2.3: Коливальні розв'язки диференціальних рівнянь

Last updated
Save as PDF

Page ID: 27019

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Дослідіть основи коливальних розв'язків хвильового рівняння
Розуміти наслідки граничних умов на можливі розв'язки
Раціоналізувати, як задовольняють граничні умови змушують квантування (тобто існують лише рішення з конкретними довжинами хвиль)

Граничні умови для рядка, що утримується до нуля на обох кінцях,\(u(x,t)\) стверджують, що згортається до нуля в крайності рядка (Рисунок Template:index).

Рисунок Template:index: Стоячі хвилі в рядку (як просторово, так і тимчасово). з Вікіпедії.

На жаль\(K>0\), коли загальне рішення (Рівняння 2.2.7) призводить до суми експоненціальних розпадів і наростів, які не можуть досягти граничних умов (крім тривіального розв'язку); отже\(K<0\). Це означає, що ми повинні ввести комплексні числа через члени\(\sqrt{K}\) в Рівнянні 2.2.5. Таким чином, ми можемо переписати\(K\):

\[K = - p^2 \label{2.3.1} \]

і рівняння 2.2.4b може бути

\[\dfrac{d^2X(x)}{dx^2} +p^2 X(x) = 0 \label{2.3.2} \]

Загальним розв'язком диференціальних рівнянь у вигляді рівняння\ ref {2.3.2} є

\[X(x) = A e^{ipx} + B e^{-ipx} \label{2.3.3} \]

Приклад Template:index

Переконайтеся, що Рівняння\(\ref{2.3.3}\) є загальною формою для диференціальних рівнянь у формі рівняння\(\ref{2.3.2}\), які при заміні рівнянням\(\ref{2.3.1}\) дають

\[X(x) = A e^{ipx} + B e^{-ipx} \nonumber \]

Рішення

Розгорнути складні експоненціальні на тригонометричні функції за допомогою формули Ейлера (\(e^{i \theta} = \cos \theta + i\sin \theta\))

\[X(x) = A \left[\cos (px) + i \sin (px) \right] + B \left[ \cos (px) - i \sin (px) \right] \nonumber \]

збір подібних термінів

\[X(x) = (A + B ) \cos (px) + i (A - B) \sin (px) \label{2.3.6} \]

Ввести нові комплексні константи\(c_1=A+B\) і\(c_2=i(A-B)\) так, щоб загальний розв'язок у Рівнянні\(\ref{2.3.6}\) можна було виражати як коливальні функції

\[X(x) = c_1 \cos (px) + c_2 \sin (px) \label{2.3.7} \]

Тепер застосуємо граничні умови з Рівняння 2.2.7 для визначення констант\(c_1\) і\(c_2\). Підстановка першої граничної умови (\(X(x=0)=0\)) в загальні розв'язки рівняння\(\ref{2.3.7}\) призводить до

\[ \begin{align} X(x=0) = c_1 \cos (0) + c_2 \sin (0) &=0 \nonumber \\[4pt] c_1 + 0 &= 0 \nonumber \\[4pt] c_1 &=0 \label{2.3.8c} \end{align} \]

і підстановка другої граничної умови (\(X(x=L)=0\)) в загальні розв'язки Рівняння\(\ref{2.3.7}\) призводить до

\[ X(x=L) = c_1 \cos (pL) + c_2 \sin (pL) = 0 \label{2.3.9} \]

ми вже знаємо, що\(c_1=0\) з першої граничної умови тому рівняння\(\ref{2.3.9}\) спрощує

\[ c_2 \sin (pL) = 0 \label{2.3.10} \]

Враховуючи властивості синусів, рівняння\(\ref{2.3.9}\) спрощує

\[ pL= n\pi \label{2.3.11} \]

з\(n=0\) - це тривіальне рішення, яке ми так ігноруємо\(n = 1, 2, 3...\).

\[ p = \dfrac{n\pi}{L} \label{2.3.12} \]

Заміна рівнянь\(\ref{2.3.12}\) і\(\ref{2.3.8c}\) в рівняння\(\ref{2.3.7}\) призводить до

\[X(x) = c_2 \sin \left(\dfrac{n\pi x}{L} \right) \nonumber \]

що може спростити

\[X(x) = c_2 \sin \left( \omega x \right) \nonumber \]

із

\[\omega=\dfrac{n\pi}{L} \nonumber \]

Аналогічний аргумент стосується і іншої половини ansatz (\(T(t)\)).

Вправа Template:index

З огляду на дві біжать хвилі:\[ \psi_1 = \sin{(c_1 x+c_2 t)} \; \textrm{ and } \; \psi_2 = \sin{(c_1 x-c_2 t)} \nonumber \]

Знайти довжину хвилі і швидкість хвилі\( \psi_1 \) і\( \psi_2 \)
Знайдіть наступне і визначте вузли:\[ \psi_+ = \psi_1 + \psi_2 \; \textrm{ and } \; \psi_- = \psi_1 - \psi_2 \nonumber \]

Рішення a:

\(\psi_1 \)є функцією гріха. У кожному цілому\( n \pi \) місці де\(n=0,\pm 1, \pm 2, ... \), функція sin буде дорівнює нулю. Таким чином,\( \psi_1 = 0 \) коли\(c_1 x + c_2 t = \pi n \). Розв'язування для x, при цьому ігноруючи тривіальні рішення:

\[ x = \frac{n \pi - c_2 t}{c_1} \nonumber \]

Швидкість цієї хвилі дорівнює:

\[ \frac{dx}{dt} = -\frac{c_2}{c_1} \nonumber \]

Аналогічно для\( \psi_2 \). У кожному цілому\( n \pi \) місці де\(n=0,\pm 1, \pm 2, ... \), функція sin буде дорівнює нулю. Таким чином,\( \psi_2 = 0 \) коли\(c_1 x - c_2 t = \pi n \). Розв'язування для x, для\( \psi_2 \):

\[ x = \frac{n \pi + c_2 t}{c_1} \nonumber \]

Швидкість цієї хвилі дорівнює:

\[ \frac{dx}{dt} = \frac{c_2}{c_1} \nonumber \]

Довжина хвилі для кожної хвилі в два рази перевищує відстань між двома послідовними вузлами. Іншими словами,

\[ \lambda = 2(x_{n} - x_{n-1}) = \frac{2 \pi}{c_1} \nonumber \]

Рішення б:

Знайти\( \psi_+ = \psi_1 + \psi_2 \; \textrm{ and } \; \psi_- = \psi_1 - \psi_2 \).

\[ \begin{align*} \psi_+ &= \sin (c_1 x + c_2 t) + \sin (c_1 x - c_2 t) \\[4pt] &= \sin (c_1 x ) \cos (c_2 t) + \cancel{\cos(c_1 x) \sin(c_1 t)} + \sin (c_1 x ) \cos (c_2 t) - \cancel{\cos(c_1 x) \sin(c_1 t)} \\[4pt] &= 2\sin (c_1 x ) \cos (c_2 t) \end{align*} \nonumber \]

Це повинен мати вузол на кожному\( x= n \pi / c_1 \) і

\[ \begin{align*} \psi_- &= \sin (c_1 x + c_2 t) - \sin (c_1 x - c_2 t) \\[4pt] &= \cancel{\sin (c_1 x ) \cos (c_2 t)} + \cos(c_1 x) \sin(c_1 t) - \cancel{\sin (c_1 x ) \cos (c_2 t)} + \cos(c_1 x) \sin(c_1 t) \\[4pt] &= 2\cos (c_1 x ) \sin (c_2 t) \end{align*} \nonumber \]