1.9: Принцип невизначеності Гейзенберга
- Page ID
- 26715
- Щоб зрозуміти, що колись ви не можете знати все про квантову систему, як це демонструє невпевнений принцип Гейзенберга.
У класичній фізиці вивчення поведінки фізичної системи часто є простим завданням через те, що одночасно можна виміряти кілька фізичних якостей. Однак така можливість відсутня в квантовому світі. У 1927 році німецький фізик Вернер Гейзенберг описав такі обмеження, як принцип невизначеності Гейзенберга, або просто принцип невизначеності, заявивши, що неможливо одночасно виміряти як імпульс, так і положення частинки.
Принцип невизначеності Гейзенберга - це фундаментальна теорія квантової механіки, яка визначає, чому вчений не може одночасно вимірювати кілька квантових змінних. До самого зорі квантової механіки це вважалося фактом, що всі змінні об'єкта могли бути відомі з точністю одночасно на даний момент. Ньютонівська фізика не встановлювала обмежень щодо того, наскільки кращі процедури та методи можуть зменшити невизначеність вимірювань, щоб можна було припустити, що при належному догляді та точності можна визначити всю інформацію. Гейзенберг зробив сміливу пропозицію про те, що існує нижня межа цієї точності, що робить наше знання про частинку за своєю суттю невизначеною.
Імовірність
Матерія і фотони - це хвилі, маючи на увазі, що вони розкидані на деяку відстань. Яке положення частинки, наприклад електрона? Чи знаходиться вона в центрі хвилі? Відповідь полягає в тому, як ви вимірюєте положення електрона. Експерименти показують, що ви знайдете електрон в якомусь певному місці, на відміну від хвилі. Але якщо ви налаштуєте точно таку ж ситуацію і виміряєте її знову, ви знайдете електрон в іншому місці, часто далеко за межами будь-якої експериментальної невизначеності у вашому вимірі. Повторні вимірювання відображатимуть статистичний розподіл місць, які виглядають хвилеподібними (Рисунок Template:index).
Після того, як де Брольє запропонував хвильову природу матерії, багато фізиків, включаючи Шредінгера і Гейзенберга, досліджували наслідки. Швидко виникла ідея, що через свій хвильовий характер траєкторію та призначення частинки неможливо точно передбачити для кожної частинки окремо. Однак кожна частинка йде в певне місце (Рисунок Template:index). Після складання достатньої кількості даних ви отримуєте розподіл, пов'язаний з довжиною хвилі частинки та дифракційною схемою. Існує певна ймовірність знаходження частинки в заданому місці, а загальна картина називається розподілом ймовірностей. Ті, хто розробив квантову механіку, розробили рівняння, які передбачали розподіл ймовірностей за різних обставин.
Дещо тривожно думати, що ви не можете точно передбачити, куди піде окрема частинка, або навіть слідувати за нею до місця призначення. Давайте вивчимо, що станеться, якщо ми спробуємо слідувати за частинкою. Розглянемо шаблони подвійної щілини, отримані для електронів і фотонів на рисунку Template:index. Шаблони інтерференції накопичуються статистично, коли окремі частинки потрапляють на детектор. Це можна спостерігати для фотонів або електронів - поки давайте зосередимося на електроні. Ви можете собі уявити, що електрони заважають один одному, як і будь-які хвилі. Щоб перевірити це, ви можете знизити інтенсивність, поки між щілинами та екраном ніколи не буде більше одного електрона. Той же інтерференційний шаблон нарощує!
Це означає, що розподіл ймовірності частинки охоплює обидві щілини, і частинки насправді заважають собі. Чи означає це також, що електрон проходить через обидві щілини? Електрон - це основна одиниця речовини, яка не ділиться. Але це справедливе питання, і тому ми повинні подивитися, чи проходить електрон одну щілину чи іншу, або обидві. Однією з можливостей є наявність котушок навколо щілин, які виявляють заряди, що рухаються через них. Спостерігається те, що електрон завжди проходить через одну щілину чи іншу; він не розщеплюється, щоб пройти через обидві.
Але є підступ. Якщо ви визначите, що електрон пройшов через одну з щілин, ви більше не отримаєте подвійний щілинний візерунок - натомість ви отримуєте перешкоди з однією щілиною. Немає виходу, використовуючи інший метод визначення, через яку щілину пройшов електрон. Знаючи, що частинка пройшла через одну щілину змушує однощілинний візерунок. Якщо не спостерігати, через яку щілину проходить електрон, вийде подвійний щілинний малюнок. Як знаючи, через яку щілину пройшов електрон, змінює візерунок? Відповідь принципово важлива - вимірювання впливає на спостережувану систему. Інформація може бути втрачена, а в деяких випадках неможливо виміряти дві фізичні величини одночасно з точністю. Наприклад, можна виміряти положення рухомого електрона, розсіюючи від нього світло або інші електрони. Ці зонди мають імпульс, і, розсіюючись від електрона, вони змінюють свій імпульс таким чином, що втрачає інформацію. Існує межа абсолютним знанням, навіть в принципі.
Принцип невизначеності Гейзенберга
Математично можна висловити невизначеність, яка, підсумував Гейзенберг, завжди існує, якщо намагатися виміряти імпульс і положення частинок. По-перше, ми повинні визначити змінну «x» як положення частинки, і визначити «p» як імпульс частинки. Імпульс фотона світла, як відомо, просто є його частотою, вираженою співвідношенням\(h/λ\), де h представляє постійну Планка і\(\lambda\) являє собою довжину хвилі фотона. Положення фотона світла - це просто його довжина хвилі (\(\lambda\)). Щоб представляти скінченну зміну величин, перед кількістю ставиться грецька велика буква дельта, або Δ. Тому,
\[\Delta{p}=\dfrac{h}{\lambda} \label{1.9.1} \]
\[\Delta{x}= \lambda \label{1.9.2} \]
Підставивши\(\Delta{x}\)\(\lambda\) на рівняння\(\ref{1.9.1}\), ми виводимо
\[\Delta{p}=\dfrac{h}{\Delta{x}} \label{1.9.3} \]
або,
\[\underset{\text{early form of uncertainty principle }}{\Delta{p}\Delta{x}=h} \label{1.9.4} \]
Рівняння\(\ref{1.9.4}\) можна вивести, припускаючи, що цікавить частинка поводиться як частинка, а не як хвиля. Просто нехай\(\Delta p=mv\), і\(Δx=h/(m v)\) (з виразу Де Броля для довжини хвилі частинки). Підстановка в\(Δp\) for\(mv\) у другому рівнянні призводить до рівняння\(\ref{1.9.4}\).
Рівняння\ ref {1.9.4} було додатково вдосконалено Гейзенбергом та його колегою Нільсом Бором, і врешті-решт було переписано як
\[\Delta{p_x}\Delta{x} \ge \dfrac{h}{4\pi} = \dfrac{\hbar}{2} \label{1.9.5} \]
с\(\hbar = \dfrac{h}{2\pi}= 1.0545718 \times 10^{-34}\; m^2 \cdot kg / s\).
Рівняння\(\ref{1.9.5}\) показує, що чим точніше відоме положення частинки (чим\(Δx\) менше), тим менш точно відомий імпульс частинки в напрямку x (\(Δp_x\)). Математично це відбувається тому, що чим менше\(Δx\) стає, тим більшим\(Δp_x\) повинен стати, щоб задовольнити нерівність. Однак, чим точніше відомий імпульс, тим менш точно відомо положення (Рисунок Template:index).
Рівняння\(\ref{1.9.5}\) пов'язує невизначеність імпульсу і положення. Негайні питання, які виникають, полягає в тому, чи\(\Delta x\) представляє повний діапазон можливих\(x\) значень, або якщо він наполовину (наприклад,\(\langle x \rangle \pm \Delta x\)). \(\Delta x\)є стандартним відхиленням і є статистичною мірою розкиду\(x\) значень. Використання половини можливого діапазону є більш точною оцінкою\(\Delta x\). Як ми продемонструємо пізніше, як тільки ми побудуємо хвильову функцію для опису системи, то обидві\(x\) і\(\Delta x\) можуть бути явно виведені. Однак поки що рівняння\ ref {1.9.5} буде працювати.
Наприклад: Якщо проблема стверджує, що частка потрапила в пастку в коробку довжини\(L\), то невпевненість її положення є\(\pm L/2\). Таким чином, значення\(\Delta x\) використовуваного в Рівняння\(\ref{1.9.5}\) має бути\(L/2\), а не\(L\).
Електрон обмежений розміром атома магнію з радіусом 150 пм. Яка мінімальна невизначеність в його швидкості?
Рішення
Принцип невизначеності (Рівняння\(\ref{1.9.5}\)):
\[\Delta{p}\Delta{x} \ge \dfrac{\hbar}{2} \nonumber \]
може бути написано
\[\Delta{p} \ge \dfrac{\hbar}{2 \Delta{x}} \nonumber \]
і заміщення,\(\Delta p=m \Delta v \) оскільки маса не є невизначеною.
\[\Delta{v} \ge \dfrac{\hbar}{2\; m\; \Delta{x}} \nonumber \]
відповідними параметрами є
- маса електрона\(m=m_e= 9.109383 \times 10^{-31}\; kg\)
- невизначеність в положенні:\(\Delta x=150 \times 10^{-12} m \)
\[ \begin{align*} \Delta{v} &\ge \dfrac{1.0545718 \times 10^{-34} \cancel{kg} m^{\cancel{2}} / s}{(2)\;( 9.109383 \times 10^{-31} \; \cancel{kg}) \; (150 \times 10^{-12} \; \cancel{m}) } \\[4pt] &= 3.9 \times 10^5\; m/s \end{align*} \nonumber \]
Яка максимальна невизначеність швидкості електрона описана в прикладі Template:index?
- Відповідь
-
Нескінченність. У максимальній невизначеності немає меж, просто мінімальна невизначеність.
Розуміння принципу невизначеності через хвильові пакети та щілинний експеримент
Більшості людей важко прийняти принцип невизначеності, оскільки в класичній фізиці швидкість і положення об'єкта можна обчислити з упевненістю і точністю. Однак у квантовій механіці хвильово-частинкова подвійність електронів не дозволяє точно обчислити як імпульс, так і положення, оскільки хвиля знаходиться не в одному точному місці, а розкинута по простору. «Хвильовий пакет» може бути використаний для демонстрації того, як імпульс або положення частинки можуть бути точно розраховані, але не обидва з них одночасно. Накопичення хвиль різної довжини хвиль може бути об'єднано для створення середньої довжини хвилі через інтерференційну картину: ця середня довжина хвилі називається «хвильовим пакетом». Чим більше хвиль об'єднано в «хвильовому пакеті», тим точніше стає положення частинки і тим більш невизначеною стає імпульс, оскільки додається більше довжин хвиль різних моментів. І навпаки, якщо ми хочемо більш точного імпульсу, ми додамо менше довжин хвиль до «хвильового пакету», і тоді позиція стане більш невизначеною. Тому немає можливості знайти одночасно і положення, і імпульс частинки.
Кілька вчених обговорювали принцип невизначеності, включаючи Ейнштейна. Ейнштейн створив щілинний експеримент, щоб спробувати спростувати принцип невизначеності. У нього було світло, що проходить через щілину, що викликає невизначеність імпульсу, оскільки світло поводиться як частинка і хвиля, коли проходить через щілину. Тому імпульс невідомий, але початкове положення частки відомо. Ось відео, яке демонструє частинки світла, що проходять через щілину, і коли щілина стає меншою, остаточний можливий масив напрямків частинок стає ширшим. Оскільки положення частинки стає більш точним, коли щілина звужується, напрямок, або, отже, імпульс частинки стає менш відомим, як видно більш широким горизонтальним розподілом світла.
Швидкість снаряда 1.0 г відома в межах\(10^{-6}\;m/s\).
- Обчисліть мінімальну невизначеність у своєму положенні.
- Яка максимальна невизначеність його положення?
Рішення
a
З Рівняння\(\ref{1.9.5}\),\(\Delta{p_x} = m \Delta v_x\) з\(m=1.0\;g\). Рішення\(\Delta{x}\) для отримання
\[ \begin{align*} \Delta{x} &= \dfrac{\hbar}{2m\Delta v} \\[4pt] &= \dfrac{1.0545718 \times 10^{-34} \; m^2 \cdot kg / s}{(2)(0.001 \; kg)(10^{-6} \;m/s)} \\[4pt] &= 5.3 \times 10^{-26} \,m \end{align*} \nonumber \]
Це мізерно мало для всіх цілей і цілей, як очікується для будь-якого макроскопічного об'єкта.
б
Необмежена (або розмір Всесвіту). Принципи невизначеності Гейзенберга не кількісно визначають максимальну невизначеність.
Оцініть мінімальну невизначеність швидкості електрона, обмеженого атомом водню в діаметрі\(1 \times 10^{-10} m\)?
- Відповідь
-
Потрібно кількісно оцінити невизначеність електрона в положенні. Ми можемо оцінити це як\(\pm 5 \times 10^{-10} m\). Отже, підставляючи релявантні числа в Equation\ ref {1.9.5} і розв'язуючи для\(\Delta v\)
\[\Delta v= 1.15 \times 10^6\, km/s \nonumber \]
Зверніть увагу, що невизначеність значно більша для електрона в атомі водню, ніж в атомі магнію (приклад Template:index), як очікувалося, оскільки атом магнію значно більший.
Принцип невизначеності Гейзенберга не тільки допоміг сформувати нову школу думки, відому сьогодні як квантова механіка, але й допоміг дискредитувати старі теорії. Найголовніше, що принцип невизначеності Гейзенберга зробив очевидним, що в моделі Бора атома була принципова помилка. Оскільки положення та імпульс частинки не можуть бути відомі одночасно, теорія Бора про те, що електрон подорожував круговим шляхом фіксованого радіуса, що обертається навколо ядра, застаріла. Крім того, принцип невизначеності Гейзенберга в поєднанні з іншими революційними теоріями квантової механіки допоміг сформувати хвильову механіку та сучасне наукове розуміння атома.
- Гейзенберг отримати потягнув за перевищення швидкості поліцією. Офіцер запитує його: «Ви знаєте, як швидко йшли?»
- Гейзенберг відповідає: «Ні, але ми точно знаємо, де ми знаходимося!»
- Офіцер дивиться на нього збентежено і каже: «Ви їхали 108 миль на годину!»
- Гейзенберг кидає руки вгору і плаче: «Чудово! Тепер ми загубилися!»
Дописувачі та атрибуція
- Сара Вудс, Кріс Баумгартнер (UC Davis)