7.4: Функції кореляції часу

Однією з найбільш активних областей досліджень у статистичній механіці є оцінка так званих рівноважних часових кореляційних функцій, таких як ми зіткнулися в главі 6. Кореляційна функція\(C(t)\) визначається через два фізичні оператори\(A\) та часову залежність\(B\), яку переносить гамільтоніан\(H\) через\(\exp(-iHt/ \hbar)\), та середню рівновагу над популяції Больцмана\(\exp(-\beta H)/Q\).

Квантовий механічний вираз\(C(t)\) для

\[C(t) = \sum_j \langle \Phi_j | A\exp(iHt/ \hbar) B\exp(-iHt/ \hbar) |\Phi_j\rangle \dfrac{\exp(-\beta E_j)}{Q}, \label{1}\]

в той час як класичне механічне вираз (тут ми дозволяємо скасувати\(h^{-M}\) коефіцієнт, який виникає у функції розділення, показаної в розділі 7.1.2, в чисельнику та знаменнику для простоти)

\[C(t) = \int dq(0) \int dp(0) A(q(0),p(0)) B(q(t),p(t)) \dfrac{\exp(-\beta H(q(0),p(0)))}{Q},\label{2}\]

де\(q(0)\) і\(p(0)\) є значеннями всіх координат і моментів системи в\(t=0\) і\(q(t)\) і\(p(t)\) є їх значеннями, згідно з ньютонівською механікою, на час\(t\).

Як показано вище, прикладом тимчасової кореляційної функції, яка відноситься до молекулярної спектроскопії, є дипольно-дипольна кореляційна функція, яку ми обговорювали в главі 6:

\[C(t) = \sum_j \langle \Phi_j | \textbf{e}•\boldsymbol{\mu} \exp(iHt/ \hbar) \textbf{e} \cdot \boldsymbol{\mu} \exp(-iHt/ \hbar) |\Phi_j\rangle \dfrac{\exp(-\beta E_j)}{Q},\label{3}\]

для яких\(A\) і\(B\) є одночасно електричним дипольним взаємодією\(\textbf{e}•\boldsymbol{\mu}\) між електричним полем фотона, напрямок якого характеризується вектором\(\textbf{e}\) і дипольним оператором молекули\(\mu\). Перетворення Фур'є цього конкретного\(C(t)\) стосується інтенсивності поглинання світла частоти\(\omega\):

\[I(\omega) = \int dt C(t) \exp(i\omega t).\]

Виявляється, що багато фізичних властивостей (наприклад, форми ліній поглинання, інтенсивності розсіяння Рамана) і коефіцієнти переносу (наприклад, коефіцієнти дифузії, в'язкість) можуть бути виражені через часово-кореляційні функції. Це виходить за рамки цього тексту, щоб піти набагато далі в цьому напрямку, тому я обмежу своє обговорення випадком оптичної спектроскопії, що вимагає, щоб ми зараз обговорили, як розглядається аспект еволюції часу цієї проблеми. Текст Статистична механіка, D.A. McQuarrie, Harper and Row, Нью-Йорк (1977) має хорошу обробку таких інших кореляційних функцій, тому читач спрямований на цей текст для подальших деталей.

Обчислення кореляційних функцій передбачає поширення або хвильових функцій, або класичних траєкторій, які виробляють q (t),\(p(t)\) значення, що входять у вираз для\(C(t)\). У класичному випадку здійснюється велика кількість ньютонівських траєкторій з початковими координатами\(q(0)\) та моментами,\(p(0)\) вибраними для представлення стану рівноваги системи\(N\) -молекула. Наприклад, можна використовувати метод MC для вибору цих змінних, які використовують\(\exp(-\beta H(p(0),q(0)))\) як функцію ймовірності для прийняття або відхилення початкових\(q(0)\) і\(p(0)\) значень. У цьому випадку функція зважування містить не тільки потенційну енергію, а й кінетичну енергію (і, отже, загальний гамільтоніан\(H\)), тому що тепер нам потрібно також вибрати правильні початкові значення для моментів. Отже, з багатьма (наприклад, M) виділеннями початкових\(q\) та\(p\) змінних\(N\) -молекул, що робляться, можна було б продовжити динаміку Ньютона кожного набору початкових умов. Під час кожної такої траєкторії можна було б стежити за початковою вартістю\(A(q(0), p(0))\) майна та часом прогресу\(B(q(t),p(t))\) майна. Потім можна обчислити середнє MC, щоб отримати кореляційну функцію:

\[C(t) = \dfrac{1}{M} \sum_{J=1}^M A(q_J(0),p_J(0)) B(q_J(t),p_J(t)) \exp(-\beta H(q_J(0),p_J(0))).\label{4}\]

Де індекс\(J\) позначає\(M\) прийняті конфігурації та моменти вибірки MC.

У квантовому випадку поширення часу є особливо складним і дещо виходить за рамки цього тексту. Однак я хочу дати вам деяке уявлення про кроки, які задіяні, розуміючи, що це залишається сферою дуже активних дослідницьких розробок. Як зазначається в розділі 1.3.6, можна поширювати за часом хвильову функцію\(F\), яка відома,\(t = 0\) якщо вона здатна розширюватися з\(F\) точки зору власних функцій гамільтоніана\(H\). Однак для систем, що складаються з багатьох молекул, які найбільш поширені в дослідженнях статистичної механіки, неможливо обчислити (або реалістично наблизити) ці власні функції. Таким чином, не продуктивно намагатися висловити\(C(t)\) в плані цих власних функцій. Тому був введений абсолютно новий набір інструментів для обробки поширення часу в квантовому випадку, і саме ці нові пристрої я зараз намагаюся описати таким чином, як ми бачили в розділі 1.3.6 обговорення часу поширення хвильових функцій.

Для ілюстрації розглянемо питання поширення часу, що міститься в квантовому визначенні\(C(t)\) наведеного вище. Один стикається з

1. \(t=0\)поширюючи\(|\Phi_j\rangle\) від часу\(t\), використовуючи\(\exp(-iHt/ \hbar) |\Phi_j\rangle\) і потім діючи з оператором\(B\)
2. діючи з оператором\(A^+\) далі,\(|\Phi_j\rangle \) а потім поширюючи час\(A^+ |\Phi_j\rangle \) від\(t=0\) часу\(t\), використовуючи\(\exp(-iHt/ \hbar)A^+ |\Phi_j\rangle \);
3. \(C(t)\)потім вимагає, щоб ці дві функції, що поширюються за часом, були помножені разом і інтегровані над координатами, які\(F\) залежать від.

\(\exp(-\beta H)\)Оператор, який також з'являється у визначенні,\(C(t)\) може бути об'єднаний, наприклад, з першим кроком поширення часу і фактично обробляється як частина поширення часу наступним чином:

\[exp(-iHt/ \hbar) |\Phi_j\rangle \exp(-\beta E_j) = \exp(-iHt/ \hbar) \exp(-\beta H) |\Phi_j\rangle\label{5a} \]

\[=exp(-i[t+\beta \hbar /i]H/ \hbar) |\Phi_j\rangle.\label{5b}\]

Останній вираз можна розглядати як пов'язане з поширенням у складний час від\(t = 0\) до\(t = t + \beta\hbar/i\). Хоча складний час може здатися незвичайним, як я незабаром зазначу, виявляється, що він може мати стабілізуючий вплив на успіх цих інструментів для обчислення квантових кореляційних функцій.

Подібно до того, як ми бачили раніше в розділі 1.3.6, так звані методи інтегральних шляхів Фейнмана можуть бути використані для здійснення вищевказаних розповсюджень часу. Один починається з поділу часового інтервалу на\(P\) дискретні кроки (це може бути реальний часовий інтервал або складний інтервал)

\[\exp\big[-\frac{i Ht}{\hbar}\big] = \Big\{\exp\big[-\frac{i H\delta t}{\hbar}\big]\Big\}^P .\label{6}\]

Число в кінцевому підсумку\(P\) буде прийнято великим, тому кожен часовий крок\(dt = t/P\) має невелику величину. Цей факт дозволяє використовувати наближення до експоненціального оператора, що з'являється в пропагаторі, які дійсні лише для коротких часових кроків. Для кожного з цих коротких часових кроків наближається пропагатор у найбільш часто використовуваній так званій розділеній симетричній формі:

\[\exp\big[-\frac{i H\delta t}{\hbar}\big] = \exp\big[-\frac{i V\delta t}{2 \hbar}\big] \exp\big[-\frac{i T\delta t}{\hbar}\big] \exp\big[-\frac{i V\delta t}{2 \hbar}\big].\label{7}\]

Тут\(V\) і\(T\) є оператори потенційної та кінетичної енергії, які з'являються в\(H\) =\(T + V\). Можна показати, що наведене вище наближення діє аж до умов замовлення\((\delta t)^4\). Отже, за короткий час (тобто малий\(\delta t\)) ці симетричні розділені оператори наближення до пропагатора повинні бути точними.

Потім хвильова функція, що розвивалася в часі,\(\Phi(t)\) може бути виражена як

\[\Phi(t) = \{ \exp\big[-\frac{i V\delta t}{2 \hbar}\big] \exp\big[-\frac{i T\delta t}{\hbar}\big] \exp\big[-\frac{i V\delta t}{2 \hbar}\big]\}^P \Phi(t=0).\label{8}\]

\(V\)Потенціал (крім випадків, коли присутні зовнішні магнітні поля) є функцією лише координат\(\{q_j \}\) системи, тоді як кінетичний термін\(T\) є функцією моментів\(\{p_j\}\) (якщо використовуються декартові координати). Використовуючи співвідношення повноти для власних станів оператора координат

\[1 = \int dq | q_j\rangle \langle q_j|\label{9}\]

і вставляючи цей\(P\) ідентифікаційний час (один раз між кожною комбінацією\(\exp[-i V\delta t/2\hbar] \exp[-i T\delta t/\hbar] \exp[-i V\delta t/2\hbar]\) факторів), вираз, наведений вище для\(\Phi(t)\) може бути переписаний наступним чином:

\[\Phi(q_P ,t)= \int dq_{P-1} dq_{P-2} . . . dq_1 dq_0 \prod_{j=1}^P \exp\big[ -\frac{i\delta t}{2 \hbar}(V(q_j) + V(q_{j-1}))\big]\]

\[\langle q_j| \exp\big[-\frac{i \delta tT}{\hbar}\big] |q_{j-1}\rangle \Phi(q_0,0).\]

Потім, використовуючи аналогічну ідентичність повноти для оператора імпульсу

\[1 = \frac{1}{\hbar} \int dp_j| p_j\rangle \langle p_j |\]

можна написати

\[\langle q_j| \exp\big[-\frac{i \delta tT}{\hbar}\big] |q_{j-1}\rangle = \frac{1}{\hbar} \int dp \langle q_j|p \rangle \exp\big(-\frac{ip^2\delta t}{2m \hbar} \big) \langle p|q_{j-1} \rangle .\]

Нарешті, використовуючи той факт (нагадайте це з розділу 1.3.6), що імпульс власні функції\(|p\rangle\), коли виражаються як функції координат,\(q\) задаються

\[\langle q_j|p \rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\big(\frac{ipq}{\hbar}\big),\]

вищезгаданий інтеграл стає

\[\langle q_j| \exp\big[-\frac{i \delta tT}{\hbar}\big] |q_{j-1}\rangle = \frac{1}{2\pi \hbar} \int dp \exp\big(-\frac{ip^2 dt}{2m \hbar}\big) \exp\big[\frac{ip(q_j - q_j- 1)}{\hbar}\big].\]

Цей інтеграл над\(p\) може бути здійснений аналітично, щоб дати

\[\langle q_j| \exp\big[-\frac{i \delta tT}{\hbar}\big] |q_{j-1}\rangle =\left(\frac{m}{2\pi i\hbar \delta t}\right)^{1/2} \exp\big[\frac{im(q_j - q_{j-1})^2}{2 \hbar \delta t}\big].\]

При підстановці назад в багатовимірний інтеграл for\(\Phi(q_P ,t)\), отримаємо

\[\Phi(q_P ,t)= \left(\frac{m}{2\pi i\hbar \delta t}\right)^{P/2} \int dq_{P-1} dq_{P-2} . . . dq_1 dq_0 \prod_{j=1}^P\exp\big[ -\frac{i\delta t}{2 \hbar}(V(q_j) + V(q_{j-1}))\big] \exp\big[\frac{im(q_j - q_{j-1})^2}{2 \hbar \delta t}\big] F(q_0,0)\]

або

\[\Phi(q_P ,t)= \left(\frac{m}{2\pi i\hbar \delta t}\right)^{P/2} \int dq_{P-1} dq_{P-2} . . . dq_1 dq_0 \exp\Big[\sum_{j=1}^P \big[ -\frac{i\delta t}{2 \hbar}(V(q_j) + V(q_{j-1}))+ \frac{i m(q_j - q_{j-1})^2}{2 \hbar \delta t}\big]\Big] F(q_0,0).\]

Нагадаємо, що ми говорили раніше, що функція кореляції часу повинна була бути обчислена за допомогою:

1. \(t=0\)поширюючись\(|\Phi_j\rangle\) від часу\(t\), використовуючи,\(\exp(-iHt/ \hbar) |\Phi_j\rangle\) а потім діючи з оператором B
2. діючи з оператором\(A^+\) далі,\(|\Phi_j\rangle\) а потім поширюючи час\(A^+ |\Phi_j\rangle\) від\(t=0\) часу\(t\), використовуючи\(\exp(-iHt/ \hbar)A^+ |\Phi_j\rangle\);
3. множення цих двох функцій та інтеграція над координатами, які\(F\) залежать від.

Таким чином, всі зусилля, описані вище, повинні бути витрачені для\(F (q_0,0)\) взятого, щоб бути\(|\Phi_j\rangle\) після чого результат буде помножений на оператор B, а також для\(F (q_0,0)\) прийнятих,\(A^+|\Phi_j\rangle\) щоб дозволити квантову часову кореляційну функцію\(C(t)\) для оцінки. Ці кроки можуть бути виконані, але їх дуже важко реалізувати, тому я буду направляти студента Комп'ютерне моделювання рідин, M.P. Allen і D.J. Tildesley, Oxford U. Press, Нью-Йорк (1997) для подальшого обговорення цієї теми.

Чому багатовимірні інтеграли наведеної вище форми називаються інтегралами шляху? Тому що послідовність позицій\(q_1 , ... q_{P-1}\) описує шлях, що\(q_0\) з'єднується з\(q_P\). Інтегруючи над усіма проміжними позиціями\(q_1 , q_2 ,... q_{P-1}\) для будь-якого заданого\(q_0\) і\(q_P\) один інтегрує по всіх шляхах, які з'єднуються\(q_0\) з\(q_P\). Подальше розуміння сенсу вищесказаного здобувається, спочатку усвідомлюючи, що

\[\frac{m}{2\delta t} (q_j - q_{j-1})^2 =\frac{m}{2(\delta t)^2} (q_j - q_{j-1})^2 \delta t = \int T dt\]

є скінченно-різницевим представленням, в межах\(P\) дискретних часових кроків довжини dt, інтеграла Tdt над j-м часовим кроком, і що

\[\frac{\delta t}{2} (V(q_j) + V(q_{j-1})) = \int V(q)dt\]

є поданням інтеграла\(Vd\;t\) над j-м часовим кроком. Отже, для будь-якого конкретного шляху (тобто будь-якого конкретного набору\(q_0, q_1, \cdots q_{P-1} , q_P\) значень) сума над усіма такими термінами

\[\sum_{j=1}^{P-1} \big[\frac{m(q_j - q_{j-1})^2}{2\delta t} - \frac{\delta t(V(q_j) + V(q_{j-1}))}{2}\big]\]

являє собою інтеграл протягом усього часу від\(t=0\) до так\(t = t\) званого Лагранжа\(L = T - V\):

\[\sum_{j=1}^{P-1} \big[\frac{m(q_j - q_{j-1})^2}{2\delta t} - \frac{\delta t(V(q_j) + V(q_{j-1}))}{2}\big] = \int Ldt.\]

Цей часовий інтеграл Лагранжа називається дією\(S\) в класичній механіці (нагадаємо, що в главі 1 ми використовували квантування дії в задачі частинки в коробці). Значить, N-вимірний інтеграл, в терміні якого\(\Phi(q_P ,t)\) виражається, можна записати як

\[F (q_P ,t) = \left(\frac{m}{2\pi i\hbar \delta t}\right)^{P/2} \sum_{\text{ all paths}} \exp\big[\frac{i}{\hbar} \int dt L \big] F(q_0 ,t=0).\]

Тут позначення «всі шляхи» реалізується в більш ранньому варіанті цього рівняння шляхом ділення осі часу від\(t = 0\) до на\(P\) рівні\(t = t\) ділення, і позначення координат системи на j-й часовому кроці на\(q_j\). Дозволяючи кожному\(q_j\) приймати всі можливі значення (тобто інтегрувати над усіма можливими значеннями\(q_j\) використання, наприклад, методу Монте-Карло, розглянутого раніше), відвідується всі можливі шляхи, які починаються\(q_0\) в\(t = 0\) і закінчуються\(q_P\) на\(t = t\). За формуванням класичної дії\(S\)

\[S = \int dtL\]

для кожного шляху, а потім підсумовуючи\(\exp(iS/ \hbar) \Phi(q_0,t=0)\) по всіх шляхах і множивши на\(\left(\frac{m}{2\pi i\hbar \delta t}\right)^{P/2}\), один здатний сформуватися\(\Phi(q_P ,t)\).

Складний крок у впровадженні цього методу інтегрального шляху Фейнмана на практиці включає в себе те, як визначити всі шляхи, що\(q_0\) з'єднуються,\(t = 0\) до\(q_P\),\(t\). Кожен шлях вносить адитивний термін, що включає складну експоненціальну величину

\[\sum_{j=1}^{P-1} \big[\frac{m(q_j - q_{j-1})^2}{2\delta t} - \frac{\delta t(V(q_j) + V(q_{j-1}))}{2}\big]\]

Оскільки змінна часу, що\(\delta t =t/P\) з'являється в кожному компоненті дії, може бути складною (нагадаємо, що в одну з еволюцій часу,\(t\) дійсно\(t + \beta \hbar /i\)), експоненціальні показники цих компонентів дії можуть мати як реальну, так і уявну частини. Реальні частини, які виникають з\(\exp(-\beta H)\), призводять до гасіння експоненціальних термінів (тобто піддаватися експоненціальному розпаду), але уявні частини породжують (в\(\exp(iS/ \hbar\)) коливання. Сума багатьох, багатьох (власне, нескінченного числа) коливальних

\[\exp(iS/ \hbar) = \cos (S/ \hbar) + i \sin(S/ \hbar)\]

терміни вкрай важко оцінити через тенденцію внесків з одного шляху скасовувати ті, що мають інший шлях. Практична оцінка таких сум залишається дуже активним предметом дослідження.

Найбільш часто використовуване наближення до цієї суми передбачає знаходження шляху (ів), для якого здійснюється дія

\[S= \sum_{j=1}^{P-1} \big[\frac{m(q_j - q_{j-1})^2}{2\delta t} - \frac{\delta t(V(q_j) + V(q_{j-1}))}{2}\big]\]

є найменшим, оскільки такі шляхи виробляють коливання найнижчої частоти\(\exp(iS/ \hbar)\), і, отже, можуть бути менш схильні до скасування внесками інших шляхів.

Шляхи, які мінімізують дію, насправді\(S\) є класичними шляхами. Тобто це шляхи, якими слідувала б система, чия квантова хвильова функція поширюється, якби система проходила класичну ньютонівську механіку за умови, що система знаходиться\(q_0\) в\(t=0\) і\(q_P\) в\(t=t\). У цьому так званому напівкласичному наближенні до поширення початкової хвильової функції за допомогою інтегралів шляху Фейнмана знаходять всі класичні шляхи, що з'єднують\(q_0\)\(q_P\) at\(t = 0\) і at\(t = t\), і оцінюють дію\(S\) для кожного такого шляху. Потім застосовується формула

\[\Phi(q_P ,t) = \left(\frac{m}{2\pi i\hbar \delta t}\right)^{P/2} \sum_{\text{ all paths}} \exp\big[\frac{i}{\hbar} \int dt L \big] F(q_0 ,t=0)\]

але включає в суму тільки внесок з класичного шляху (-ів). Таким чином, отримується наближена квантова поширена хвильова функція за допомогою процедури, яка вимагає знання лише класичних шляхів поширення.

Зрозуміло, що квантове поширення хвильових функцій навіть у межах напівкласичного наближення, розглянутого вище, є досить складною справою. Однак майте на увазі альтернативу, з якою можна зіткнутися при оцінці, наприклад, спектроскопічних форм ліній, якщо прийняти незалежний від часу підхід. Потрібно було б знати енергії та хвильові функції системи, що складається з багатьох взаємодіючих молекул. Ці знання просто недоступні для жодної, крім найпростіших молекул. З цієї причини залежні від часу рамки, в яких поширюються класичні траєкторії або використовує шляхово-інтегральні методи для поширення початкових хвильових функцій, пропонує найбільш здійсненний спосіб оцінити кореляційні функції, які в кінцевому підсумку виробляють форми спектральних ліній та інші часові кореляційні функції для складні молекули в конденсованих середовищах.

Перш ніж закінчити цей розділ, це може допомогти, якби я показав, як можна отримати результат, що класичні шляхи - це ті, які роблять дію інтегральним\(S = \int L\;dt\) мінімумом. Це забезпечує студенту введення в предмет, який називається обчислення варіацій або функціональний аналіз, який більшість студентів, які читають цей текст, ймовірно, не вивчали в класі. Для початку уточнимо, що таке функціонал. Функція\(f(x)\) залежить від однієї або декількох змінних x, які приймають скалярні значення; тобто, задане скалярне число\(x\),\(f(x)\) видає значення функції\(f\) при цьому значенні\(x\). Функціонал\(F[f]\) - це функція функції,\(f\) якщо, задана функція\(f\),\(F\) діє на неї для отримання значення. У більш загальних функціоналах,\(F[f]\) може залежати не тільки від f, але і від різних похідних\(f\). Розглянемо приклад. Припустимо, у одного є функціонал форми

\[F[f]=\int_{t_0}^{t_f} F(t,f(t),\frac{df(t)}{dt})dt\]

це означає, що функціонал включає інтеграл від\(t_0\) через\(t_f\) integrand, який може містити (i) змінну\(t\) явно\(f(t)\), (ii) функцію та (iii) похідну цієї функції щодо змінної\(t\). Це свого роду інтегральний один стикається при оцінці дії інтеграла

\[S=\int_{t_0}^{t_f}[T-V]dt=\int_{t_0}^{t_f}\Big[\frac{m}{2}\Big(\frac{dx(t)}{dt}\Big)^2-V(x(t))\Big]dt\]

де функція\(f(t)\) - координата\(x(t)\), яка розвивається від\(x(t_0)\) до\(x(t_f)\). Завдання, що стоїть під рукою, полягає в тому, щоб визначити ту функцію,\(x(t)\) для якої цей інтеграл є мінімумом.

Ми вирішуємо цю задачу так само, як і було б, якби довелося мінімізувати функцію змінної; диференціюємо по відношенню до змінної і встановлюємо похідну в нуль. Однак у нашому випадку у нас є функція функції, а не функція змінної; так як ми виконуємо похідну? Ми припускаємо,\(x(t)\) що функція, яка мінімізує,\(S\) відома, і ми виражаємо будь-яку функцію, яка трохи відрізняється від правильної\(x(t)\) як

\[x(t)+\varepsilon\eta(t)\]

де скалярна величина використовується, щоб припустити, що\(x(t)\) і відрізняються лише невеликою кількістю і є функцією, яка підпорядковується

\[ \eta(t)= 0\text{ at }t=t_0\text{ and at }t = t_f;\]

це те, як ми гарантуємо, що ми розглядаємо лише шляхи, які підключаються до належного\(x_0\) at\(t_0\) та\(x_f\) at\(t_f\). Розглядаючи всі можливі функції, які підкоряються цим умовам, ми маємо в параметризації всіх шляхів, які починаються (at\(t_0\)) і закінчуються (at tf), де точний шлях\(x(t)\) робить, але відрізняється на невелику величину від\(x(t)\). Підставляючи в

\[S=\int_{t_0}^{t_f}\Big[\frac{m}{2}\Big(\frac{dx(t)}{dt}\Big)^2-V(x(t))\Big]dt\]

дає

\[S=\int_{t_0}^{t_f}\Big[\frac{m}{2}\Big(\frac{dx(t)}{dt}+\varepsilon\frac{d\eta(t)}{dt}\Big)^2-V(x(t)+\varepsilon\eta(t))\Big]dt.\]

Терміни в integrand потім розширюються в степенях\(\varepsilon\) параметра

\[\Big(\frac{dx(t)}{dt}+\varepsilon\frac{d\eta(t)}{dt}\Big)^2=\Big(\frac{dx(t)}{dt}\Big)^2+2\varepsilon\frac{dx(t)}{dt}\frac{d\eta(t)}{dt}+\varepsilon^2\left(\frac{d\eta}{dt}\right)^2\]

\[-V(x(t)+\varepsilon\eta(t))=-V(x(t))-\varepsilon\frac{\partial V(x(t))}{\partial x(t)}\eta(t)-\frac{1}{2}\varepsilon^2\frac{\partial^2 V(x(t))}{\partial x(t)^2}\eta^2(t)-\cdots\]

і підставляється в інтеграл для\(S\). Збір термінів кожної сили\(\varepsilon\) дозволяє цей інтеграл бути записаний як

\[S=\int_{t_0}^{t_f}\Big[\frac{m}{2}\left\{\Big(\frac{dx(t)}{dt}\Big)^2+2\varepsilon\frac{dx(t)}{dt}\frac{d\eta(t)}{dt}+O(\varepsilon^2)\right\}-V(x(t)+\varepsilon\eta(t))-V(x(t))-\varepsilon\frac{\partial V(x(t))}{\partial x(t)}\eta(t)-O(\varepsilon^3) \Big]dt.\]

Умова про те, що S (e) бути стабільним щодо варіацій в,\(\varepsilon\) може бути виражено як

\[\frac{ds(\varepsilon)}{d\varepsilon}=0=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\dfrac{S(\varepsilon)-S(0)}{\varepsilon}\]

що еквівалентно вимагаючи, щоб терміни, лінійні\(\varepsilon\) у вищезгаданому розширенні,\(S(\varepsilon)\) зникли

\[0=\int_{t_0}^{t_f}\Big[m\frac{dx(t)}{dt}\frac{d\eta(x(t))}{dt}-\frac{\partial V(x(t))}{\partial x(t)}\eta(t)\Big]dt\]

Далі ми використовуємо інтеграцію частинами, щоб переписати перший термін, що включає в себе як термін, що включає замість

\[\int_{t_0}^{t_f}m\frac{dx(t)}{dt}\frac{d\eta(x(t))}{dt}=m\left[\frac{dx(t)}{dt}\eta(t)\right]_{t_0}^{t_f}-\int_{t_0}^{t_f} m\frac{d^2x(t)}{dt^2}\eta(t)dt\]

Оскільки функція зникає при\(t_0\) і\(t_f\), перший термін зникає, тому ця ідентичність може бути використана для перезапису умови, що терміни в\(S(\varepsilon)\) цьому є лінійними в\(\varepsilon\) зникають як

\[0=\int_{t_0}^{t_f}\Big[-m\frac{d^2x(t)}{dt^2}-\frac{\partial V(x(t))}{\partial x(t)}\Big]\eta(t)​dt.\]

Оскільки цей результат повинен бути дійсним для будь-якої функції, яка зникає в\(t_0\) і tf, коефіцієнт множення у вищезгаданому інтегралі повинен сам зникнути

\[-m\frac{d^2x(t)}{dt^2}-\frac{\partial V(x(t))}{\partial x(t)}=0.\]

Це показує, що шлях,\(x(t)\) який робить\(S\) нерухомим, - це шлях, який підпорядковується рівнянням Ньютона - класичному шляху. Я закликаю студента-читача вивчити цей приклад використання функціонального аналізу, оскільки цей математичний пристрій є важливим інструментом занадто майстра.

Автори та атрибуція

• Template:ContribSimons
• Template:ContribHayashi