційна енергія системи показує швидкі зміни з відстанню. (CC BY-NC; Перейти через LibreTexts)

Вправа Template:index

Визначте, чи прийнятна кожна з наступних функцій як хвильова функція над зазначеними регіонами:

\(\cos x \)над\((0,\infty)\)
\(e^x \)над\((-\infty,\infty)\)
\(e^{-x} \)над\([0,\infty)\)
\(\tan \theta\)над\([0, 2\theta]\)

Рішення a: Це не прийнятна хвильова функція. Він є однозначним по всьому діапазону. Існує одне значення для кожного значення\(x\). Це безперервно за визначеними межами інтеграції, як ми бачимо з сюжету, наведеного нижче. Однак він не є квадратним інтегрується. \[\int_{0}^{\infty} | \cos(x) |^2 dx \; \xcancel{<} \; \infty \nonumber \]

Рішення б: Це не прийнятна хвильова функція. За межами інтеграції від\( -\infty \) до\( \infty \), ця функція не є квадратною інтеграцією. Зверніть увагу на графіку нижче, як функція невизначено наближається до меж\( \infty \).

Рішення c: Це прийнятна хвильова функція понад задані межі. Він є кінцевим за задані межі. Він безперервний в заданих межах. Він однозначний. Це квадратно-інтегрується с\(\displaystyle \int_{0}^{\infty} | \Psi(x) |^2 dx = \frac{1}{2} \).

Рішення d: Це не прийнятна хвильова функція. Він є переривчастим над межами інтеграції.

Дописувачі та атрибуція

Професор Аллан Адамс, професор Метью Еванс, професор Бартон Цвібах (використовується з дозволу, MIT OpenCourseWare)